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专题08 力学三大观点的综合应用
1．（2024·辽宁鞍山·二模）如图所示，质量为m 的小球A 通过长为L 的不可伸长轻绳悬挂于天花板上，质
量为2m 的小球B 放在高也为L 的支架上。现将A 球拉至水平位置由静止释放，在最低点与静止的B 球发
生碰撞，碰后瞬间B 球的速度大小为
。求：
（1）从碰后至B 球落地时的B 球的水平位移x；
（2）A、B 碰后瞬间轻绳对A 的拉力大小FT。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）碰后B 球做平抛运动运动，则有
得
（2）设A 球碰前的速度为v0，对A 球列动能定理有
A、B 两球碰撞满足动量守恒，设碰后A 球速度为v0，向右为正，则有
得
1
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由牛顿第二定律得
得
2．（23-24 高三上·江西吉安·期末）如图所示，内壁光滑的圆弧轨道ABC 固定在竖直面内，与在光滑的水
平面相切于A 点，O 是圆心，OA、OB 分别是竖直半径和水平半径，∠COB=37°。甲、乙两小球（均视为
质点）静置在A 点的右侧，乙的质量为3m，现让甲获得一个水平向左的速度2v0，甲、乙发生弹性碰撞，
碰刚结束时甲、乙的速度正好等大反向，然后乙从A 点进入圆弧轨道向上运动，重力加速度大小为g，
sn37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求甲球的质量；
（2）若乙球到达C 点（即将离开轨道还未离开轨道）与圆弧轨道间的弹力刚好为0，则圆弧轨道的半径为
多少？
（3）在第（2）问中，当乙球运动到B 点时，重力的瞬时功率为多少。
【答案】（1）m；（2）
；（3）
【详解】（1）设甲球的质量为M，碰撞刚结束时设甲、乙两球的速度分别为-v，v，由弹性碰撞规律可得
综合解得
，
（2）设圆弧轨道的半径为R，把乙球在C 点的重力分别沿着CO 和垂直CO 正交分解，则沿着CO 方向的
分力为
2
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若乙球到达C 点（即将离开轨道还未离开轨道）与轨道间的弹力刚好为0，则
充当向心力，则有
乙球从A 到C 由机械能守恒定律可得
综合解得
（3）乙从A 到B 由机械能守恒定律可得
乙在B 点重力的瞬时功率为
综合可得
3．（2024·广西·一模）在图示装置中，斜面高
，倾角
，形状相同的刚性小球A、B 质量分
别为
和
，轻弹簧P 的劲度系数
，用A 球将弹簧压缩
后无初速释放，A 球沿光
滑表面冲上斜面顶端与B 球发生对心弹性碰撞，设碰撞时间极短，弹簧弹性势能
，重力加速
度的大小取
，
。
（1）求碰撞前瞬间A 球的速度大小；
（2）求B 球飞离斜面时的速度大小；
（3）将装置置于竖直墙面左侧，仍取
，再次弹射使B 球与墙面碰撞，碰撞前后瞬间，速度平行
于墙面方向的分量不变，垂直于墙面方向的分量大小不变，方向相反，为使B 球能落回到斜面上，求装置
3
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到墙面距离x 的最大值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）1.2m
【详解】（1）设A 球与B 球碰撞前的速度为
，由能量守恒定律
其中
代入数据解得，碰撞前瞬间A 球的速度大小为
（2）A 球与B 球发生对心弹性碰撞，则碰撞过程中由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
联立解得，B 球飞离斜面时的速度大小为
（3）仍取
，则B 球飞离斜面时的速度仍为
，设B 球运动的总时间为t，由对称性可知，
若B 球能落回到斜面，则水平方向有
4
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竖直方向有
解得
，
4．（23-24 高三上·湖南·阶段练习）如图所示，质量为m 的长木板A 和质量为m 的长木板B 接触并连在一
起，静止在光滑的水平面上，两板上表面在同一水平面上，A 板上表面光滑，B 板上表面粗糙，两板上表
面各有一根轻弹簧，A 板上表面的轻弹簧a 与A 板左端固定轻质挡板连接，B 板上表面的轻弹簧b 与B 板右
端固定轻质挡板连接，A 板左端与固定在水平面上的固定挡板接触，将质量为m 的物块C 放在A 板上，用
物块C 压缩弹簧a，当物块C 向左移到板A 上D 点（图中未标出）时由静止释放物块C，物块C 被弹簧a 弹
出后向右滑去，经弹簧b 反弹后滑到板B 左端时刚好与板相对静止，弹簧b 被压缩后具有的最大弹性势能
为Ep，最终A、B、C 共同速度为
，物块C 与B 板上表面动摩擦因数为0.5，弹簧b 的劲度系数很大，
形变量很小可忽略，两弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计物块C 的大小，求：
（1）物块C 在B 板上相对于B 板向右滑行的最大距离为多少；
（2）弹簧a 开始具有的最大弹性势能为多少；
（3）若A、B 板不连接，仍用物块C 压缩弹簧a，物块C 仍向左移到板A 上D 点时由静止释放，则物块C
和板B 相对静止时离板B 的左端距离为多少。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设物块C 刚滑上A 板时速度为
，当物块C 压缩弹簧b 至压缩量最大时，A、B、C 有共同速
度v，根据动量守恒，有
联立，解得
5
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（2）设弹簧a 开始具有的最大弹性势能为
，根据能量守恒有
解得
（3）设物块C 和板B 最后的共同速度为
，根据动量守恒有
设C 在B 板上相对B 板运动的路程为s，根据能量守恒有
解得
最终物块C 离板B 左端距离
5．（2024·福建泉州·一模）如图，左端固定在墙壁上的水平轻质弹簧，处于自然状态时另一端在光滑水平
台面右端；质量为3m 的小车静置于光滑的水平面上且紧靠平台，其左侧a 端与台面等高，小车的上表面
由长度为R 的粗糙水平面ab 和半径为R 的四分之一圆弧形光滑轨道bc 组成。质量为m 的小物块P（与弹
簧不栓接）在外力作用下将弹簧压缩至某一位置，由静止释放后从a 端以大小为
（g 为重力加速度大
小）的速度滑上小车，恰好能到达顶端c。
（1）求由静止释放时弹簧的弹性势能
；
（2）求P 与ab 间的动摩擦因数
；
（3）请通过计算判断P 是否会滑离小车？
6
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【答案】（1）
；（2）
；（3）P 会滑离小车
【详解】（1）令弹簧恢复原长时，P 的速度为
，根据系统能量守恒有
其中
解得
（2）P 恰好到达顶点c 时，此时P 与小车共速，设此时速度大小为v，根据水平方向动量守恒有
根据系统能量守恒
解得
（3）设小物块P 最终停在小车上，小物块在粗糙水平面ab 上的相对路程为s，由于水平方向动量守恒，可
知，此时P 与小车速度大小仍然为v，根据系统能量守恒有
解得
由于
故P 会滑离小车。
6．（2024·吉林白山·二模）智能机器人自动分拣快递包裹系统被赋予“惊艳世界的中国黑科技”称号。分
7
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拣机器人工作效率高，落袋准确率达99.9%。在供包台工作人员将包裹放在机器人的水平托盘上，智能扫
码读取包裹目的地信息，经过大数据分析后生成最优路线，包裹自动送至方形分拣口。如图甲，当机器人
抵达分拣口时，速度恰好减速为零，翻转托盘使托盘倾角缓慢增大，直至包裹滑下，将包裹投入分拣口中
（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度g 大小取
）。如图乙，机器人A 把质量
的
包裹从供包台沿直线运至相距
的分拣口处，在运行过程中包裹与水平托盘保持相对静止。已知机
器人A 运行最大加速度
，运行最大速度
，机器人运送包裹途中，看作质点。
（1）求机器人A 从供包台运行至分拣口所需的最短时间t；
（2）若包裹与水平托盘的动摩擦因数为
，则在机器人A 到达投递口处，要使得包裹刚开始下滑，
托盘的最小倾角
应该是多少；
（3）机器人A 投递完包裹后返回供包台途中发生故障，机器人A 立刻制动，制动时速度为3m/s，由于惯
性，机器人A 在地面滑行4.5m 后停下来，此时刚好有另一机器人B，以最大速度碰撞3m/s 与机器人A 发
生弹性正碰，碰撞后机器人A 滑行了2m 停下来（其加速度与制动后滑行加速度相等，机器人A、B 均看作
质点）。则机器人B 的总质量是机器人A 的多少倍？
【答案】（1）16s；（2）
；（3）0.5 倍
【详解】（1）当机器人A 先做匀加速直线运动加速至3m/s，然后做匀速直线运动，最后做匀减速直线运
动至零时，机器人A 从供包台运行至分拣口所需时间最短。做匀加速直线运动阶段根据运动学的公式可得
匀减速直线运动阶段根据运动学的公式得
8
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匀速直线阶段根据运动学的公式得
运行总时间
（2）设要使包裹刚开始下滑，托盘的最小倾角
，对包裹，受力分析得
其中
托盘的最小倾角
（3）设机器人A 制动后滑行过程中的加速度大小为a，则有机器人A 制动后滑行4.5m 后停下来，则有
设机器人A 被碰后瞬间的速度为
，滑行2m 后停下来，则有
联立可得
A、B 发生弹性碰撞，A 和B 组成的系统根据动量守恒定律和能量守恒定律有
解得
9
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由于
，
，可得
故机器人B 的质量是机器人A 的0.5 倍。
7．（2024·安徽安庆·二模）如图1 所示，质量M = 4kg 的长木板放在水平地面上，其右端挡板上固定一劲
度系数为k = 200N/m 的轻质弹簧，弹簧左端连接物块B，开始弹簧处于原长，物块A 位于长木板的左端，
A 与B 的距离L = 0.8m，A、B 均可视为质点且与长木板的动摩擦因数均为μ1 = 0.25，给A 初速度v0 =
4m/s，A 运动一段时间后与B 发生碰撞，碰后A 的速度为0。已知A 的质量m1 = 1kg，B 的质量m2 =
2kg，长木板在整个过程中始终保持静止，可认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，已知弹簧的弹性势能
表达式
，其中x 为弹簧的形变量，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）A 与B 碰撞前瞬间A 的速率v1和碰后瞬间B 的速率v2；
（2）长木板与地面间动摩擦因数μ2的最小值；
（3）如图2 所示，把长木板换成相同质量的斜面体，斜面体上表面光滑，斜面倾角θ = 30°，其余条件不
变，开始时物块B 静止，现让A 以v3 = 3m/s 的初速度与B 发生弹性正碰，斜面体足够长，要使斜面体保
持静止，求斜面体与地面间的动摩擦因数μ3至少为多少。
【答案】（1）
，
；（2）0.5；（3）
【详解】（1）A 向右运动过程中，由动能定理得
得
A 与B 碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
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由题意，碰撞后
得
（2）m2向右运动压缩到弹簧最短时，木板受到最大弹簧弹力向右，m2对木板的摩擦力向右，此时地面对
木板的摩擦力最大，设弹簧的最大压缩量为x，由能量守恒定律有
x = 0.15m
此时弹力
F 弹 = kx = 30N
木板受到的最大摩擦力
f = F 弹＋μ1m2g = 35N
解得
（3）A 与B 发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，有
得
m2运动到最高点时，向下加速度最大，需要摩擦力最大，M 与地面压力最小，物块m2到达最高点时M 刚
好不与地面相对滑动为M 与地面动摩擦因数最小时。m2向上运动为
简谐运动，由简谐运动能量关系
解得
A = 0.2m
此时m2的加速度
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，方向沿斜面向下
m1的加速度
a1 = gsin30° = 5m/s2，，方向沿斜面向下
对a1、a2正交分解，对整体由牛顿第二定律有
(M＋m1＋m2)g－FN = m1a1sin30°＋m2a2sin30°
解得
FN = 47.5N
所以动摩擦因数最小值为
8．（2024·广东湛江·一模）某同学为参加学校举行的遥控赛车比赛，利用如图所示装置练习遥控技术。水
平直轨道
与半径
的光滑竖直圆轨道在
点相切，
间的距离
且对赛车的阻力恒为
段光滑。水平地面距水平直轨道的竖直高度
。该同学遥控质量
的赛车以
额定功率
从
点出发，沿水平直轨道运动到
点时立刻关闭遥控器，赛车由
点进入圆轨道，离开
圆轨道后沿水平直轨道运动到
点，并与质量
的滑块发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后赛车恰
好能通过圆轨道，而滑块落在水平地面上
点，
间的水平距离
。赛车和滑块均可视为质点，
不计空气阻力，
取
。求：
（1）碰撞后滑块速度
的大小；
（2）碰撞前瞬间赛车速度
的大小；
（3）此过程中该同学遥控赛车的时间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】
（1）碰撞后滑块做平抛运动，则
解得
（2）设赛车恰好通过圆轨道最高点的速度大小为
，与滑块碰撞后的速度大小为
，由牛顿第二定律及机
械能守恒定律
赛车与滑块碰撞过程动量守恒，有
解得
（3）设电动机工作时间为，根据动能定理
解得
9．（2024·浙江·模拟预测）如图所示为一游戏装置的竖直截面图，A、B、D、E、H、I 处于同一水平面上，
在A 端的弹簧装置能将滑块（可视为质点）水平弹出，并从B 点顺利进入曲线轨道BC、半径为R 的螺旋圆
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轨道CD、曲线轨道CE。在E 点连接了倾角为
的斜面EF 和水平平台FG，平台FG 高度为且平台长度
为
。靠在平台右侧的小车上表面与平台FG 齐平，小车的长度为
，在B、F 处均设置了转向防脱离轨
道装置。已知滑块的质量
，小车的质量
，
，
，
，
，
，滑块与斜面EF、平台FG 间的动摩擦因数均为
，滑块与小车上表面间的动摩擦因数为
，其余部分均光滑，各处平滑连接，不计空气阻力，取
，
。求：
（1）若滑块在C 处对轨道的压力为
时，此时滑块的向心加速度大小；
（2）若弹簧的弹性势能为
，螺旋圆轨道能承受的最大压力为
，且螺旋圆轨道半径R 可以通
过改变C 的位置而改变（保持最高点D 的高度不变），要使滑块第一次进入螺旋圆轨道时能顺利通过，求
螺旋圆轨道半径R 需满足的条件；
（3）螺旋圆轨道半径
时，若要求滑块最终停在小车上，车获得的动能和弹簧的弹性势能
之间
应满足的关系。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
（
）
【详解】（1）滑块在C 处，根据牛顿第二定律可得
解得此时滑块的向心加速度大小为
（2）临界1：滑块恰好过最高点D 点，有重力提供向心力得
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根据能量守恒可得
解得
临界2：对最低点C 点的压力为
，根据牛顿第二定律可得
根据能量守恒可得
解得
则轨道半径
需要满足
（3）设滑块到G 点的速度为
，滑块从A 到G 的过程，根据能量守恒可得
小车与滑块共速，根据动量守恒可得
可得
联立可得
要保证滑块不滑出小车右端，如滑块恰好滑到小车右端，则有
可得
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则有
综上所述可得
（
）
10．（23-24 高三上·广东深圳·期末）如图，平台及厚度不计的圆环轨道固定于水平面上，小物块a 经短弹
簧弹出，沿水平轨道滑至平台右端碰撞另一小物块b，瞬间都从顶端C 水平滑出，a 从圆环的点A 垂直半
径切入环内，b 从圆环的点B 垂直半径切过环外，D 为圆环的顶点。已知：平台高h = 5.4m，圆环半径R
= 2.0m，∠DOB = 37°，a 的质量m1 = 0.4kg，b 的质量m2 = 0.2kg，短弹簧弹射a 前具有的弹性势能E 弹
= 7.2J，a、b 均视为质点，忽略一切摩擦力和空气阻力，重力加速度取g = 10m/s2，sinθ = 0.6，cosθ =
0.8。求
（1）a 碰撞b 之前的速度v0的大小；
（2）b 从C 滑出时的速度v2的大小；
（3）计算论证a 能不能沿圆环通过点D。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）根据能量守恒定律，有
代入数据解得
v0 = 6m/s
（2）图像加工如图所示
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对b，平抛到点B，下落的高度为
h1 = h－(R＋Ry) = h－R(1＋coss37°) = 1.8m
根据
vby
2 = 2gh1
代入数据解得
vby = 6m/s
v2 = vbytan37° = 8m/s
（3）对a、b 系统，碰撞过程动量守恒，有
m1v0 = m1v1＋m2v2
代入数据解得
v1 = 2m/s
对a，从平抛进入圆环内沿轨道到D 点，机械能守恒，有
代入数据解得
符合通过D 点临界条件
，故能通过
11．（23-24 高三下·浙江宁波·阶段练习）如图所示为某弹射游戏装置，游戏轨道由水平直轨道AB 和两个
半径为
、圆心角
的圆弧轨道BC、
组成，OB、
竖直，小球（可视为质点）能无
碰撞地从轨道BC 进入轨道
。小球1 被固定于A 处的弹簧弹出后，与静置在水平轨道的小球2 发生弹性
碰撞。游戏设置一、二、三等奖：若小球2 能够进入圆弧轨道
获三等奖，若小球2 能在圆弧轨道
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（不包括D 点）段脱离获二等奖，若小球1 能在圆弧轨道
（不包括D 点）段脱离则获一等奖，其他情
况都不能获奖。已知小球1 的质量
，小球2 的质量
，重力加速度g 取
，忽略一
切摩擦，不考虑小球间的二次碰撞。
（1）若游戏能获奖，则小球2 进入B 点时，求轨道BC 对小球弹力的最小值；
（2）小球2 碰后的速度多大时，游戏能获二等奖；
（3）弹性势能满足什么条件时可获一等奖。
【答案】（1）4.5N；（2）
；（3）
【详解】（1）游戏能获奖，则小球2 必能过C 点，小球2 恰好过C 点时：
得
过程根据动能定理
得
由
可知轨道BC 对小球的最小弹力
（2）恰好到达
等高处，根据动能定理
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得
恰好运动到D 点
由动能定理
得
故小球2 碰后速度
时，游戏能获二等奖。
（3）小球1 弹出后，根据机械能守恒定律
得
小球1 和小球2 发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和能量守恒定律
得
需满足
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代入数据可得当
时，可获一等奖。
20
