2023年高考押题预测卷02（新高考Ⅰ卷）-数学（全解全析）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_42023年高考数学押题预测卷

2023年高考押题预测卷02【新高考Ⅰ卷】 数学·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上 写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求. 1．设集合 , ,则 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ,得 ,所以 ,又 , 所以 . 故选：C 2．已知 ，则复数z在复平面上对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】设 ，则 ， ∴由 ，得 ， 解得 ， ， ∴复数 在复平面上对应的点 在第一象限． 故选：A． 3．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体,设圆锥部分的高为 米,圆柱部分的 高为 米,底面圆的半径为 米,则该组合体体积为( )A． 立方米 B． 立方米 C． 立方米 D． 立方米 【答案】C 【详解】由题知底面圆的半径 ，圆柱高 ，圆锥高 . 圆柱的体积 . 圆锥的体积 . 所以该组合体体积 （立方米）. 故选：C 4．在正方形 中，动点 从点 出发，经过 ， ，到达 ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立平面直角坐标系， 设 ，则 ， 当点 在 上时，设 ， 则 ，即 ，故 ， 当点 在 上时，设 ， 则 ，即 ，解得 ， 故 ， 当点 在 上时，设 ， 则 ，即 ，故综上， 的取值范围是 . 故选：B 5．已知 ，则 （ ） A． B．－1 C． D． 【答案】C 【详解】由 ， 所以 ，则 ， 所以 ，则 ，故 ， 由 . 故选：C 6．一袋中有大小相同的 个白球和 个红球，现从中任意取出 个球，记事件 “ 个球 中至少有一个白球”，事件 “ 个球中至少有一个红球”，事件 “ 个球中有红球也 有白球”，下列结论不正确的是（ ） A．事件 与事件 不为互斥事件 B．事件 与事件 不是相互独立事件C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，取出的 个球的可能情况为： 个红球； 个红球 个白球； 个红球 个白球； 个白球. 故事件 包含： 个红球 个白球； 个红球 个白球； 个白球，且 ； 事件 包含： 个红球 个白球； 个红球 个白球； 个红球，且 ； 事件 包含： 个红球 个白球； 个红球 个白球，且 . 所以， ， ， 因为 ，则事件 与事件 不为互斥事件，A选项错误； ，故事件 与事件 不是相互独立事件，B正确； ，故D错误； ，故C正确； 故选：D. 7．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ . 令 ，则 ，∴ 在 上单调递增，∴ ，即 ，∴ ，∴ . 故选：D. 8．已知数列 、 ， ， ， 其中 为不大于x的最大整 数.若 ， ， ，有且仅有4个不同的 ，使得 ，则m一共有 （ ）个不同的取值. A．120 B．126 C．210 D．252 【答案】C 【详解】设 ，其中 ，且 不 全为0， ， 若 ，则 ， ， ， ， 若 ，则 ， ， ， ， 所以若 则， ，若 ，则 ， 若 ， ，则 ， ， ， ， ， ， 若 ， ，则 ， ， ， ， ， ， 若 ， ，则 ， ， ， ， ， ， 若 ， ，则 ， ， ， ， ， ， 所以 时， ， 时， ，同理可以证明 时， ， ， ， 因为有且仅有4个不同的 ，使得 ，即 中有且仅有4个变量取值为1， 其余变量取值为0，又从 中任选4个变量有 种取法， 故满足条件的 的个数为 ，即210个， 故选：C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活 动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的 频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（ ） A．图中 的值为0.016 B．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间 C．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人 D．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80 【答案】BCD 【详解】由频率分布直方图性质可得： ，解得 ，故A错误； 得分介于60至90之间的频率为 ，故B正确； 得分不小于90的人数估计为 ，故C正确； 得分介于50至80之间的频率为 ，故D正确. 故选：BCD. 10．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则 不可能为（ ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】BCD 【详解】由余弦定理 ，所以 ，又 ，所以 ， 故 为等腰直角三角形. 故选：BCD 11．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的 反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两 焦点连线的夹角.已知 分别为双曲线 的左，右焦点，过 右支上一点 作直线 交 轴于点 ，交 轴于点 .则（ ） A． 的渐近线方程为 B．点 的坐标为 C．过点 作 ，垂足为 ，则 D．四边形 面积的最小值为4 【答案】ACD 【详解】对于A项，由已知可得 ， ，所以 的渐近线方程为 ， 故A项正确； 对于B项，设 ，则 ，整理可得 . 又 ，所以 ，所以有 ，解得 ，所以点 的坐标为 ，故B项错误； 对于C项，如上图，显然 为双曲线的切线. 由双曲线的光学性质可知， 平分 ，延长 与 的延长线交于点 .则 垂直平分 ，即点 为 的中点. 又 是 的中点，所以， ，故C 项正确； 对于D项， ， 当且仅当 ，即 时，等号成立. 所以，四边形 面积的最小值为4，故D项正确. 故选：ACD. 12．定义：对于定义在区间 上的函数 和正数 ，若存在正数 ，使得不 等式 对任意 恒成立，则称函数 在区间 上满足 阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ） A．函数 在 上满足 阶李普希兹条件. B．若函数 在 上满足一阶李普希兹条件，则 的最小值为2. C．若函数 在 上满足 的一阶李普希兹条件，且方程 在区 间 上有解 ，则 是方程 在区间 上的唯一解. D．若函数 在 上满足 的一阶李普希兹条件，且 ，则存在满足条 件的函数 ，存在 ，使得 . 【答案】ABC 【详解】A选项：不妨设 ， ，即 ，故 ，对 ，均有 ，A选项正确； B选项：不妨设 ， 在 单调递增， ， ，即 ，即 对 ， 恒成立，即 在 上单调递减， 对 恒成立，所以 对 恒成立，即 ，即 的最小值为 ，B选项正确； C选项：假设方程 在区间 上有两个解 ， ，则 ，这与 矛盾，故只有唯一解，C选项正 确； D选项：不妨设 ，当 时， ，当 时， 故对 ， ，不存在 使 ，D选项错误； 故选：ABC. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分,其中第16题第一空2分，第二空3分． 13．若数列 是公差为2的等差数列， ，写出满足题意的一个通项公式 ______. 【答案】 （答案不唯一） 【详解】设等差数列的首项为 ，且公差 ， 则 ， 即 ，所以 ， 令 ，所以 ， 所以可取 故答案为： （答案不唯一） 14．已知常数 ， 的二项展开式中 项的系数是 ，则 的值为 _____________． 【答案】 【详解】由已知 ，则其展开式的通项为 ， 又其二项展开式中 项的系数是 ， 则令 ，即 ， ， 又 ， 所以 ，故答案为： . 15．如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上， ．点P为线段CB上任意一点， 点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则 的 面积的最大值为__________． 【答案】 【详解】由题意可知， ，即 . 在 中，有 ， ， 所以 . 由余弦定理可得， ， 所以 ， 所以有 ， 当且仅当 时，等号成立. 所以， ， 所以， ，即 的面积的最大值为 . 故答案为： . 16．在棱长为1的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面 上的动点.且 平面 ，则点 的轨迹长为__________.点 到直线 的距 离的最小值为__________. 【答案】 【详解】在正方体 中，连接 ，如图，对角面 为矩形，因为点 分别是棱 的中点，则 ，而 ， 即平面 截正方体所得截面为梯形 ，显然过点 与平面 平行的平面交平 面 、平面 分别于 ，因此 ，连 ，平面 、平面 与平面 分别交于 ， ， 因此 ，而 ，即四边形 为平行四边形，于是 ， 即点M为 的中点，同理 为 中点， ，因为动点 始终满足 平面 ， 于是 平面 ，又 在侧面 上，所以点 的轨迹是线段 ，轨迹长为 ； 以点D为原点建立空间直角坐标系，则 ， 则 ，令 ， 则有 ， ， 于是点 到直线 的距离 ， 当且仅当 时取等号，所以点 到直线 的距离的最小值为 .故答案为： ； 四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知各项均为正数的等比数列 ，其前 项和为 ，满足 ， (1)求数列 的通项公式； (2)记 为数列 在区间 中最大的项，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) ； (2) . 【详解】（1）设 的公比为 ，则 ，又 ， 当 时， ，当 时， ， 两式相减可得， ，所以 ， 所以 或 (舍去)， 所以 ，即 ， 所以等比数列 的通项公式为 ； （2）由 ， ，可得 ， 所以 ，又 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ， 所以 ， 所以 . 即 . 18．在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，且 . (1)求证： ； (2)已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）由题意得 ，即 . 由正弦定理得 ， 又由余弦定理得 ， 所以 ，故 ， 故 ，整理得 ， 又 为锐角三角形，则 所以 ，因此 . （2）在 中，由正弦定理得 ，所以 . 所以 ， 因为 为锐角三角形，且 ，所以 ，解得 . 故 ，所以 . 因此线段 长度的取值范围 . 19．如图，在三棱台 中， . (1)求证：平面 平面 ； (2)若四面体 的体积为2，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【详解】（1）（1）延长三条侧棱交于点 .因为 所以 ， 分别为中点， 且 . 因为 ，所以 . 取 的中点 ，则 . 因为 所以 所以 . ，则 ，故 ， 即 . 因为 ， , 平面 , 平面 , 所以 平面 . 又 平面 ，故平面 平面 . （2）因为 ，所以 . 而 , 所以 ，解得： . 以 为坐标原点， 为 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， 设 为面 的一个法向量， 因为 ，所以 ， 不妨设 ，则面 的一个法向量 . 同理可求得面 的一个法向量 . 由图示，二面角 的平面角为锐角， 所以 ， 所以二面角 的余弦值为 . 20．学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、 乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得 分，没有平局. 三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为 0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为 ， . (1)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果 ，那么认 为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）； (2)用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望. 【答案】(1)甲、乙获得冠军的实力没有明显差别 (2)分布列见解析， 【详解】（1）解：设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为 ， 则教师甲获得冠军的概率， 由对立事件的概率公式，可得得 ， 所以 ，解得 ， 因为 ，所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别. （2）解：根据题意知， 的可能取值为 ， 可得 ， ， ， . 所以随机变量 的分布列为 0 15 30 0.15 0.425 0.35 0.075 所以期望为 . 21．已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，短轴长为 ，点 上的点 满足直线 、 的斜率之积为 ． (1)求 的方程； (2)若过点 且不与 轴垂直的直线 与 交于 、 两点，记直线 、 交于点 ． 探究：点 是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点 在定直线 上 【详解】（1）解：设 ，则 ，且 ，所以， ， 则 ，故 ①，又 ②， 联立①②，解得 ， ，故椭圆 的方程为 ． （2）解：结论：点 在定直线上 ． 由（1）得， 、 ，设 ， 设直线 的方程为 ，设点 、 ， 联立 ，整理得 ， ， ， 直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 所以， ， 可得 ，解得 ， 因此，点 在直线 上. 22．已知函数 ， ． (1)讨论 的极值； (2)若不等式 在 上恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为函数 ，则 ， ，当 时， ，此时 单调递增，无极值；当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，无极小值； 当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，无极大值． 综上，当 时，函数 无极值；当 时， ，无极小值； 当 时， ，无极大值． （2）由 及 ，得 ， ， 即 ．设 ， ， 当 时，需 ．由 ，得 ， ，设 ， 则 ， ， 当 时，由 ，得 ，因为 ，所以 ， 所以当 时，则 ， 即 为增函数，则 ， 为增函数，则 ，所以 符合条件． 当 时，由 ，得 ， 因为 ，所以 ，所以当 时， ，则 即 为减函 数，则 ， 为减函数，则 ，不符合条件． 综上所述，m的取值范围为 ．