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2023年高考押题预测卷02【上海卷】
数学·参考答案
1． /
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3．
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8． /
9．112
10．
11．
12．
13．C
14．C
15．C
16．B
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用 与 关系即可求出 的通项公式；（2）根据对数运算即可求出结果.
【详解】（1） ，
，
两式相减可得 ，
等比数列 的各项均为正数，
；（4分）
设公比为 ，则 ，
解得 ，即 ，
当 时， ，
解得 ，
.（8分）
（2）若存在正整数 ，使得 ，
即 ，
，
解得 ，
存在 ，使得 .（14分）
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）确定 ，根据中点得到 ， 得到 平面 ，得到面面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，平面 的一个法向量为 ， 是平面 的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）由 是底面的直径，点 是底面圆周上的点，得 .
又因 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，故 .
因 是圆锥的轴，所以 底面 ，又 平面 ，故 .
于是 与平面 内的两条相交直线 ， 都垂直，从而 平面 ；
而 平面 ，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面 平面 .（6分）
（2）在圆锥底面，过圆心 作直径 的垂线，交圆周于点 ，则直线 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则 ， ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，得 . （10分）
又 是平面 的一个法向量，
故 .平面 与平面 所成的二面角是锐角，故二面角 的余弦值为 .（14分）
19．(1)分布列见解析， 1
(2)表格见解析，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系
【分析】（1）由题可知 可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；
（2）由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算 ，比较其与 大小即可判断长时间使用
手机与是否得脑瘤有无显著关系.
【详解】（1）第一次训练时所取的球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以 可取的值为
0，1，2. .
则分布列如下
0 1 2
则期望为 .（6分）
（2）由题目条件可得列联表如下：
习惯固定在左侧接听电
习惯固定在右侧接听电话 总计
话
脑瘤部位在左侧的病人 14 28 42
脑瘤部位在右侧的病人 19 27 46
总计 33 55 88
则 = ，
故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系. （14分）
20．(1)(2)
(3)可能是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）由椭圆的焦点坐标以及 ，可得 的值，从而得到半椭圆方程；
（2）设 ，分为 三种情况分别表示出 的周长，得到关
于 的函数，从而得到周长的取值范围；
（3）分情况讨论可知 不可能是直角；设 ，则 ，可得 ，从而
，①若 在半椭圆 上，得 ，令
，结合零点存在定理求解；②若 在圆弧 上，得
，令 ，利用导数求解，综合可得结论.
【详解】（1）由 ，令 ，可得 以及 ，
再由椭圆的方程及题意可得 ，
由 ，可得 ，
由 可得 ，则 ，所以 ，
所以“曲圆” 中的半椭圆的方程为 .（4分）
（2）由（1）知，“曲圆”的方程为： ， ，
可得 ， 为椭圆的左焦点，圆的半径 ，
设 的周长为 ，当 时， 在圆上， 在椭圆上， ，
；（6分）
当 时，P、Q都在椭圆上， ，
，
当 时， 在圆上， 在椭圆上， ，
；
综上， 的周长的取值范围为： ．（9分）
（3）若 都在半椭圆上，则 都在 轴右侧，也在 的下方， ，
当直线 是 时，显然 不可能是直角三角形，
当直线 不是 时，设直线 与“曲圆”相交于 ，
若 中有一点在圆弧上，另一点在半椭圆上（圆内）， 过圆心 ，
不可能是直角；
设 ，则 ，
则 ， ，
即 ， ，从而 ，
①若 在半椭圆 上，
则 ，即 ，令 ，
，且函数 在 上的图象连续不断，
函数 在 上至少有一个零点 ，此时 .（12分）
②若 在圆弧 上，
直线 的斜率 时， ，则 ，
于是 ，即 ，
令 ，
在 上严格递增，
在 上无解.
综上，当 都在半椭圆上时， 可能是以 或 为直角的直角三角形. （16分）
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假
设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，
在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论．解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问
题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程
组有实数解，则元素存在；否则，元素不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
21．(1)
(2)1
(3)【分析】（1）求出函数的导数，计算 ， 的值，利用直线的点斜式方程求出切线方程；
（2）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于 的不等
式，解出即可求出答案；
（3）根据条件进行恒等转化，构造函数 ，问题转化为 在 上恒成立，
利用不等式的性质求出范围即可.
【详解】（1）当 时， ，
， ， ，
∴
在 处的切线方程为 .（3分）
∴
（2）函数 的定义域为 ，
当 时， .
令 ，解得 或 .（5分）
①当 ，即 时， 在 上单调递增.
所以 在 上的最小值为 ，符合题意；（7分）
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，不符合题意；
当 ，即 ， 在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，不符合题意；
综上，实数a的取值范围是 .
故 的最小值为1. （10分）
（3）设 ，则 ，因为 ，
所以对任意 ， ， ，且 恒成立，
等价于 在 上单调递增.而 ，（14分）
当 时， ，此时 在 单调递增；
当 时，只需 在 恒成立，
因为 ，只要 ，则需要 ，
对于函数 ，过定点 ，对称轴
只需 ，即 ，
综上可得： .（18分）
【点睛】（1）经过函数上的 一点求切线方程的方法：对函数进行求导，得到导函数 ，求出
在此点出的切线斜率 ，利用直线的点斜式方程 ，求出切线方程即可;
（2）若已知含参函数最值，求按参数的取值范围或参数的最值时，通常要对函数进行求导，研究导数的
正负，进而得到原函数的单调性，导数里含有参数，根据导数的具体形式对参数进行分类讨论，结合条件
得出结果；
（3）不等式抓化为函数值的比较，通常需要构造函数，如出现题中的不等式形式，需要构造
，研究 函数单调性，转化为导数 在 的恒成立问题.
