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阶段性训练（一）
考察内容（运动的描述 匀变速直线运动 相互作用 牛顿运动定律）
一．选择题
1．物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也确定了单位间的关系．如关系式U＝IR 既反映了
电压、电流和电阻之间的关系，也确定了V（伏）与A（安）和Ω（欧）的乘积等效．现有物理
量单位：m（米）、s（秒）、
N（牛）、J（焦）、W（瓦）、C（库）、F（法）、A（安）、Ω（欧）和T（特），由他们组
合成的单位都
与电压单位V（伏）等效的是（ ）
A．J/C 和 N/C
B．C/F 和 T•m2/s
C．W/A 和 C•T•m/s
D．W
1
2Ω❑
1
2和 T•A•m
【解答】解：A、根据C= Q
U 可得：U= Q
C ，所以1V＝1C/F，由U＝Ed 知：1V＝1N/C•m，故A
错误。
B、根据C= Q
U 可得：U= Q
C ，所以1V＝1C/F；由E= ΔΦ
Δt 知，1V＝1Wb/s＝1T•m2/s，故B 正确。
C、由P＝UI 得：U= P
I ，则1V＝1W/A．由E＝BLv 知：1V＝1T•m•m/s，故C 错误。
D、根据P= U
2
R
可得：U=√PR，所以1V=W
1
2 ⋅Ω
1
2。
由F＝BIL 知：1N＝1T•A•m≠1V，故D 错误。
故选：B。
2．下列有关质点和参考系的说法中正确的是（ ）
A．观看花滑运动员的动作时，可以把运动员看成质点
B．当物体体积很小时，就可以看成质点
C．研究运动物体时，选择不同物体作参考系，对运动的描述都是一样的
D．研究太阳系各行星的运行，选择太阳比选择地球作为参考系更好
【解答】解：A、质点是理想化模型，只有当物体的形状和大小对所要研究的问题可忽略不计时
才能把物体看作质点，观看花滑运动员运动员的动作时，不可以把运动员看成质点，故A 错误；
B、物体能否看成质点，不是看物体的体积和质量大小，而是看物体的大小和形状在所研究的问
1
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题中能否忽略，故B 错误；
C、选择不同的参考系，运动的描述是不一样的，故C 错误；
D、应选择使运动的描述更简单的物体作为参考系，选择太阳更容易描述行星的运动，故D 正确。
故选：D。
3．福道梅峰山地公园因其美丽的红色“水杉林”，成为福州冬日新的“打卡点”。如图所示某游
客根据导航从福道的“三号口”入“五号口”出，在游览公园过程中（ ）
A．瞬时加速度可能为零
B．平均速度大小约为4.1km/h
C．位移大小为2.4km
D．做匀速直线运动
【解答】解：A、游客根据导航从福道的“三号口”入“五号口”出，在游览公园过程中某段时
间内可能做匀速直线运动，瞬时加速度可能为零，故A 正确；
BC、2.4 公里是路程的大小，平均速度是位移与时间的比值，由于位移大小未知，所以平均速度
大小不可求解，故BC 错误；
D、由图可知，游客运动轨迹是曲线，游客做曲线运动，故D 错误。
故选：A。
4．两个质点a、b 在同一直线上从同一点开始出发做直线运动，质点a、b 的速度—时间图像分别如
图中a、b 所示，由图像可知（ ）
A．t2时刻质点a、b 相遇
2
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B．t1时刻质点a 的加速度为零
C．在0～t1时间内质点a、b 的距离逐渐变小
D．在t1～t3时间内质点b 运动的平均速度大于v1+ v2
2
【解答】解：AC、t2时刻质点a、b 只是速度相同，不是位置相同，根据图像的面积代表位移，
t2时刻质点a、b 不相遇，0∼t1时间内，质点a、b 速度方向相反，质点a、b 的距离逐渐变大，故
A、C 错误。
B、v﹣t 图像的斜率表示加速度，t1时刻图像斜率不与时间轴平行，所以在t1时刻质点a 的加速
度不为零，故B 错误。
D、用直线连接t1与t3两时刻图像上的两点，则该运动图像的平均速度为v1+ v2
2
，与原图像对比，
在相同时间内，质点运动的位移较小，所以质点b 的平均速度大于v1+ v2
2
，故D 正确。
故选：D。
5．某同学抛5 个球，任意时刻都有4 个球在空中，1 个球在手上。球上升的最大高度为h，则每个
小球每次在手上停留的时间为（ ）
A．1
5√
2h
g
B．2√2
5 √
h
g
C．√
2h
g
D．√
h
2g
【解答】解：小球做竖直上抛运动，下降时间为t1=√
2h
g
根据竖直上抛运动的对称性，上升时间为：t2＝t1
故竖直上抛运动的总时间为：t＝t1+t2=2√
2h
g
演员手中总保留一个小球，扔出一球后立即接到另一球，说明若假设手中球抛出瞬间为起点计
时，此时3 个球在空中，另外两个小球都在手边，由运动的对称性可知，此时小球之间的时间间
隔为：1 与2 之间；2 与3 之间；3 与4 之间以及4 与5 之间共4 段时间间隔，则：4Δt＝t
所以：Δt = t
4 =√
h
2g
故ABC 错误，D 正确。
故选：D。
6．小明和小华在置于水平面的象棋盘上玩弹射游戏。如图所示，小明、小华分别在A、D 处给
“卒”和“车”象棋不同的初速度使之向前运动，“卒”象棋停在C 处，“车”象棋停在E 处。
3
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已知两象棋与棋盘的动摩擦因数相等，两象棋均可视为质点，A、B、C 处于同一直线，AC＝
2AB，AB＝DE。下列说法正确的是（ ）
A．“卒”象棋的初速度是“车”象棋的初速度的2 倍
B．“卒”象棋经过B 处时的速度小于“车”象棋的初速度
C．“卒”象棋从A 处运动到C 处的平均速度等于“车”象棋的初速度
D．“卒”象棋从A 处运动到C 处的时间是“车”象棋从D 处运动到E 处的时间的2 倍
【解答】解：A、由题可知“卒”象棋从A 处运动到C 处，“车”象棋从D 处运动到E 处，且
AC＝2AB，AB＝DE。设AB＝DE＝d，则AC＝2d。根据匀减速直线运动的公式v2＝2as
根据牛顿第二定律有μmg＝ma
a＝μg
解得“卒”象棋的初速度v1=√2a×2d
“车”象棋的初速度v2=√2ad。
所以“卒”象棋的初速度是“车”象棋的初速度的√2倍，故A 错误；
B、根据匀减速直线运动的公式v2＝2as，我们可以得到“卒”象棋经过B 处时的速度vB=√2ad
等于“车”象棋的初速度，故B 错误；
C、根据平均速度的公式v= s
t
，我们可以得到“卒”象棋从A 处运动到C 处的平均速度等于
“车”象棋的初速度的一半，故C 错误；
D、根据匀减速直线运动的公式t= v
a
，我们可以得到“卒”象棋从A 处运动到C 处的时间是
“车”象棋从D 处运动到E 处的时间的√2倍，故D 正确。
故选：D。
7．图甲为家用燃气炉架，其有四个对称分布的爪，若将总质量一定的锅放在炉架上，如图乙所示
（侧视图），忽略爪与锅之间的摩擦力，若锅是半径为R 的球面，正对的两爪间距为d，则下列
说法正确的是（ ）
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A．R 越大，爪与锅之间的弹力越小
B．R 越大，爪与锅之间的弹力越大
C．d 越大，锅受到的合力越大
D．d 越大，爪与锅之间的弹力越小
【解答】解：对锅进行受力分析如图所示。
根据平衡条件，炉架的四个爪对锅的弹力的合力与锅受到的重力大小相等，方向相反，即
4Fcosθ＝mg
由几何关系有
cosθ =√R
2- d
2
4
R
联立得：F=
R
√16 R
2- 4 d
2mg
则R 越大，爪与锅之间弹力越小，同理d 越大，爪与锅之间弹力越大，锅受到的合力为零，故A
正确，BCD 错误。
故选：A。
8．2023 年9 月29 日在中国浙江杭州举办的第19 届亚运会中，我国选手兰星宇荣获吊环冠军。如
图所示，兰星宇在比赛中吊环倒立处于静止状态，此时两根吊绳之间的夹角为θ。若兰星宇的质
量为m，重力加速度大小为g，吊环重力不计，则（ ）
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A．每根吊绳的拉力大小为1
2 mgcos θ
2
B．两个吊环对兰星宇的作用力大小为
mg
2cos θ
2
C．兰星宇单臂对吊环的作用力大小为
mg
2cos θ
2
D．兰星宇单臂对吊环的作用力大小为
mg
cos θ
2
【解答】解：A.如图所示，两根吊绳对称，与竖直方向夹角均为θ
2
，根据平衡条件可知，F1sin
θ
2 =F2sinθ
2
，F1cosθ
2 +F2cosθ
2 =mg，联立可知F1＝F2=
mg
2cos θ
2
，故A 错误；
B.整体分析可知，兰星宇处于静止状态，受力平衡，两个吊环对兰星宇的作用力大小等于兰星
宇的重力，故B 错误；
CD.兰星宇单臂对吊环的作用力与吊绳的拉力平衡，因此大小相等，根据上述分析可知力的大小
为
mg
2cos θ
2
，故C 正确、
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D 错误。
故选：C。
9．如图所示为餐厅暖盘车的储盘装置示意图，三根完全相同的轻质弹簧等间距竖直悬挂在水平固
定圆环上，下端与托盘连接，托盘上放着6 个质量均为m 的盘子并处于静止状态（托盘未与暖
车底部接触），已知托盘质量为2m，重力加速度大小为g，当某顾客快速取走最上端1 号盘子
的瞬间，托盘对最下端6 号盘子作用力的大小为（ ）
A．40
7 mg
B．30
7 mg
C．5mg
D．6mg
【解答】解：顾客快速取走1 号盘子的瞬间，托盘和其他5 个盘子的合力为mg，根据牛顿第二
定律有
mg＝（2m+5m）a
对剩余5 个盘子，设托盘对最下端6 号盘子的支持力大小为N，根据牛顿第二定律有
N﹣5mg＝5ma
联立可得托盘对6 号盘子作用力的大小为N = 40
7 mg，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
10．车厢顶部固定一滑轮，在跨过定滑轮轻绳的两端各系一个物体，质量分别为m1、m2，如图所
示。车厢向右运动时，系m1的轻绳与竖直方向夹角为θ。系m2的轻绳保持竖直，m1、m2与车
厢保持相对静止。已知m2＞m1，绳子的质量、滑轮与轻绳的摩擦忽略不计。下列说法正确的是
（ ）
A．车厢的加速度为0
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B．绳子的拉力大小为m1gcosθ
C．车厢底板对m2的支持力为（m1+m2）g
D．车厢底板对m2的摩擦力为m2gtanθ
【解答】解：AB.物体m 与车厢具有相同的加速度，对物体m1分析，受重力和拉力，如图
根据合成法，知F 合＝m1gtanθ
拉力为T= m1 g
tanθ
物体m1的加速度为a= m1gtanθ
m1
=gtanθ
所以车厢的加速度为gtanθ，故AB 错误；
CD.物体m2加速度为gtanθ，对物体m2受力分析，受重力、支持力、拉力和摩擦力，如图
支持力为N＝m2g- m1g
cosθ
，f＝m2a＝m2gtanθ，故C 错误，D 正确。
故选：D。
11．由同种材料制成的两滑块A、B 用一根轻质细绳连接，将滑块B 按在水平桌面上，细绳跨过轻
质定滑轮将滑块A 悬挂在空中，如图甲所示，松手后滑块A、B 的加速度大小均为a。现仅将滑
块A、B 位置互换（如图乙所示），松手后滑块A、B 的加速度大小均为3a。已知滑块B 的质量
等于滑块A 的质量的两倍，则滑块与水平桌面间的动摩擦因数为（ ）
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A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【解答】解：设滑块A 的质量为m，滑块B 的质量为2m；调换前对系统根据牛顿第二定律可得
mg﹣2μmg＝3ma
调换后，对系统根据牛顿第二定律可得
2mg﹣μmg＝9ma
联立解得
μ＝0.2，故B 正确，ACD 错误；
故选：B。
12．斜面ABC 倾角为37°，AB 段粗糙程度相同，BC 段光滑，如图甲所示。质量为1kg 的小物块以
初速度v0＝18m/s 沿斜面向上滑行，到达B 处速度为vB＝6m/s，到达C 处速度恰好为零，其上滑
过程的v﹣t 图像如图乙所示，重力加速度g 取10m/s2。下列说法正确是（ ）
A．小物块沿斜面向上滑行通过AB 的时间t0＝1.2s
B．物块与AB 段斜面的动摩擦因数μ＝0.75
C．斜面AC 间距离是LAC＝24m
D．小物块沿斜面下滑时间2s
【解答】解：A.由图像可知，经过相同的时间t0，第一次速度减小12m/s，第二次减小了6m/s，
可知第一次的加速度为第二次的二倍，得到v0- vB
t0
=2 vB
t0
，解得t0＝1s，故A 错误；
B.设BC 段长度为SBC，加速度大小为a，AB 段，由牛顿第二定律有mgsinθ+μmgcosθ＝m⋅2a，
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BC 段有mgsinθ＝ma，联立解得μ＝0.75，故B 正确；
CD.因为BC 段光滑，所以物体沿斜面下滑，回到B 点的速度大小仍为vB＝6m/s，CB 段，设下
滑时间t1，则vB＝at1，解得t1＝1s，BA 段，位移
xAB= v0
2- vB
2
2×2a
，解得xAB＝12m，xBC= vB
2
t1，解得xBC＝3m，xAC＝xAB+xBC＝12m+3m＝15m，下滑
时mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma'，解得a'＝0，则小物块沿斜面向下滑行通过BA 段的时间t2= x AB
vB
，解
得t2＝2s，故CA 段下滑总时间t＝t1+t2＝1s+2s＝3s，故CD 错误；
故选：B。
二．多选题
13．观察水龙头，在水龙头出水口出水的流量（在单位时间内通过任一横截面的水的体积）稳定时
发现自来水水流不太大时，从龙头中连续流出的水会形成一水柱，现测得高为H 的水柱上端面
积为S1，下端面积为S2，重力加速度为g，以下说法正确的是（ ）
A．水柱是上粗下细
B．水柱是上细下粗
C．该水龙头的流量是S1S2√
2 gH
S1
2- S2
2
D．该水龙头的流量是√
2 gH
S1
2+ S2
2
【解答】解：AB、设水在水柱上端处速度大小为v1，水流到水柱下端处的速度v2，则有：
v2
2- v1
2=2gH﹣﹣﹣①
设极短时间为Δt，在水柱上端处流出的水的体积：
V1＝v1Δt•S1，
水流水柱下端处的体积：
V2＝v2Δt•S2，
由题意知，V1＝V2，即：v1Δt•S1＝v2Δt•S2，
解得：v1S1＝v2S2，﹣﹣﹣②
因为v1＜v2，所以S1＞S2，水柱是上粗下细，故A 错误，B 正确；
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CD、将②代入①可解得：v1=√
2 gH S2
2
S1
2- S2
2
，
则该水龙头的流量：Q＝v1S1= S1S2√
2gH
S1
2- S2
2
，故C 正确，D 错误。
故选：AC。
14．新春佳节，小强把红纸铺在水平桌面上写“福”字，为防止红纸滑动，在其左侧放一镇纸压住
如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．在写最后一个笔画时红纸受到7 个力
B．在写最后一个笔画时镇纸受到向右的摩擦力
C．用毛笔在红纸上写字存在毛细现象
D．在空间站里可以用毛笔写字
【解答】解：A.对纸进行受力分析可知，书写过程中纸张收到笔的压力、笔的摩擦力、重力、
桌面的支持力、桌面的摩擦力、镇纸的压力、以及墨水的压力共7 个力，故A 正确；
B.镇纸相对于纸既没有相对运动的趋势，也未发生滑动，因此不受来自于纸的摩擦力，故B 错
误；
C.纸张内存在缝隙，因此存在毛细现象，故C 正确；
D.空间站内毛细现象同样存在，因此在空间站里毛笔可以写字，故D 正确。
故选：ACD。
15．如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为M 的物体A、B（B
物体与弹簧连接），弹簧的劲度系数为k，初始时物体处于静止状态.现用竖直向上的拉力F 作用
在物体A 上，使物体A 开始向上做加速度为a（a＜g）的匀加速运动，A、B 的速度随时间变化
图像如图乙所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
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A．拉力F 的最小值为2Ma
B．A、B 分离时，弹簧弹力恰好为零
C．A、B 分离时，A 上升的距离为M (g-a)
k
D．弹簧恢复到原长时，物体B 的速度达到最大值
【解答】解：A、分离前对A、B 整体分析有F﹣2Mg+kx＝2Ma，由于a 不变，x 减小，则F 增
大，故刚开始时力F 最小，初态2Mg＝kx，所以F 的最小值为2Ma，故A 正确；
B、A、B 分离时，对B 有kx2﹣Mg＝Ma，解得x2= M (g+a)
k
，A、B 分离时，弹簧弹力不为零，
故B 错误；
C、施加F 前，物体A、B 整体平衡，根据平衡条件有2Mg＝kx1，解得x1= 2 Mg
k
，A、B 分离时，
A 上升的距离为x1﹣x2= M (g-a)
k
，故C 正确；
D、A、B 分离后，B 先做加速度减小的加速运动，后做减速运动，当F＝Mg 时，B 达到最大速
度，故D 错误。
故选：AC。
三．实验题（共2 小题）
16．在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，需要将橡皮条的一端固定在水平木板上，橡
皮条的另一端系两根细绳，细绳另一端带有绳套。先用两个弹簧秤分别勾住绳套井互成角度地
拉橡皮条，使橡皮条的结点达到某一位置O，并记下该点的位置O。再用一个弹簧秤将橡皮条的
结点拉到同一位置O 点，如图甲所示。
12
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①物理学有很多的科学研究方法，本实验所采用的是 ；
A.理想模型法
B.等效替代法
C.控制变量法
D.演绎推理法
②图甲中沿OB 方向拉的弹簧测力计的示数为 N；（保留三位有效数字）
③实验中，在白纸上画出的测量结果如图乙所示，其中O 处为结点位置。图中的F 与F'两力中，
方向一定沿橡皮筋方向的是 ；
④关于本实验，下列说法正确的是
AD
。
A.弹簧秤、细绳、皮筋都应与木板平行
B.橡皮筋应与两绳夹角的平分线在同一直线上
C.两次拉伸橡皮条，只要使橡皮条伸长到相同长度即可
D.拉橡皮条的细绳要适当长些，标记同一细绳方向的两点要适当远些
【解答】解：①本实验用一根弹簧测力计拉橡皮条的效果替代两根弹簧测力计共同拉橡皮条的
效果，采用了等效替代法，故ACD 错误，B 正确；
故选：B。
②弹簧秤的精确度为0.1N，要估读到下一位，弹簧秤的示数为3.70N。
③图中F 为根据平行四边形定则作出的合力的理论值，而F′为合力的实际测量值，即一个弹
簧测力计作用时的力，方向一定沿橡皮筋方向的是F′。
④A.弹簧秤、细绳、皮筋都应与木板平行，故A 正确；
B.在实验中两个分力的夹角大小适当，在作图时有利于减小误差，并非需要橡皮筋与两绳夹角
的平分线在同一直线上，故B 错误；
C.本实验是“等效替代”思想，两次拉橡皮条时需要使橡皮条与细绳相连的节点O 到达同一位
置，不是仅使橡皮条伸长到相同长度，还需要拉伸方向相同，故C 错误；
D.拉橡皮条的细绳要适当长些，标记同一细绳方向的两点要适当远些，使拉力方向的确定更为
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精确，故D 正确；
故选：AD。
故答案为：①B；②3.70；③F′；④AD。
17．某同学利用如图甲所示的装置验证牛顿第二运动定律，步骤如下：
①用天平分别测得两物块的质量m1＝0.230kg、m2＝0.170kg；
②将物块1、2 用跨过轻质定滑轮的轻绳连接，物块2 下端与打点计时器纸带相连，托住物块
1。两物块保持静止；
③接通打点计时器的电源，释放物块1，两物块开始运动，打点计时器打出的纸带如图乙所示，
已知打点计时器所用的交流电源频率为50Hz，每相邻的两个点之间还有四个点未画出。回答下
列问题：
（1）根据如图乙中的数据可知，物块1 匀加速下落时的加速度大小a＝ m/s2。（保留
三位有效数字）（2）通过该实验可计算出当地的重力加速度大小g＝ m/s2。（保留两位
有效数字）
（3）由于空气阻力及纸带的影响，重力加速度的测量值 （填“大于”或“小于”）真
实值。
【解答】解：（1）根据逐差法有：
a= ( xCD+ xDE)-( x AB+ xBC)
4T
2
= (10.30+8.87)-(5.98+7.43)
4×0.1
2
×10
-2m/s2＝1.44m/s2
（2）设绳子的拉力为T，根据牛顿第二运动定律
对m1有：m1g﹣T＝m1a
对m2有：T﹣m2g＝m2a
整理上式，可得（m1﹣m2）g＝（m1+m2）a，
代入数据，解得g＝9.6m/s2。
（3）空气阻力及纸带的影响使得通过纸带得到的加速度比理想情况下的加速度小，从而使得重
力加速度的测量值小于真实值。
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故答案为：（1）1.44；（2）9.6；（3）小于。
四．计算题（共3 小题）
18．在十字路口，红灯拦停了很多汽车和行人，拦停的汽车排成笔直的一列，最前面一辆汽车的前
端刚好于路口停车线相齐，相邻两车的前端间距均为d＝6.0m，且车长为L0＝4.8m，最前面的行
人站在横道线边缘，已知横道线宽s＝20m。若汽车启动时都以a1＝2.5m/s2的加速度做匀加速直
线运动，加速到v1＝10.0m/s 后做匀速直线运动通过路口。行人起步的加速度为a2＝0.5m/s2，达
到v2＝1.0m/s 后匀速通过横道线。已知该路口亮绿灯的时间t＝40s，而且有按倒计时显示的时间
显示灯（无黄灯）。另外交通法规定：原在绿灯时通行的汽车，红灯亮起时，车头已越过停车
线的允许通过。由于行人和汽车司机一直关注着红绿灯，因此可以不考虑行人和汽车的反应时
间。（提示：绿灯亮起时，行人从A 走向B，第1 辆汽车从C 朝向D 行驶。）
请回答下列问题：
（1）按题述情景，亮绿灯的这段时间里最多能有多少辆车通过路口？
（2）按题述情景，不能通过路口的第一辆汽车司机，在时间显示灯刚亮出“3”时开始刹车，
使车匀减速运动，结果车的前端与停车线相齐，求该汽车刹车后经多少时间停下？
（3）路口对面最前面的行人在通过横道线的过程中与几辆车擦肩而过？
【解答】解：（1）汽车加速时间为：t1= v1
a1
= 10
2.5
s＝4s
40.0 s 时间，汽车能行驶的位移为：x= 1
2
a1t1
2+v（t﹣t1）= 1
2 ×2.5×4
2+10×（40﹣4）＝380m
所以有：n= x
d = 380
6
根据题意，能有64 辆汽车通过路口；
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（2）记 t0＝3s，当计时灯刚亮出“3”时，第65 辆汽车行驶的位移为：x65= 1
2
a1t1
2+v1（t﹣t1﹣
t0）＝350 m，
此时车离停车线的距离为：x66＝64d﹣x1＝34 m，
故它停下的时间满足x66= 1
2 v1t3，解得：t3＝6.8 s。
（3）汽车加速时间行驶的位移为：x1= 1
2
a1t1
2=20m
行人加速的时间为：t2= v2
a2
=2.0 s，加速位移为：x2= 1
2
v2t2＝1 m
行人通过横道线的时间为：t′＝t2+ s- x2
v2
=21 s
在行人通过横道线的时间内汽车行驶位移为：x3＝x1+v1（t′﹣t1）＝190 m
能到达横道线的车辆数为：N1= x3
d =31.7，
即第32 辆车有一部分是行人离开横道线后从侧边走过，
故取N1＝31 辆车擦肩而过。
答：（1）按题述情景，亮绿灯的这段时间里最多能有64 辆车通过路口；
（2）按题述情景，不能通过路口的第一辆汽车司机，在时间显示灯刚亮出“3”时开始刹车，
使车匀减速运动，结果车的前端与停车线相齐，该汽车刹车后经6.8s 时间停下；（3）路口对面
最前面的行人在通过横道线的过程中与31 辆车擦肩而过。
19．如图甲所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，已知弹簧劲度系数为k，原长为l0
（1）a.如图乙所示，在弹性限度内，用力F 将弹簧由原长O 位置拉至P 位置，求弹簧的长度l；
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b.请在图丙中画出小球从O 运动到P 的过程中，弹簧弹力的大小随相对于O 点的位移x 变化的图
象。根据F﹣x 图象求：从O 拉至任意位置x 的过程中弹力所做的功W，以及小球在此位置时弹
簧的弹性势能E 弹；
（2）弹簧的劲度系数k 的数值与弹簧的材料，弹簧丝的粗细，弹簧圈的直径，单位长度的匝数，
弹簧的原长及温度有关。
a.若在其它影响弹簧劲度系数的因素保持不变的情况下，仅将弹簧由l1处剪短为l1和l0﹣l1两部
分，求长度为l1部分的劲度系数k'。
b.上述过程中我们实际上忽略了弹簧的质量，若弹簧质量不可忽略，其质量为m0，弹簧自然悬
挂后如图丁所示状态，求其总长度l。
【解答】解：（1）a.由胡克定律F＝kx 得弹簧的伸长量：x= F
k
即弹簧的长度 l＝l0+x＝l0+ F
k
b.F﹣x 图象如右图所示
图中的图线和x 轴围成的面积表示功的大小弹力做功为W=- 1
2
kx2
弹力做功与弹性势能的关系W 弹＝0﹣E 弹
解得：E 弹= 1
2
kx2
（2）a.设拉伸过程中l1部分的伸长量为x ˊ，总伸长量为x。拉伸弹簧过程中整根弹簧均匀拉长，
内部张力处处相等。由几何关系知：x'
x = l1
l0
对整根弹簧由胡克定律：F＝kx
对l1部分应用胡克定律：F＝k'x ˊ
联立解得：k'= l0
l1
k，即同一弹簧的劲度系数与长度成反比
b.无重力时将弹簧分为N 段（N 很大），每一段长度为，劲度系数有重力的情况下，弹簧被拉伸，
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原来等分的N 小段受到不同程度的拉伸将变得长度不相等，但由于小段长度很小，每小段的劲
度系数可认为保持不变。自上而下：第1 小段承担了下面N﹣1 小段的重力，第二小段承担了下
面N﹣2 小段的重力……
考查第i 小段：Nk'xi＝（N﹣i）m0g
得第i 小段弹簧的长度为：xi= ( N -i)m0 g
Nk '
则弹簧的总长为：l＝l0+i= 1
∑
N
xi
当N→∞时有：
l =∑
i=1
N
[ l0
N + ( N -i)m0 g
N
2k
]=l0+ m0 g
N
2k ∑
i=1
N
( N -i)=l0+ ( N -1)m0 g
2 Nk
=l0+ m0 g
2k
答：（1）a.弹簧的长度为l0+ F
k
；
b.从O 拉至任意位置x 的过程中弹力所做的功为- 1
2
kx2，小球在此位置时弹簧的弹性势能为1
2
kx2；
（2）a.长度为l1部分的劲度系数为l0
l1
k。
b.其总长度为l0+ m0 g
2k
。
20．如图甲所示，质量M＝2kg 的盒状工件静置于水平桌面上，O 为工件上表面一点（图中未画
出），工件上表面O 点左侧光滑，右侧粗糙．质量m＝1kg 的小滑块放在工件上并紧靠左侧壁，
其与工件上表面粗糙部分间的动摩擦因数μ＝0.8。现对工件施加水平推力F，推力F 随时间t 变
化的关系如图乙所示，在推力作用下工件运动的速度v 随时间t 变化的关系如图丙所示，撤去推
力后，当滑块到达O 点时工件速度恰好为零，滑块运动过程中始终未与工件右侧壁相碰。g 取
10m/s2，不计工件侧壁的厚度，桌面足够长。求：
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（1）推力F 作用过程中，工件对滑块左侧的弹力F0的大小；
（2）工件光滑部分的长度d；
（3）工件的最小长度L；
（4）工件发生的最大位移x。
【解答】解：（1）由工件运动的v﹣t 图像得加速度大小为：a0= Δv
Δt
，解得：a0=2m/ s
2
由牛顿第二定律可得，工件左侧壁对滑块施加的弹力F0＝ma0
解得：F0＝2N；
（2）设工件底面与水平桌面间的动摩擦因数为μ'，在水平推力作用下，滑块与工件看作整体，
对整体由牛顿第二定律可得：
F﹣μ'（M+m）g＝（M+m）a0
解得：μ'＝0.2
撤去推力F 后，滑块匀速到达O 点，工件做减速运动，对工件则有：﹣μ'（M+m）g＝Ma1
解得：a1=-3m/ s
2
工件运动时间是：t1= 0- v0
a1
解得：t1＝1s
工件光滑部分的长度：d = v0t1- v0
2 t1
解得：d＝1.5m；
（3）滑块运动到粗糙面上时，由于μmg＞μ'（M+m）g，滑块做减速运动，工件做加速运动，
对滑块则有：
﹣μmg＝ma2
解得：a2=-8m/ s
2
对工件根据牛顿第二定律，有：μmg﹣μ'（M+m）g＝Ma3
解得：a3=1m/ s
2
滑块运动在粗糙面上时，与工件达到共速，则有：v 共＝v0+a2t2＝a3t2
解得：t2= 1
3 s、v共= 1
3 m/ s
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滑块与工件右侧壁未相碰，则粗糙面长度最小为：d ' = v0+ v共
2
t2- v共
2 t2
代入数据解得：d′＝0.5m
则工件的最小长度为：L＝d+d'＝1.5m+0.5m＝2m；
（4）滑块与工件达到共速后两者一起减速运动，加速度为a4，根据牛顿第二定律可得：
﹣μ'（M+m）g＝（M+m）a4
代入数据解得：a4=-2m/ s
2
工件从开始运动到最后静止，经历了先加速后减速，再加速，最后减速的运动过程，发生的位
移为：
x = v0
2 t0+ v0
2 t1+ v共
2 t2+ 0- v共
2
2a4
代入数据解得：x = 23
6 m。
答：（1）推力F 作用过程中，工件对滑块左侧的弹力F0的大小为2N；
（2）工件光滑部分的长度为1.5m；
（3）工件的最小长度为2m；
（4）工件发生的最大位移为23
6
m。
20
