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2023年高考押题预测卷02【全国甲卷】
数 学（理科）参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A A B D A C D A D C D
1.C 【解析】： ，所以 ， ，
或 ．故选： ．
2. A 【解析】依题意， ，将向量 绕点 逆时针旋转90°所得向量坐标为 ， ，
则有 ，解得 ，因此 ，即 ，
所以 .故选：A
3.A 【解析】：扇形 的面积 ， ，
则底面积 ，所以曲面棱柱的体积 ，故选： ．
4.B 【解析】：对于 选项，从同比来看，同比均为正数，即同比均上涨，故 正确，
对于 选项，从环比来看，2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比图象有升有降，即环比有
涨有跌，故 错误，
对于 选项，从环比同比来看，2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨，故 正确，
对于 选项，设2018年12月，2018年11月，2017年12月的全国居民消费价格分别为 ， ， ，由题
意可得 ， ，则 ，故 正确，故选： ．
5.D 【解析】：已知直线 和平面 所成的角为 ，根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内
所有直线所成角中最小的角，故 与 内直线所成角的最小值为 ，当 在 内的射影与平面 内的直线
垂直时， 与之所成的角为 ，故 与 内直线所成角的范围为 ．故选： ．
6. A 【解析】由程序框图可知，该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，， ，即 ，
所以 ，则输出的结果用原来数据表示为b，a，c.故选∶A．
7.C 【解析】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，
对于 ， 是奇函数并且经过坐标原点， 选项是优美函数；
对于 ， 是奇函数并且经过坐标原点， 选项是优美函数；
对于 ， 的定义域为 ，所以图像不经过坐标原点， 选项不是优美函数；
对于 ， ，是奇函数，并且经过坐标原点， 选项是优美函数；故选： ．
8. D【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ∽ ，
所以 ，所以 ，因为 ， ，
所以 ，设 ， 分别为 的中点，因为 ，
所以 ，所以 为 的中点，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ；故选：D
9. A 【解析】：每列相邻的 灯共4对，共有5列，故横向相邻有 种；同理纵向相邻也有20
种，所以这2头故障 灯相邻的概率为 ．故选： ．
10.D【解析】：取 ， 的中点 ， ，易得 ，
底面 为梯形， ， ， ，故 是等腰梯形，故底面 的外接圆的圆心在 上，记为 ，
设 ，可得 ，解得 ，
连接 ，可得 的外接圆的圆心在 上，记为 ，易得 ，
设 ， ，解得 ，
过 作平面 的垂线，过 作平面 的垂线，两垂线交于 ，
则 为外接球的球心，由平面 底面 ，
可得 为矩形，可得外接球半径 ，
四棱锥 外接球的表面积为 ．故选： ．
11.C 【解析】设 为 的中点， 为 的重心， ，又 ，
从而可得 ， ，又直线 与 的右支交于 ， 两点，
， ，
经检验知：当离心率 时， ， ， ， 四点共线， ，
又根据点差法易得 ，又 ，
，又 ，
， ， ，故选： ．
12. D 【解析】由 两边取对数可得 ①，令 则 ，因为 ，所以 ，
则①可转化得 ，因为 ，
因为存在 ，使得关于 的不等式 成立，
所以存在 ， 成立，故求 的最小值即可，
令
，
令
，
令 ，
，
所以 在 上单调递减，所以 ，
，所以 在 上单调递减，
所以
在 上单调递减， ，，所以实数 的最小值为 故选：D
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
13. ． 14. 30 15. （注：可以用不等关系表示） 16. ①. 4 ②.
13【解析】角 的终边过点 ，则 ， ，
．故答案为： ．
14.【解析】：因为 ，
所以 是含 项的系数，若从10个 式子中取出0个 ，
则需要从中取出3个 ，7个1，则得到的项为 ，
若从10个 式子中取出1个 ，
则需要从中取出1个 ，8个1，则得到的项为 ，
若从10个 式子中取出大于或等于2个 ，则无法得到含 的项，
综上：含 的项为 ，则含 项的系数为30．故答案为：30．
15.【解析】函数 ，
当 时， ，
当 时， ，时， ， 在 上单调递增，
则有 或 ，
解得 ，当 时，有解 ；
或 ，当 时，有解 .
实数 的取值范围是 .故答案为：
16.【解析】由椭圆C： 可知 ， ，
设 的方程为 ，设 ，
则由题意可得切线 的方程为 ，同理切线 的方程为 ，
即 ，则 ，
即 ，所以P点的横坐标为4；
又 ，
故 的垂心为点H，则 ，故 的方程为 ， 的方程为 ，
将两方程联立解得 ，即 ，
故 ，
当且仅当 即 时取得等号，
故 的最小值为 ，故答案为：4；
【点睛】关键点睛：求解 的最小值时，要求出 的坐标，利用两点间距离公式表示出 ，结
合基本不等式求得最值，关键是利用椭圆的切线方程，联立求出P点坐标.
a 2n1
17．【答案】（1） n ， （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题知 ，进而结合等差数列通项公式解方程即可得 ， ，再求
解通项公式与前 项和；
（2）选①：结合（1）得 ，进而根据分组求和的方法求解即可；
选②：结合（1）得 ，进而结合裂项求和的方法求解即可；
选③：结合（1）得 ，再根据错位相减法求解即可；
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，
依题意可得 ，则解得 ， ，所以，数列 的通项公式为 .
;综上：
(2)选①
由（1）可知：
∴
∵
∴
选② ;由（1）可知：
∴
∵
选③ ;由（1）可知： ，∴
∵
则于是得
两式相减得 ，
所以 .
18.【答案】（1） 更适宜 （2） ，65.35百万元 （3）分布列见解析，1
【解析】
【分析】（1）根据散点图确定正确答案.
（2）根据非线性回归的知识求得回归方程并求得预测值.
（3）利用超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【解析】(1)根据散点图判断， 更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；
(2)因为 ，所以两边同时取常用对数，得 ，设 ，所以 ，因为
，所以
所以 .
所以 ，即 ，所以 .
令 ，得 ，
故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元.
(3)前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2，
所以X的分布列为：0 1 2
P
所以 .
19.【答案】（1）证明见解析 （2） 或
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直可得线面垂直，由线面垂直的性质又可得线线垂直，即可由线面垂直的判定
定理求证,
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求解可得平面 的法向量,由两个平面法向量的夹角,结
合图形特征即可求解二面角大小.
【解析】(1)由已知， 为等腰直角三角形，E为AC的中点，可得 ，
中 ， ， ， ， 所 以 由 余 弦 定 理 得
，
因为 ，所以AC⊥BC，
又因为AD⊥BC， ， 平面ADC,所以BC⊥平面ADC，
又 平面ADC，所以 ，又 ， ，
平面 ,所以 平面 ．
(2)如图过C点作平面ABC的垂线CP，以C为原点，
分别以 ， ， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，则 ，设 ，其中 ，
则 ， ， ，
设平面ACD的一个法向量为 ，
则 即 可得 ，
由题意 ，解得 或 ，
易知平面ABC的一个法向量为 ，
当 时， ， ，
由图可知二面角D-AC-B为锐角，故二面角D-AC-B的余弦值为 ，
当 时， ， ，
由图可知二面角D-AC-B为锐角，所以二面角D-AC-B的余弦值为 ，
综上，二面角 的余弦值为 或 ．
20.【解析】（1）解：易知直线 与 轴交于 ，所以 ， ，抛物线方程为 ．
（2）①设直线 方程为 ， ， ，
联立方程组 得 ，
所以 ， ．
②设直线 方程为 ， ，
联立方程组 得 ，
所以 ， ，
整理得 ， ，所以直线 过定点 ．
21.【答案】（1） （2） ，
【分析】（1）将 代入，得出 时， ，即 在区间 上单调递增，即可求出值域；
（2）先求出 ，当 时， ， 在 单调递增，不合题意舍去；当 时，令
，则 ，设 ，再判断 的单调性，得出时符合题意，即可求出实数 的取值范围；由 和 即可得出 的值．
【解析】（1）当 时， ，其中 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ．
（2） ，其中 ，
当 时，显然 ，所以 在 上单调递增， 至多有1个零点，不合题意舍去；
当 时，令 ，则 ，
设 ，其中 ，
则 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，
所以当 时， 有2个零点，
当 时， ， 在 单调递增，显然不合题意，所以 有三个零点时， 的取值范围是 ；
又因为 ，
所以 ，又 ， ，
所以 ，所以 ，故 ．
22.【答案】（1） ； （2）
【分析】（1）把曲线C的方程两边平方相加可求曲线C的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线l的
直角坐标方程;
（2）设 ，由题意可得 ，计算可求点P横坐标的取值范围.
【解析】（1）由曲线 的参数方程为 （ 为参数），
可得
由 ,得
,即 ,
曲线 的普通方程为 ,直线 的直角坐标方程为
（2）设 ,连接 ，易得 ，
若 ,则 ，在 中， ，
,
,两边平方得 ,
解得 , 点 横坐标的取值范围为
23．【答案】（1） ； （2）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，分段解含绝对值符号的不等式作答.
（2）利用（1）中信息，借助函数单调性求出c，再利用作差法结合均值不等式推理作答.
【解析】（1）依题意， ，于是不等式 化为：
或 或 ，解得 ，
所以不等式 的解集 .
（2）由（1）可知：函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，即
，
由 得 ，即 ，
于是
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以
