文档文本内容
第6 讲 共点力的动态平衡问题
学习目标：
1.学会用解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法、拉密定理法等解决动态平衡问题。
2.正确画出受力分析图和矢量三角形，通过分析力的变化来求解问题。
知识网络
考点一 解析法
1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。
3.根据自变量的变化确定因变量的变化。
【例题】如图，质量为0.2 kg 的小球A 在水平力F 作用下，与四分之一光滑圆弧形滑块B 一起静止在地面
上，小球球心跟圆弧圆心连线与竖直方向夹角θ＝60°，g 取10 m/s2。则以下说法正确的是( )
A.B 对A 的支持力大小为2❑√3 N
B.水平地面对B 的摩擦力方向水平向右
C.增大夹角θ，若A、B 依然保持静止，F 减小
D.增大夹角θ，若A、B 依然保持静止，地面对B 的支持力减小
【变式1-1】(2023·海南卷)如图所示，工人利用滑轮组将重物缓慢提起，下列说法正确的是( )
A．工人受到的重力和支持力是一对平衡力
B．工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力
C．重物缓慢拉起过程，绳子拉力变小
D．重物缓慢拉起过程，绳子拉力不变
【变式1-2】如图所示，甲、乙两同学通过定滑轮和细绳将重物从左侧平台运送到右侧平台，初始甲、乙
拉绳使重物静止在图中位置(如实线所示)，此时甲所拉细绳恰好沿水平方向。忽略滑轮与细绳间的摩擦和
细绳质量，若甲缓慢释放细绳的同时保持手中细绳沿水平方向，乙缓慢收绳且始终保持静止，则下列说法
正确的是( )
A．甲手中细绳的拉力不断增大
B．乙手中细绳的拉力不断增大
C．乙对地面的压力不断增大
D．乙受到地面的摩擦力不变
【变式1-3】如图所示，A、B 两物体的质量分别为mA和mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量
和一切摩擦均不计。分别做以下三种改变：①增大A 物体的质量；②减小B 物体的质量；③绳的左端由Q
点缓慢地向左移到P 点。整个系统重新平衡后，下列说法正确的是（ ）
A．对于改变①，物体A 的高度将降低，θ 角将增大
B．对于改变②，物体A 的高度将降低，绳间张力变小
C．对于改变③，物体A 的高度将降低，θ 角将减小
D．对于改变③，P 点与定滑轮间的绳长变大，θ 角不变
考点二 图解法
用图解法分析物体的动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不
变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
【例题】如图所示，一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1，小球对木板的压
力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置沿顺时针缓慢转到与墙面垂直
的位置。不计摩擦，在此过程中( )
A．F1先减小后增大
B．F1一直增大
C．F2一直减小
D．F2先减小后增大
【变式2-1】如图所示，装有足球的轻网兜系在钉子上，墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后，则(
)
A．网绳上的拉力变小
B．网绳上的拉力不变
C．墙壁对足球的支持力变大
D．墙壁对足球的支持力不变
【变式2-2】如图所示，倾角为θ＝30°、AB 面光滑的斜面体放在水平地面上，一个重力为G 的小球在弹
簧测力计的水平拉力F 作用下静止在斜面上。现沿逆时针方向缓慢转动弹簧测力计，直到弹簧测力计的示
数等于初始值，在此过程中，小球与斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是( )
A．力F 先变大后变小
B．地面对斜面体的支持力一直变大
C．地面对斜面体的摩擦力一直变小
D．斜面体对小球的支持力一直变大
【变式2-3】如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为圆的柱状物体A，A 与墙面之间放有表面光滑的圆柱
形物体B，A、B 均保持静止。若将A 向左移动少许，下列说法正确的是( )
A．B 对A 的作用力不变
B．墙对B 的作用力不变
C．地面对A 的摩擦力不变
D．地面对A 的支持力不变
考点三 相似三角形法
物体受三个力平衡，其中一个力恒定，另外两个力的方向都变化，且题目给出了空间几何关系（已
知边的长度），多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行
讨论、计算。
【例题】(多选)如图所示，圆心为O、半径为R 的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O 点
正上方有一光滑的小滑轮，小滑轮到轨道上B 点的距离为h，轻绳的一端系一质量为m 的小球，靠放在光
滑圆形轨道上的A 点，A 点到小滑轮的距离为L，另一端绕过小滑轮后用力拉住。重力加速度大小为g，则
( )
A.若使小球静止在A 点，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝mgR
R＋ℎ
B.若使小球静止在A 点，绳对小球的拉力大小FT＝2mgL
R＋ℎ
C.缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN不变，绳对小球的拉力大小
FT变小
D.缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN变小，绳对小球的拉力大小
FT先变小后变大
【变式3-1】表面光滑的四分之一圆柱体紧靠墙角放置，其横截面如图所示。细绳一端连接小球，另一端
绕过P 处滑轮，小球在外力F 拉动下从A 点缓慢移动到B 点。已知AP 长度是BP 长度的2 倍，则小球在A 处
时的绳子拉力与小球在B 处时绳子拉力的比为( )
A． B． C．2 D．4
【变式3-2】如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，轻杆的A 端用铰链固定，光
滑轻质小滑轮在A 点正上方，轻杆B 端通过轻绳吊一重力为G 的重物。现将绳的一端拴在轻杆的B 端，用
拉力F 将B 端缓慢上拉，在AB 杆达到竖直前(轻绳与轻杆均未断)，关于轻绳的拉力F 和轻杆受的弹力FN的
变化，下列判断正确的是( )
A．F 变大
B．F 变小
C．FN变大
D．FN变小
【变式3-3】在旅行途中，小勤想起了学校的标志性雕塑：妙笔生花。雕塑可以简化为如图所示的模型：
一个半球形花冠和竖直的毛笔底座。若花冠中落入一连接有轻绳的质量为m 的物体，轻绳搭在花冠边缘，
小勤设想若用力拉动轻绳使物体沿花冠缓慢向上移动，在此过程中若忽略一切阻力，则( )
A．细绳的拉先增大后减小
B．细绳的拉力一直增大
C．花冠对物体的支持力先增大后减小
D．花冠对物体的支持力一直增大
考点四 矢量圆法(拉密定理法)
1.矢量圆:如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的
夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求
解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。
2.拉密定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两
个力的夹角的正弦成正比，即F1
sin α ＝F2
sin β ＝F3
sin γ
。
【例题】如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM
竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α 不变。
在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN 上的张力逐渐减小
B．MN 上的张力先增大后减小
C．OM 上的张力逐渐增大
D．OM 上的张力先增大后减小
【变式4-1】如图所示，置于地面的矩形框架中用两细绳拴住质量为m 的小球，绳B 水平。设绳A、B 对小
球的拉力大小分别为FA、FB，它们的合力大小为F。现将框架在竖直平面内绕左下端缓慢旋转90°，在此
过程中( )
A．FA先增大后减小
B．FB先增大后减小
C．F 先增大后减小
D．F 先减小后增大
【变式4-2】某中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中，一学生将铅球置
于两手之间，其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变，将右手由如图所示位置缓慢旋转60°
至水平位置。不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是( )
A．右手对铅球的弹力增大
B．右手对铅球的弹力先增大后减小
C．左手对铅球的弹力增大
D．左手对铅球的弹力先增大后减小
【变式4-3】 (2022·河北卷)如图所示，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P 点，将木板
以底边MN 为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，
在转动过程中( )
A.圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
跟踪训练-考点拓展
1. 如图所示，一个倾角为θ 的固定斜面上，有一块可绕其下端转动的挡板P，今在挡板与斜面间放一重
力为G 的光滑球，在挡板P 由图示的竖直位置缓慢地转到水平位置的过程中( )
A．球对挡板的压力先减小后增大
B．球对挡板的压力一直增大
C．球对斜面的压力先减小后增大
D．球对的斜面压力一直增大
2．如图所示，用OA、OB 两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时 OB 绳水平。现保持 O 点位置不
变，改变 OB 绳长使绳右端由 B 点缓慢上移至 B′点，此时 OB′与 OA 之间的夹角 θ<90°。设此过程
OA、OB 绳的拉力大小分别为 FOA、FOB，则下列说法正确的是( )
A．FOA先增大后减小
B．FOA一直增大
C．FOB一直减小
D．FOB先减小后增大
3.如图所示，质量为m 的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的
下端系着小球，上端穿过小孔用力F 拉住，开始时绳与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢
拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是( )
A．绳与竖直方向的夹角为θ 时，F＝mgcosθ
B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大
C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大
D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变
4.(多选)如图所示，一斜面固定在水平面上，一半球形滑块固定在斜面上，球心O 的正上方有一定滑轮
A(视为质点)，细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B 连接，另一端绕过滑轮A 在水平向右的拉力F
作用下使圆球B 保持静止。改变拉力F 的大小，使圆球B 从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B 的球心正
好在O 点的正上方(不考虑该位置的情况)。圆球B 不会与定滑轮A 接触，则下列说法正确的是( )
A．拉力F 一直减小
B．拉力F 先增大后减小
C．半球形滑块对圆球B 的支持力先增大后减小
D．半球形滑块对圆球B 的支持力大小保持不变
5.(多选)如图所示，在处于竖直面内的直角框架上M、N 两点用铰链连接A、B 两个测力计，两测力计的另
一端通过细线与小球连接。现将整个装置在纸面内逆时针缓慢转过90°的过程中，两细线间的夹角保持不
变。关于两测力计的读数变化情况，下列说法正确的是( )
A．A 的读数逐渐减小
B．A 的读数先增大后减小
C．B 的读数逐渐增大
D．B 的读数先增大后减小
6.（多选）如图，柔软轻绳
的一端
固定，其中间某点
拴一重物，用手拉住绳的另一端
。初始
时，
水平且
被拉直，
与
之间的夹角为
。现将重物向左下方缓慢放下至
竖
直，并保持夹角
不变。在
由水平到竖直的过程中（ ）
A．
上的弹力逐渐减小
B．
上的张力先增大后减小
C．
和
对
点的作用力的合力不变
D．
对重物的弹力是重物发生了形变产生的
7.（多选）如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B 两点，O
为圆心，O 点下面悬挂一物体M，绳
水平，绳
与绳
成
。现保持两绳之间的夹角
始终不
变，将两绳同时缓慢顺时针转过60°，物体始终处于静止状态。在旋转过程中，绳
的拉力
的大小以
及绳
的拉力
的大小的变化情况为（ ）
A．
一直增大
B．
先增大后减小
C．
一直减小
D．
先减小后增大
8.如图所示， 保持O 点位置及∠AOB=120°不变，将轻绳OA、OB 同时逆时针缓慢旋转，直到 OA 竖直，关
于 OA 上拉力TA和OB 上拉力 TB的大小说法正确的是（ ）
A．TA一直变大，TB不变
B．TA先变大后变小， TB一直变小
C．TA先变大后变小，TB一直变大
D．TA先变小后变大，TB先变大后变小
9.如图所示，光滑挡板AB 和CD 在C 点连接，AB 板倾斜，CD 板竖直，两板相对固定，小球静止于两极之
间，现使整个装置绕A 点在竖直面内沿顺时针方向缓慢转动到CD 板水平，则在此过程中，下列说法正确
的是（ ）
A．球对AB 板的作用力变小
B．球对CD 板的作用力变小
C．球对AB 板的作用力变大
D．球对CD 板的作用力变大
10.如图所示，斜面静止于水平地面。将一可视为质点的质量为m 的小球用轻质柔软的细线悬挂于斜面顶
端的O 点，在外力F、细线拉力FT和重力mg 的作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为θ，与F 的
夹角为α，开始时F 水平。保持α 角不变，逐渐缓慢增大θ 角，直至悬线水平，已知该过程中，斜面一
直保持静止，则下列说法正确的是( )
A．外力F 先增大后减小
B．细线拉力FT逐渐增大
C．地面对斜面的摩擦力先增大后减小
D．地面对斜面的支持力先减小后增大
