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2023年高考押题预测卷02【新高考II卷】
数学·全解全析
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C D D D C B B D ABD ACD AD BCD
1．【答案】C
【解析】集合 ，
又因为集合 ，由交集的定义可得，
，
故选：C.
2．【答案】D
【解析】设复数 在复平面内对应的点分别为 ,
则 的几何意义是 到 的距离和 到 的距离相等,
则 在复平面内对应的点 满足 .
故选：D.
3．【答案】D
【解析】由题意可得， ， ，
， .
故选：D
4．【答案】D
【解析】若按 分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有 种；
若按 分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有 种，
故甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有 种．
故选：D．
5．【答案】C
【解析】如图，设H为底面正方形ABCD的中心，G为BC的中点，连接PH，HG，PG，
则 ， ，所以 ，
则 ，
故选：C.
6．【答案】B
【解析】易知直线 ： 过定点 ，且点Q在圆O内，
当Q是弦AB的中点时，弦长AB最小，
此时
.
当P是线段QO的延长线与圆O的交点时， 最大，且最大值是 ，
所以 的最大值是 .
故选：B.
7．【答案】B
【解析】因为 ，
令 ，则 在 上恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
因为 ，则 ，所以， ，
令 ，则 ，当 时， ，所以， 在 上单调递增，
故当 时， ，即 ，
所以， ，故 ，
又因为 ， ，
， ，故 ，
故选：B.
8．【答案】D
【解析】因为 的最小正周期为 ，由 的图像与性质可知，
的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ，
当 时，即 ，此时最大值为 ，
故 ， 恒为定值1，
当 时，即 ，
在 单调递增，此时 最大值为 ，
又 ，所以此时 的最小值为 ，当且仅当 时取到，
当 时，且 ，得到
，
又 ，所以 ，此时最大值为
，又 ，所以此时 的最小值为 ，当且仅当 时取到，
当 时，即 ，
在 单调递减，此时最大值为 ，
当 时，且 ，得到
，
又 ，所以 ，
此时最大值为 ，
所以当 时，
又因为 在区间 上单调递减，故当 时， 取到最小值，
且最小值为 ，
综上可知，
的最小值为 ，当 时取到，
故选：D.
9．【答案】ABD
【解析】选项A，因 ，所以 ，所以选项A正确；选项B，由投影向量的定义知， 在 方向上的投影向量为 ，所以选项B正
确；
选项C，设与 垂直的单位向量的坐标 ，则有 ，
解得 或 ，所以与 垂直的单位向量的坐标为 或 ，所以选项C错误；
选项D，显然 与 不共线.
因为 ， ，
向量 与向量 共线，
根据共线向量的坐标表示可得， ，
整理可得 ，解得 ，所以选项D正确.
故选：ABD.
10．【答案】ACD
【解析】依题意， ，则四边形 为平行四边形，有 ，
而 ， ，即有 ，因此 ，
即 ，因此 ，A正确；
因为 ， ，因此 不平行，即不存在点P，使得 ，B错误；
连接 ，当 时，因为 ，即 ，则 ，
而 ， 平面 ，因此 平面 ，又 分别为 的中点，即 ，于是 平面 ，而 平面 ，则 ，C正确；
在翻折过程中，令 与平面 所成角为 ，则点 到平面 的距离 ，
又 的面积 ，因此三棱锥 的体积 ，
当且仅当 ，即 平面 时取等号，所以三棱锥 的体积最大值为 ，D正确.
故选：ACD
11．【答案】AD
【解析】设双曲线的半焦距为 ，其中一条渐近线为：
因为 到 的一条渐近线的距离为 ，
即 ，所以 ，又 ，所以 ，故A正确；
对于B，双曲线的一条渐近线的斜率为1，所以过点M且斜率为1的直线为 ，
联立 ，消去 得： ，只有一个交点，故B错误；
对于C，设 ，则 ， ，故C错误；
对于D，由双曲线的定义可知 ，当且仅当 三点
共线时取得等号，故D正确，
故选：AD.
12．【答案】BCD
【解析】对于A项， 的定义域为 ， ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增.
显然 不是“ 函数”，故A错误；对于B项，函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减，
故 ， 是“ 函数”，故B正确；
对于C项， 的定义域为 ， ，
根据复合函数的单调性可知 是减函数，
又 ， ，
根据零点存在定理可得，存在唯一的常数 ，使 ，
即 ，所以 ，
且当 时， ，所以函数 在 上单调递增.
令 ，则 ，且 ，满足条件，
所以 .故C项正确；
对于D项，因为 的定义域为 ， .
令 ，则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
所以，当 时，函数 有最大值 .
令 ， ，则 在 上恒成立，所以， 在 上单调递增.
又 ，
所以，当 时，有 ，
即 ，所以 ，
所以， 在 上恒成立，
所以函数 在 上没有零点.
又 时， .
由零点存在定理及函数的单调性可知，
存在唯一的常数 ，使得 ，即 ，
且当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减.
令 ，则 是“ 函数”，且 .故D正确.
故选：BCD.
13．【答案】
【解析】因为当 时， ，当 时， ，
所以 等价于 ，此时 ，即 ，解得 ，
所以 的解集为 ,
故答案为：
14．【答案】840【解析】由题设 ，
所以 ，
所以考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有 人.
故答案为：
15．【答案】 /
【解析】∵ ，
将 的图象向左平行移动 个单位长度后得到 ，
把 的图象向右平行移动 个单位，可得
，
由题意可得 ，故 ，
解得 ，
注意到 ，可得当 时， 取到最小值 .
故答案为：
16．【答案】17.8/
【解析】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布
，
最大时，即 最大，
超几何分布最大项问题，利用比值求最大项
设则
令
故当 时， 严格增加，
当 时， 严格下降，
即 时取最大值，
此题中 ，
根据超几何分布的期望公式可得 ，
故答案为：17.8
17．【解析】（1）因为 ，
所以 ，
则 ．
由正弦定理，得 ，则由余弦定理得
又因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理，得 ，则 ，
同理，在 中，由正弦定理，得 ，
由 ，得 ，
又因为 ，所以 ，
则 ，
即 ，
所以 ，即 ；
（2）由（1）可知， ，
因为 ，所以 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
由 ，得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ．18．【解析】【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ,
由 得 ①，
将①代入 ，得 ，
即 ②
将①代入 ，得 ③，
将②代入③，得 ，又 ，
所以
解得： ，所以 ，
所以 ， ，故 ，
所以 .
（2）当 是奇数时， ，
当 是偶数时， ，则 ①
②
①-②得：
即
化简得： .
所以 .
（3）
，
当 时， ，
因为 ，所以 ；
当 时， 也成立.
故 .
19．【解析】（1）由散点图判断 适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年
份数x的经验回归方程类型.令 ，先建立y关于t的线性回归方程.
由于 ，
，
该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为 ，
因此y关于年份数x的回归方程为
所以当 时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
.
所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为 .
（2）设 “该航班飞往A地”， “该航班飞往B地”， “该航班飞往其他地区”， “该
航班准点放行”，
则 ， ， ，
， ， .
（i）由全概率公式得，
，
所以该航班准点放行的概率为0.778.
（ii） ，
，，
因为 ，
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
20．【解析】（1）延长PE交AB于M，延长PF交CD于 ，
因为E，F分别为 和 的重心，
所以M，N分别为AB，CD的中点，且 ，
又因为底面ABCD为平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面PBC，所以 平面PBC．
（2）（方法一）因为 平面ABCD，所以 ．
又因为 ，且 ，所以 平面PAD，所以 ，
又因为 ，所以 和 均为等腰直角三角形， ．
又因为N为CD的中点，所以 ，
故如图建立空间直角坐标系，因为 ，
易得P（0，0，2），M（1，0，0），N（0，1，0），C（1，1，0）， ， ，
设平面PMN的一个法向量为 ，则由 ， ，得
令 ，得 ，
又因为平面PAD的一个法向量为 ，设平面PEF与平面PAD所成二面角的平面角为 ，则 ，
如图所示二面角为锐角，所以 ．
（方法二）过 作 ，且 ，连接NQ和DQ，
取AD的中点为H，易知 平面PAD，过H作 于O，
则 ，所以 为平面PEF与平面PAD所成二面角的平面角，
因为 ， ，
所以在 中， ．
21．【解析】（1）不妨设点 在 轴的上方,由椭圆的性质可知 .
是以 为直角顶点的等腰直角三角形,
代人 ,得 ,整理得 .的面积为 .
故椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,
直线 的方程为 .
不妨设 ,则 .
联立 可得 ,
,则 ,
，即 ，
，
故 得证.
22．【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 ， ，函数 在 上单调递减；当 ， ，函数 在 上单调递增，
所以 ，
又 ， ，所以存在 ， ，
使得 ，即 的零点个数为2．
（2）不等式 即为 ，
设 ， ，则 ，
设 ， ，
当 时， ，可得 ，则 单调递增，
此时当 无限趋近 时， 无限趋近于负无穷大，不满足题意；
当 时，由 ， 单调递增，
当 无限趋近 时， 无限趋近于负数 ，当 无限趋近正无穷大时， 无限趋近于正无穷大，故
有唯一的零点 ，即 ，
当 时， ，可得 ， 单调递减；
当 时， ，可得 ， 单调递增，
所以
，
因为 ，可得 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，
所以
因为 恒成立，即 恒成立，
令 ， ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，所以 ，即 ，
又由 恒成立，则 ，所以 .
