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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（新高考Ⅰ卷）02
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为
，若
，则z 在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A．一
B．二
C．三
D．四
3．已知向量
满足
与
垂直，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
4．二项式
的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
5．已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为
，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设椭圆
的一个焦点为
，点
为坐标原点，若
上存在点
使得
为等边
三角形，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
（
，
），
，
，且
在区间
上单调，则
的最大值为( ).
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
（
不恒为零），其中
为
的导函数，对于任意的
，
，满足
，且
，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
关于点
对称
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．某农业研究所为了解种植新品种玉米的亩产量情况，从某地区随机抽查100 亩种植新品种玉米的亩产量
（单位：kg），整理出如下统计表：
亩产
量
频数
10
20
20
15
5
已知这100 亩的亩产量均在
内，根据表中数据，下列结论正确的是（ ）
A．这100 亩种植新品种玉米的亩产量的极差介于400kg 至600kg 之间
B．这100 亩种植新品种玉米的亩产量的中位数大于1100kg
C．估计该地区种植新品种玉米的亩产量不低于1000kg 的占比为
D．估计该地区种植新品种玉米的亩产量的平均值介于1150kg 至1200kg 之间
10．棱长为2 的正方体
中，
分别是
的中点，点
在线段
上，点
在底面
内部（包含边界）.则下列说法中，正确的是（ ）
A．当点
在棱
上移动时，总存在点
，使得
成立
B．当点
在棱
上移动时，存在点
和
，使得
成立
C．三棱锥
体积的最大值是
D．
的最小值是
11．数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线
，上顶点为
，
右顶点为
，曲线
上的点满足到
和直线
的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共
的上下顶点，过
作斜率小于0 的直线与两曲线从左到右依次交于
且
，则（ ）
A．曲线
由两条抛物线的一部分组成
B．线段
的长度与
点到直线
的距离相等
C．若线段
的长度为
，则直线的斜率为
D．若
，则直线的斜率为
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
．
13．一组从小到大排列的数据：
，若删去
前后它们的
百分位数相同，则
．
14．2025 春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人
组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如
图所示的曲线C 过坐标原点O，C 上的点到两定点
的距离之积为定值.当
时，C 上第一象限内的点P 满足
的面积为
，则
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
在锐角
中，内角
所对的边分别为
，
，，满足
，且
.
(1)求证：
；
(2)已知
是
的平分线，若
，求线段
长度的取值范围.
16．（15 分）
已知函数
．
(1)当
时，求
的单调增区间；
(2)证明：当
时，
．
17．（13 分）
如图，在三棱台
中，
，点
为棱
的中点，
，且直线
与平面
所成的角为
.
(1)证明：
；
(2)求平面
与平面
成角的余弦值.
18．（17 分）
已知椭圆
，
分别是椭圆的左、右焦点，
是椭圆上的动点，直线
交椭圆于另一
点
，直线
交椭圆于另一点
．
(1)求
面积的最大值；
(2)求
与
面积之比的最大值．
19．（17 分）
（1）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康帮，活力无限”健身打卡活动．公司统计了
开展活动后近5 个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数．统
计结果如下：
月份
1
2
3
4
5
身体指标明显改善人数
330
260
20
0
140
90
若身体指标明显改善人数
与月份变量
（月份变量
依次为
）具有线性相关关系，请预
测第6 个月身体指标明显改善的大约有多少人？
（2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了X、Y、Z 三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任
何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由X 组先发起竞赛，挑战Y 组、Z 组的概率均为
，若
X 组挑战Y 组，则下次竞赛发起权在Y 组．若竞赛发起权在Y 组，则挑战X 组、Z 组的概率分别为
和
；若竞赛发起权在Z 组，则挑战X 组、Y 组的概率分别为
和
；
①经过3 次挑战赛后，求竞赛发起权在Y 组的次数M 的分布列与数学期望；
②定义：已知数列
，若对于任意给定的正数
（不论它多么小），总存在正整数
，使得当
时，
（
是一个确定的实数），则称数列
为“聚点数列”，
称为数列
的
聚点．经过
次竞赛后，竞赛发起权在X 组的概率为
，证明数列
为“聚点数列”，并求出聚点
的值．附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
．
