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专题08 力学三大观点的综合应用
1．（2024·辽宁鞍山·二模）如图所示，质量为m 的小球A 通过长为L 的不可伸长轻绳悬挂于天花板上，质
量为2m 的小球B 放在高也为L 的支架上。现将A 球拉至水平位置由静止释放，在最低点与静止的B 球发
生碰撞，碰后瞬间B 球的速度大小为
。求：
（1）从碰后至B 球落地时的B 球的水平位移x；
（2）A、B 碰后瞬间轻绳对A 的拉力大小FT。
2．（23-24 高三上·江西吉安·期末）如图所示，内壁光滑的圆弧轨道ABC 固定在竖直面内，与在光滑的水
平面相切于A 点，O 是圆心，OA、OB 分别是竖直半径和水平半径，∠COB=37°。甲、乙两小球（均视为
质点）静置在A 点的右侧，乙的质量为3m，现让甲获得一个水平向左的速度2v0，甲、乙发生弹性碰撞，
碰刚结束时甲、乙的速度正好等大反向，然后乙从A 点进入圆弧轨道向上运动，重力加速度大小为g，
sn37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求甲球的质量；
（2）若乙球到达C 点（即将离开轨道还未离开轨道）与圆弧轨道间的弹力刚好为0，则圆弧轨道的半径为
多少？
（3）在第（2）问中，当乙球运动到B 点时，重力的瞬时功率为多少。
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3．（2024·广西·一模）在图示装置中，斜面高
，倾角
，形状相同的刚性小球A、B 质量分
别为
和
，轻弹簧P 的劲度系数
，用A 球将弹簧压缩
后无初速释放，A 球沿光
滑表面冲上斜面顶端与B 球发生对心弹性碰撞，设碰撞时间极短，弹簧弹性势能
，重力加速
度的大小取
，
。
（1）求碰撞前瞬间A 球的速度大小；
（2）求B 球飞离斜面时的速度大小；
（3）将装置置于竖直墙面左侧，仍取
，再次弹射使B 球与墙面碰撞，碰撞前后瞬间，速度平行
于墙面方向的分量不变，垂直于墙面方向的分量大小不变，方向相反，为使B 球能落回到斜面上，求装置
到墙面距离x 的最大值。
4．（23-24 高三上·湖南·阶段练习）如图所示，质量为m 的长木板A 和质量为m 的长木板B 接触并连在一
起，静止在光滑的水平面上，两板上表面在同一水平面上，A 板上表面光滑，B 板上表面粗糙，两板上表
面各有一根轻弹簧，A 板上表面的轻弹簧a 与A 板左端固定轻质挡板连接，B 板上表面的轻弹簧b 与B 板右
端固定轻质挡板连接，A 板左端与固定在水平面上的固定挡板接触，将质量为m 的物块C 放在A 板上，用
物块C 压缩弹簧a，当物块C 向左移到板A 上D 点（图中未标出）时由静止释放物块C，物块C 被弹簧a 弹
出后向右滑去，经弹簧b 反弹后滑到板B 左端时刚好与板相对静止，弹簧b 被压缩后具有的最大弹性势能
为Ep，最终A、B、C 共同速度为
，物块C 与B 板上表面动摩擦因数为0.5，弹簧b 的劲度系数很大，
形变量很小可忽略，两弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计物块C 的大小，求：
（1）物块C 在B 板上相对于B 板向右滑行的最大距离为多少；
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（2）弹簧a 开始具有的最大弹性势能为多少；
（3）若A、B 板不连接，仍用物块C 压缩弹簧a，物块C 仍向左移到板A 上D 点时由静止释放，则物块C
和板B 相对静止时离板B 的左端距离为多少。
5．（2024·福建泉州·一模）如图，左端固定在墙壁上的水平轻质弹簧，处于自然状态时另一端在光滑水平
台面右端；质量为3m 的小车静置于光滑的水平面上且紧靠平台，其左侧a 端与台面等高，小车的上表面
由长度为R 的粗糙水平面ab 和半径为R 的四分之一圆弧形光滑轨道bc 组成。质量为m 的小物块P（与弹
簧不栓接）在外力作用下将弹簧压缩至某一位置，由静止释放后从a 端以大小为
（g 为重力加速度大
小）的速度滑上小车，恰好能到达顶端c。
（1）求由静止释放时弹簧的弹性势能
；
（2）求P 与ab 间的动摩擦因数
；
（3）请通过计算判断P 是否会滑离小车？
6．（2024·吉林白山·二模）智能机器人自动分拣快递包裹系统被赋予“惊艳世界的中国黑科技”称号。分
拣机器人工作效率高，落袋准确率达99.9%。在供包台工作人员将包裹放在机器人的水平托盘上，智能扫
码读取包裹目的地信息，经过大数据分析后生成最优路线，包裹自动送至方形分拣口。如图甲，当机器人
抵达分拣口时，速度恰好减速为零，翻转托盘使托盘倾角缓慢增大，直至包裹滑下，将包裹投入分拣口中
（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度g 大小取
）。如图乙，机器人A 把质量
的
包裹从供包台沿直线运至相距
的分拣口处，在运行过程中包裹与水平托盘保持相对静止。已知机
器人A 运行最大加速度
，运行最大速度
，机器人运送包裹途中，看作质点。
（1）求机器人A 从供包台运行至分拣口所需的最短时间t；
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（2）若包裹与水平托盘的动摩擦因数为
，则在机器人A 到达投递口处，要使得包裹刚开始下滑，
托盘的最小倾角
应该是多少；
（3）机器人A 投递完包裹后返回供包台途中发生故障，机器人A 立刻制动，制动时速度为3m/s，由于惯
性，机器人A 在地面滑行4.5m 后停下来，此时刚好有另一机器人B，以最大速度碰撞3m/s 与机器人A 发
生弹性正碰，碰撞后机器人A 滑行了2m 停下来（其加速度与制动后滑行加速度相等，机器人A、B 均看作
质点）。则机器人B 的总质量是机器人A 的多少倍？
7．（2024·安徽安庆·二模）如图1 所示，质量M = 4kg 的长木板放在水平地面上，其右端挡板上固定一劲
度系数为k = 200N/m 的轻质弹簧，弹簧左端连接物块B，开始弹簧处于原长，物块A 位于长木板的左端，
A 与B 的距离L = 0.8m，A、B 均可视为质点且与长木板的动摩擦因数均为μ1 = 0.25，给A 初速度v0 =
4m/s，A 运动一段时间后与B 发生碰撞，碰后A 的速度为0。已知A 的质量m1 = 1kg，B 的质量m2 =
2kg，长木板在整个过程中始终保持静止，可认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，已知弹簧的弹性势能
表达式
，其中x 为弹簧的形变量，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）A 与B 碰撞前瞬间A 的速率v1和碰后瞬间B 的速率v2；
（2）长木板与地面间动摩擦因数μ2的最小值；
（3）如图2 所示，把长木板换成相同质量的斜面体，斜面体上表面光滑，斜面倾角θ = 30°，其余条件不
变，开始时物块B 静止，现让A 以v3 = 3m/s 的初速度与B 发生弹性正碰，斜面体足够长，要使斜面体保
持静止，求斜面体与地面间的动摩擦因数μ3至少为多少。
8．（2024·广东湛江·一模）某同学为参加学校举行的遥控赛车比赛，利用如图所示装置练习遥控技术。水
平直轨道
与半径
的光滑竖直圆轨道在
点相切，
间的距离
且对赛车的阻力恒为
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段光滑。水平地面距水平直轨道的竖直高度
。该同学遥控质量
的赛车以
额定功率
从
点出发，沿水平直轨道运动到
点时立刻关闭遥控器，赛车由
点进入圆轨道，离开
圆轨道后沿水平直轨道运动到
点，并与质量
的滑块发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后赛车恰
好能通过圆轨道，而滑块落在水平地面上
点，
间的水平距离
。赛车和滑块均可视为质点，
不计空气阻力，
取
。求：
（1）碰撞后滑块速度
的大小；
（2）碰撞前瞬间赛车速度
的大小；
（3）此过程中该同学遥控赛车的时间。
9．（2024·浙江·模拟预测）如图所示为一游戏装置的竖直截面图，A、B、D、E、H、I 处于同一水平面上，
在A 端的弹簧装置能将滑块（可视为质点）水平弹出，并从B 点顺利进入曲线轨道BC、半径为R 的螺旋圆
轨道CD、曲线轨道CE。在E 点连接了倾角为
的斜面EF 和水平平台FG，平台FG 高度为且平台长度
为
。靠在平台右侧的小车上表面与平台FG 齐平，小车的长度为
，在B、F 处均设置了转向防脱离轨
道装置。已知滑块的质量
，小车的质量
，
，
，
，
，
，滑块与斜面EF、平台FG 间的动摩擦因数均为
，滑块与小车上表面间的动摩擦因数为
，其余部分均光滑，各处平滑连接，不计空气阻力，取
，
。求：
（1）若滑块在C 处对轨道的压力为
时，此时滑块的向心加速度大小；
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（2）若弹簧的弹性势能为
，螺旋圆轨道能承受的最大压力为
，且螺旋圆轨道半径R 可以通
过改变C 的位置而改变（保持最高点D 的高度不变），要使滑块第一次进入螺旋圆轨道时能顺利通过，求
螺旋圆轨道半径R 需满足的条件；
（3）螺旋圆轨道半径
时，若要求滑块最终停在小车上，车获得的动能和弹簧的弹性势能
之间
应满足的关系。
10．（23-24 高三上·广东深圳·期末）如图，平台及厚度不计的圆环轨道固定于水平面上，小物块a 经短弹
簧弹出，沿水平轨道滑至平台右端碰撞另一小物块b，瞬间都从顶端C 水平滑出，a 从圆环的点A 垂直半
径切入环内，b 从圆环的点B 垂直半径切过环外，D 为圆环的顶点。已知：平台高h = 5.4m，圆环半径R
= 2.0m，∠DOB = 37°，a 的质量m1 = 0.4kg，b 的质量m2 = 0.2kg，短弹簧弹射a 前具有的弹性势能E 弹
= 7.2J，a、b 均视为质点，忽略一切摩擦力和空气阻力，重力加速度取g = 10m/s2，sinθ = 0.6，cosθ =
0.8。求
（1）a 碰撞b 之前的速度v0的大小；
（2）b 从C 滑出时的速度v2的大小；
（3）计算论证a 能不能沿圆环通过点D。
11．（23-24 高三下·浙江宁波·阶段练习）如图所示为某弹射游戏装置，游戏轨道由水平直轨道AB 和两个
半径为
、圆心角
的圆弧轨道BC、
组成，OB、
竖直，小球（可视为质点）能无
碰撞地从轨道BC 进入轨道
。小球1 被固定于A 处的弹簧弹出后，与静置在水平轨道的小球2 发生弹性
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碰撞。游戏设置一、二、三等奖：若小球2 能够进入圆弧轨道
获三等奖，若小球2 能在圆弧轨道
（不包括D 点）段脱离获二等奖，若小球1 能在圆弧轨道
（不包括D 点）段脱离则获一等奖，其他情
况都不能获奖。已知小球1 的质量
，小球2 的质量
，重力加速度g 取
，忽略一
切摩擦，不考虑小球间的二次碰撞。
（1）若游戏能获奖，则小球2 进入B 点时，求轨道BC 对小球弹力的最小值；
（2）小球2 碰后的速度多大时，游戏能获二等奖；
（3）弹性势能满足什么条件时可获一等奖。
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