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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（新高考Ⅱ卷）02
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设
是两个不同的平面，
是两条直线，且
.则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．如图中，图象对应的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．据典籍《周礼•春官》记载，“宫商角徵羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就
､
､
､
､
是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，
“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（ ）
A．50
B．64
C．66
D．78
7．设抛物线
的焦点为
，准线为，过
的直线与
交于
、
两点，记点
到直线
的距离为
，且
.若点
的横坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
且
在R 上为单调函数.若方程
有
4 个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知函数
则（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．将函数
的图象向左平移
个单位长度后所得到的图象关于
轴对称
C．函数
在区间
上有2 个零点
D．函数
在区间
上单调递增
10．在正四棱台
中，
，
，
则（ ）
A．该正四棱台的体积为
B．直线
与底面
所成的角为60°
C．线段
的长为
D．以
为球心，且表面积为
的球与底面
相切
11．“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的
比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）.若黄金双曲线
的左右两顶点分别为
，虚轴上下两端点分别为
，
，左右焦点分别为
为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，
为
的中点.设双曲线
的离心率为，
则（ ）
A．
B．
C．直线
与双曲线
的一条渐近线垂直
D．直线
与双曲线
的左支有两个不同的交点
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。其中14 题第一空2 分，第二空3 分。
12．某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为
米，
米．从山脚下的
处测得
处的仰角为
，
处的仰角为
，
，点
，
，
在同一水平面内，
，
，则两座山的山顶
，
之间的距离是 米．（参考数据：
，
）
13．已知
，
且
，若当
取最小值时有
，则
的取值范围是
.
14．在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格
出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第
1 次运动，机器人可以运动到
，
，
或
）．若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成
功”，则运动2025 次后机器人“成功”的概率为 ．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30 名员工的绩效分数达标
情况进行调查，整理得到如下列联表：
单位：人
性别
绩效分数达标情况
合计
未达标
达标
男
20
10
30
女
5
25
30
合计
25
35
60
(1)经计算，所调查的男员工绩效分数的平均数
为26；女员工绩效分数的平均数
为34，求这60 人绩效
分数的平均数
.
(2)根据上表数据，依据小概率值
的
独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关
联？
(3)该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1 千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开
工的第一个月赢得奖励的概率为
，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率
为
；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为
，求甲在前两个月所得奖金总额X（单位：千
元）的分布列和数学期望.
附：
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
参考公式：
，其中
.
16．（15 分）
已知单调递增数列
满足
，
.
(1)证明:
是等差数列；
(2)从①
；②
这两个条件中任选一个，求
的前
项和
.
注:如果选择不同的条件分别解答，按第一个解答计分.
17．（15 分）
如图，四棱锥
中，
，平面
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的平面角的余弦值.
18．（17 分）
已知函数
，其中
．
(1)若
和
的图象有公共点，求
的取值范围；
(2)若
和
的图象没有公共点，一条直线与
和
的图象都相切，切点坐标分别为
和
．
证明：（ⅰ）
；
（ⅱ）
．
19．（17 分）
已知椭圆E 的标准方程为：
，在这个椭圆上取
个点，这些点的坐标分
别为
，连接
．
(1)若直线
的斜率为
，求椭圆E 的离心率；
(2)证明
的面积为定值，并求多边形
的面积（用n 表示）；
(3)若
，线段
的中点为M，证明：
．
