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2023 年高考押题预测卷02【天津卷】
数学·参考答案
一、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
D
D
D
C
A
C
C
D
D
二、填空题
10：
11：
12：
.
13：
；
14：
；
15：
.
三、解答题
16．(14 分)
【详解】（1）在
中，由正弦定理
可得：
，整理得
，
由余弦定理，可得
；…………………………………………5 分
（2）（i）由（1）可得
，又由正弦定理
，
及已知
，可得
，
由已知
，可得
，故有
，…………………………………………8 分
为锐角，可得
，
，
1
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则
；…………………………………………10 分
（ii）由（i）可得
，
,
.……………………………………14 分
17．(15 分)
【详解】（1）由
为正三棱柱可知，
平面
，
又
平面
，所以
，
由底面是边长为2 的正三角形，D 为AB 的中点，所以
；
又
，
平面
，所以
平面
；
又
平面
，所以
；…………………………………………4 分
（2）取线段
的中点分别为
，连接
，
易知
两两垂直，以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标
系
，如下图所示;
由侧棱长为
，底面边长为2 可得，
，
2
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由D 为AB 的中点可得
，
所以
，…………………………………………6 分
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，可得
；
即
；
易得
即为平面
的一个法向量，…………………………………………10 分
所以
，
设二面角
的平面角为
，由图可知
为锐角，
所以
，即
；
即二面角
的大小为
.…………………………………………12 分
（3）由（2）可知
，平面
的一个法向量为
，
设直线CA 与平面
所成的角为
，
所以
，
即直线CA 与平面
所成角的正弦值为
.…………………………………………15 分
18．(15 分)
【详解】（1）由题意，设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，
3
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因为
，
所以
即
解得
（舍去），或
所以
.…………………………………………5 分
（2）由（1）知
，
所以
…………………………………………10 分
（3）由（1）知
.
所以
所以
.
即
…………………………………………15 分
19．(15 分)
【详解】（1）由题意得
，解得
，
4
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将
代入椭圆方程，得到
，故
，
故椭圆方程为
；…………………………………………3 分
（2）当直线
的斜率为0 时，此时
三点共线，不合要求，舍去；
当直线
的斜率不为0 时，设直线
的方程为
，
与椭圆方程
联立，得
，
设
，则
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
面积的最大值为
，
此时直线
的方程为
或
；…………………………………………9 分
（3）在x 轴上存在点
使得
恒成立，理由如下：
因为
，所以
，即
，
整理得
，即
，
5
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所以
，
则
，解得
，
故在x 轴上存在点
，使得
恒成立.…………………………………………15 分
20．(16 分)
【详解】（1）当a=1 时，
，
所以
，
故切点坐标为
，…………………………………………2 分
又
，
所以
，
故切线的斜率为
，
由点斜式可得，
，即
，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
；…………………………………………4
分
（2）
的定义域为
，
又
，
①当
，即
时，
在
上恒成立，
故
在
上单调递减；…………………………………………6 分
②当
，即
或
，
6
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令
，解得
，
若
时，则当
或
时，
，
当
时，
，…………………………………………8 分
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
若
时，
在
上恒成立，
故
在
上单调递减.…………………………………………9 分
综上所述，当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.…………………………………………10 分
（3）由（2）可知，当
时，f（x）有两个极值点
，
则
，
由题意可得，
，
则
，…………………………………………14 分
7
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令
，
则
，
当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
故当
时，
取得最大值
，
所以
.…………………………………………16 分
8
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9
