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2023 年高考押题预测卷 02
高三数学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．设全集 ，集合 ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B;
【分析】求出集合 ，由补集和并集的定义即可得出答案.
【详解】因为全集 ， ，所以 ，又因为
，所以 ,故选：B．
2.已知 为实数，若复数 为纯虚数，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D;
【分析】利用纯虚数的定义求出a，即可判断作答.
【详解】因为复数 为纯虚数，则 ，解得 ，
所以复数 在复平面内对应的点 位于第四象限.故选：D
3.校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评估后勤部门的工作，
采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：中位数
评价 优秀 良好 合格 不合格
2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价是（ ）
A．优秀 B．良好 C．合格 D．不合格
【答案】B;
【分析】根据频率分布直方图求解中位数即可得答案.
【详解】由频率分布直方图可知，前3组的频率分别为 ，第4组的频率为
所以，中位数 ，即 满足 ，对应的评价是良好.故选：B.
4．平面向量 ，则 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示求出 ，再利用夹角公式求解作答.
【 详 解 】 向 量 ， 则 ， 即 ， 因 此
，而 ，则 ，所以 与 的夹角是 .
故选：C
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A． B． C． D．
【答案】A；
【分析】根据程序框图，逐项计算，找出计算的规律，即可求解.
【详解】根据给定的程序框图，可得：
经过第1次循环得到， ， ， ，循环继续执行；
经过第2次循环得到， ， ， ，循环继续执行；
经过第3次循环得到， ， ， ，循环继续执行；
经过第4次循环得到， ， ， ，循环继续执行；
经过第5次循环得到， ， ， ，循环继续执行；
所以，由上述可得函数的正负性为4个作为一个循环，
因此，经过第2022次循环得到， ， ， ，循环继续执行；
经过第2023次循环得到， ， ，
满足 ，循环终止，输出 ． 故选：A．
6.已知正项等比数列 中， ，其前n项和为 ，且 ，则 （ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】C；
【分析】根据等比数列基本量的运算可得 ，然后利用求和公式即得.
【详解】设正项等比数列 的公比 ，由题意可知： ，即 ，解得： ，或 (舍去)，则 .故选：C.
7.如图，A，B，C是正方体的顶点， ，点P在正方体的表面上运动，若三棱锥 的主视图、
左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D；
【分析】如图，当点P的轨迹为 (含边界)时符合题意，结合图形，即可求解.
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ，则当点P的轨迹为 (含边界)时，
三棱锥 的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，此时若P与M重合， 最小，且最
小值为1，若P与Q重合， 最大，且最大值为 ，所以 的取值范围为 .故选：D.
8.函数 是（ ）
A．奇函数，且最小值为 B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】B；【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得
，由三角函数值域即可得 ，即可得出结果.
【详解】由题可知， 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，而 ，即函数 为偶函数；
所以 ，又 ，即 ，可得函数 最小值
为0，无最大值.故选：B
9.为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区､管控区､防范区.为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲､乙主动申
请前往封控区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．30种
【答案】C；
【分析】利用分类加法、分步乘法计数原理，结合排列组合知识进行求解.
【详解】若甲乙和另一人共3人分为一组，则有 种安排方法；若甲乙两人分为一组，另外三人
分为两组，一组1人，一组两人，则有 种安排方法，综上：共有12+12=24种安排方法.
故选：C
10.在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．若 的面积
，则a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A；
【分析】由正弦定理化简已知条件可推得， .根据 ，可求得 ，
.由面积公式可求得 ，根据余弦定理可得出 ，由基本不等式，即可
得出 ，即可得出答案.
【详解】由正弦定理 可得， ， .
由已知可得， ，所以 .
又 ，所以 ，所以 .因为 ，
所以 ， .因为 的面积 ，
所以 .由余弦定理可得， ，
当且仅当 时，等号成立.所以， ， 的最小值为 .故选：A.
11.已知两条不同的直线与曲线 都相切，则这两直线在y轴上的截距之和为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】A；
【分析】设曲线 上切点为 ，曲线 上切点为 ，由切线斜率得 ，
消去 得 ，设 ，利用导数证明其有两解，并且两解的积为
1，从而得出曲线 上两个切点的横坐标积为1，写出切线方程得出纵截距并求和即得．
【详解】设曲线 上切点为 ，曲线 上切点为 ，
， ，因此有 ，消去 得 ，
设 ， ，易知 在 上是增函数， ，
，因此 在 也即在 上有唯一解 ， 时， ， 递减，
时， ， 递增， ， ， ，
而 ， ，因此 在 和 上
各 有 一 解 ． 设 的 解 分 别 为 ， 即 ， 又
，所以 也是 的解，即 ，
，所以方程 有两解 且 ，于是切线方程为 ，在 轴
上截距为 ，同理另一条切线在 轴上截距是 ，两截距和为 ．
故选：A．
【点睛】未知切点时求函数 图象切线的方法：设切点为为 ，求出导函数 ，由导数的
几何意义得出切线方程 ，然后代入已知条件求出切点坐标后即可得切线方程．
12.已知椭圆 ，点 是 上任意一点，若圆 上存在点 、 ，使得
，则 的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B;
【分析】连接 ，设直线 、 分别与圆 切于点A、B， ，根据题意得到 ，在直角三角形中，利用正弦函数的定义得到 ，再结合 ，得到 的离心率的取值范围．
【详解】连接 ，当 不为椭圆的上、下顶点时，设直线 、 分别与圆 切于点A、B，
，
∵存在 、 使得 ，∴ ，即 ，又 ，∴ ，
连接 ，则 ，∴ ．又 是 上任意一点，则 ，
又 ，∴ ，则由 ，得 ，又 ，∴ ．故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线 与抛物线 有共同的焦点 ，且点 到双曲线 的渐近线的距离等于1，则双曲线
的方程为______.
【答案】 ；
【分析】先求出抛物线焦点坐标，则双曲线焦点可知，则 可知，再根据焦点到渐近线的距离求解出 的
值，根据 求解出 的值，则双曲线的方程可求.
【详解】因为 的焦点坐标为 ，所以设双曲线方程为： 且 ，
又因为 到渐近线的距离为 ，不妨取渐近线 ， ，所以焦点 到渐近线 的距离为
，所以 ，所以双曲线方程为 ，故填： .14．写出一个同时满足下列三个性质的函数 __________．
①若 ，则 ；② ；③ 在 上单调递减．
【答案】 ；（ ，答案不唯一）
【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可.
【 详 解 】 比 如 ， ， 故 ， 又
，也即 成立，又 在 上单调递减．故答案为： .
15．设随机变量X的分布列如下（其中 ），则随机变量X的期望 ________.
X 0 1 2
P a
【答案】1；
【分析】根据概率之和等于 可得出 的关系，再根据期望公式即可得解.
【详解】由 ，得 ，
∴ .故答案为：
16．已知实数 满足 ， 的取值范围是______．
【答案】 ；
【分析】设 ， ，利用向量夹角坐标运算可求得 ，利用圆的切线的求法可求得
所在直线倾斜角的范围，从而确定 的范围，进而求得 的范围.
【详解】由圆的方程知：点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
设 ， ， 与 的夹角为 ， ，
即 ；设直线 与圆 相切，则圆心到直线距离 ，
解得： ，结合图象可知： 所在直线倾斜角为 ，又 所在直线倾斜角为 ，， ，则 .故答案为： .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主
扲的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，
应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1-6月份机动车驾驶员不“礼让行人”
行为的人数统计数据．
月份 1 2 3 4 5 6
不“礼让行 4
33 36 39 45 53
人” 0
(1)请利用所给的数据求不“礼让行人”人数 与月份 之间的经验回归方程 ，
并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数（精确到整数）；
(2)交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动
车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：
不“礼让行
礼让行人
人”
驾龄不超过3年 18 42
驾龄3年以上 4 36
依据上表，能否有95%的把握判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关?并说明理由．
附：参考公式： ，其中 ．独立性检验临界值表：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) ，68人;(2)认为“礼让行人”与驾龄满 3年有关，且推断犯错误的概率不超过
0.05，理由见解析.
【分析】（1）利用表中的数据和公式直接求解即可，（2）先完成列联表，然后利用公式
求解K2，再根据临界值分析判断.
【详解】（1）由表中数据可知： ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，所求得经验回归方程为 ．
当 时， ，所以预测该路口11月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数为68人．
（2）由题意知 列联表为
不 礼 让 行
礼让行人 合计
人
驾龄不超过3年 18 42 60
驾龄3年以上 4 36 40
合计 22 78 100
由表中数据可得
即有95%的把握判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关．
18．（12分）如图1，在Rt△ABC中， ， ，E，F都在AC上，且
， ，将△AEB，△CFG分别沿EB，FG折起，使得点A，C在点P处重合，
得到四棱锥P-EFGB，如图2.
(1)证明： .
(2)若M为PB的中点，求钝二面角B-FM-E的余弦值.【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）由勾股定理逆定理得到线线垂直，三角形相似得到垂直，从而证明出线面垂直，线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.
(1)证明：由 ， ，
得 ， ， ，则 ，所以 .
因为 ，所以△ABE∽△ACB，所以 ，即 .
又 ，所以 平面PEB，因为 平面PEB，所以 .
(2)以E为坐标原点，以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，
则 ， ， ， ， ， ， ，
， .
平面BFM即平面BPM，设平面BFM的法向量为 ，
则由 ， ，得 .
令 ，得 .
设平面EFM的法向量为 ，则 ， ，即 .令 ，得 .
因为 ，所以钝二面角B-FM-E的余弦值为 .
19．（12分）已知数列 满足 ，且 ， ．
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ， ， ．证明： ．
【答案】(1)证明见解析， ；(2)证明见解析.
【分析】（1）由递推式整理得 ，结合等差数列定义证 为等差数列，进而写出其
通项公式，注意验证；
（2）由（1）及题设得 ，应用放缩可得 ，再利用裂项相消法即可证结论.
【详解】（1）由 得： ，整理为： ，
所以 为等差数列，公差 ，首项为 ；
所以 ，整理为 ，经检验，符合要求.
（2）由（1）得： ， ，
∴ ，
∴ ，即 ．
20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点 ， ，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：．
(1)求点D的轨迹C的方程；
(2)设过点 的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线 于点M，N，是否存在常
数 ，使 ，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【详解】（1）设 ，而点 ， ，则 ， ，
又 ，于是得 ，化简整理得： ，所以点D的轨迹C的方程是：
（2）存在常数 ，使 ，如图，
依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l： ， ， ，
由 消去y得： ，则 ， ，
，则 ，
直线OP： ，取 ，得点M横坐标 ，同理得点N的横坐标 ，
则 ，
因此有 ，
于是得 ，所以存在常数 ，使 .
21．（12分）已知函数 ．
(1)若 ，证明： ．
(2)若 ，且 ，证明： ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）将问题等价转化为 ，令函数 ，对函数求导，利用单调性进而得证；
（2）对函数 二次求导得到 ，再利用零点存在性定理得到 ，将问
题等价转化为证明 ，进而证明.
【详解】（1）因为 ，所以 等价于 ．
令函数 ，则 ．
当 时， ，则 ，故 在 上单调递增．
当 时， ，故 ．即 ．
（2）因为 ，所以 ，则 ．
令函数 ，则 ．
当 时， 单调递减，当 时 单调递增．
因为 ，所以 ．
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增．
因为 ，所以 ．又 ，所以 ．
要证 ，只需证 ，即 ．
因为 ，所以 ．
显然 ，故 ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数），以 为极点， 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： .
（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，与曲线 交于 ， 两点，求 取得
最大值时直线 的直角坐标方程.
【答案】（1）曲线 ，曲线 .（2） .
【分析】（1）用 和 消去参数 即得 的极坐标方程；将 两边同时乘以
，然后由 解得直角坐标方程.
（2）过极点的直线的参数方程为 ，代入到 和 ：
中，表示出 即可求解.
【解析】由 和 ，得
，化简得 ，故 ：
将 两边同时乘以 ，得
因为 ，所以
得 的直角坐标方程 .
（2）设直线 的极坐标方程
由 ，得 ，由 ，得
故 ，当 时， 取得最大值
此时直线的极坐标方程为： ，其直角坐标方程为： .
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ， 且 .
(1) 若函数 的最小值为 ，试证明点 在定直线上；
(2)若 ， 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）利用绝对值三角不等式可求得 ，由此可得结论；（2）由恒成立的不等式可得 ，利用恒成立的思想可构造不等式组求得结果.
【详解】（1） （当且仅当 时取等号），
，即点 在定直线 上.
（2）当 ， 时， ，
由 得： ， ，则 ，
，解得： ，即实数 的取值范围为 .
