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2023年高考押题预测卷03【天津卷】
数学·参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A A B C B B A B D
二、填空题
10． /
11．2
12．
13．
14． /
15．
三、解答题
16.(14分)
【详解】（1）在锐角 中，由 及正弦定理得 ，
因为 ，则 ，而 ，因此 ，
即 ，又 ，
所以 .…………………………………………7分
（2）由 及余弦定理得： ，解得 ，
由正弦定理 得： ，
由 及 得： ， ，于是 ，所以a的取值范围是 .…………………………………………14分
17．(15分)
【详解】（1）证明：法一：分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
由题意可知点 、 分别为线段 、 的中点．所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以点 、 、 、 四点共面，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；…………………………………………4分
法二：因为 为正方形，且 平面 ，所以 、 、 两两互相垂直，
以点 为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
所以 ，易知平面 的一个法向量 ，所以 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ．…………………………………………4分
（2）解：设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
易知平面 的一个法向量 ，设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角余弦值为 ；…………………………………………9分
（3）解：假设存在点 ，使得 ，其中 ，
则 ，
由（2）得平面 的一个法向量为 ，
由题意可得 ，
整理可得 ．即 ，
因为 ，解得 或 ，所以， 或 ．…………………………………………15分
18．(15分)
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，由题意得 ，
解得 ， ，所以椭圆 的方程为 .…………………………………………4分
（2）由（1）可得 ，由题意知，直线 与椭圆必相交，
①当直线斜率 不存在时，由 ，解得 或 ，
不妨令 ， ，则 ，不合题意；
②当直线 存在时，设直线 ，设 ， ，
联立 ，消去 整理得 ，
所以 ， ，
则 ，
解得 ，
所以直线方程为 或 .…………………………………………9分
（3）证明：由（2）可得 ，
设直线 ，设 ， ，
联立 ，消去 得 ，所以 、 ，
所以 ，
所以 ，即 为定值.…………………………………………15分
19．(15分)
【详解】（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，由题意
，即 ，
∵ ，解得 ，∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，∴
∴ .…………………………………………4分
（2）
∴ ①
∴ ②
① ②得∴ .…………………………………………9分
（3）
当 为偶数时，
当 为奇数时，
∴ …………………………………………15分
20．(16分)
【详解】（1）当a=1时， ，
所以 ，
故切点坐标为 ，
又 ，
所以 ，
故切线的斜率为 ，
由点斜式可得， ，即 ，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ；…………………………………………5分
（2） 的定义域为 ，又 ，
①当 ，即 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递减；
②当 ，即 或 ，
令 ，解得 ，
若 时，则当 或 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
…………………………………………9分
（3）由（2）可知，当 时，f（x）有两个极值点 ，
则 ，
由题意可得， ，
则，
令 ，
则 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
故当 时， 取得最大值 ，
所以 .…………………………………………15分
