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2023 年高考押题预测卷 01【全国甲卷】
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式化简集合 ,集合 中的元素都是正整数,再根据集合的交集的概念进行运算即可,
【详解】因为 ,
所以 .
故选:C
【点睛】本题考查了解一元二次不等式,考查了集合的交集运算,属于基础题.
2．复数 （其中i为虚数单位），则 （ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】A
【分析】 ，根据复数的模 代入计算．【详解】∵ ，则
故选：A．
3．在某次演讲比赛中，由两个评委小组（分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B））给
参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论错误的
是（ ）
A．小组A打分的分值的平均数为48
B．小组B打分的分值的中位数为66
C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差
D．小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差
【答案】C
【分析】根据平均数公式判断A，将小组 打分从小到大排列，即可求出中位数，从而判断B，求出极差
判断C，根据数据的分布情况判断D.
【详解】由图可知，小组 打分的平均数为 ，故A正确；
将小组 打分从小到大排列为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，所以中位数为 ，故B正确；
小组 打分的分值的极差为 ，小组 打分的分值的极差为 ，故C错误；
小组 打分的分值相对更集中，所以小组 打分的分值的方差小于小组 打分的分值的方差，故D正确；
故选：C
4．若 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量数量积的运算律可求得 ，由此可求得结果.【详解】 ， .
故选：B.
5．习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗
目标；事关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展
和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为 ，排放前每过
滤一次，该污染物的含量都会减少 ，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过 ，
若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）
（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知关系可构造不等式 ，利用指数与对数互化可得 ，结合换底
公式和对数运算法则可求得 的最小值.
【详解】设排放前需要过滤 次，则 ， ，
，
又 ， ，即排放前需要过滤的次数至少为 次.
故选：C.
6．已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，则该切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函数 的导数，借助导数的几何意义求出a值，进而求出切线方程作答.【详解】函数 ，求导得： ，依题意， ，解得 ，
即有 ， ，
所以函数 的图象在点 处的切线为： ，即 ，符合题意.
故选：C
7．明代朱载堉发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半
音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.已知大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟的波长成
等比数列，且大吕和林钟的波长分别是m，n，则夹钟和南吕的波长之积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由等比数列的第一项和第四项用通项公式可求出公比，进而求出第二项和第五项可得答案.
【详解】设该等比数列的公比为 ，则 ，即 ，
则夹钟和南吕的波长分别为 ， ，
故夹钟和南吕的波长之积为 .
故选：B.
8．在正四面体 中， 分别为 的中点，则异面直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方法一：取 中点 ，连接 ，利用余弦定理求 ，再利用余弦定理可得求 ，
可求结果；
方法二：以 为基底，利用向量法求 ，可求结果.【详解】法一：取 中点 ，连接 ，则 ，
所以 或其补角就是异面直线 所成的角.
则设 ， ，
.
故选：D.
法二：不妨设正四面体 的棱长为2，以 为基底，则
，
则 ，
又 ，所以 ，
所以 所成角的余弦值为 .
故选：D.
9．随机郑两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和除以4，余数分别为 ，所对应的概率分别为
，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】用表格列举出所有可能的余数情况，并确定余数为 对应概率，即可得结果.
【详解】由题设，两枚骰子所得点数和除以4的余数情况如下：
除以4的余数 1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 1 2 3
2 3 0 1 2 3 0
3 0 1 2 3 0 1
4 1 2 3 0 1 2
5 2 3 0 1 2 3
6 3 0 1 2 3 0
由上表知：共36种情况，其中余数为 分别有9种、8种、9种、10种，
所以 .
故选：A
10．设 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用零点存在定理计算出 、 的取值范围，利用对数函数的单调性可得出 ，即可得出 、
、 的大小关系.
【详解】构造函数 ，因为函数 、 在 上均为增函数，
所以，函数 为 上的增函数，且 ， ，
因为 ，由零点存在定理可知 ；
构造函数 ，因为函数 、 在 上均为增函数，所以，函数 为 上的增函数，且 ， ，
因为 ，由零点存在定理可知 .
因为 ，则 ，因此， .
故选：B.
11．三棱锥S-ABC的底面ABC是等腰直角三角形， ，且 ， 则三棱
锥S-ABC外接球表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
【答案】B
【分析】依题意将三棱锥放到棱长为1的正方体中，则正方体的体对角线即外接球的直径，再根据球的表
面积公式计算可得；
【详解】解：由题意知，可以把三棱锥S-ABC按如图所示的位置放到棱长为1的正方体中，
则正方体的体对角线长为 ，
∴三棱椎S-ABC外接球表面积为 .
故选：B
【点睛】本题考查多面体的外接球，属于中档题.
12．已知函数 是奇函数，函数 的图象与 的图象有4个公共点，且 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由题意得 与 都关于点 对称，则 ，由此即可求
得结果.
【详解】由函数 是奇函数，其图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 的图
象，所以 的图象关于点 对称，
由 ，可得 的图象是由奇函数 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个
单位得到，所以 的图象关于点 对称，
所以 与 都关于点 对称，
所以 ，
所以 .
故选：D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是______.
【答案】9【解析】做出可行域，根据可行域的图像特征，即可求出线性目标函数的最大值.
【详解】做出可行域如下图所示：
当目标函数 过点 时，
取最大值为 .
故答案为:9
【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于
基础题.
14．已知双曲线 的左焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边
三角形（ 为原点），则双曲线的方程为___________．
【答案】
【分析】由题意可知 ，进而可得出 ，再结合 可求得 、 的值，由此可得出双曲线
的方程.
【详解】由于 是边长为 的等边三角形，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
因此，双曲线的方程为 .
故答案为： .15．已知AC，BD为圆 的两条相互垂直的弦，垂足为 ，则 的最大值为
______．
【答案】20
【分析】设圆心 到AC，BD的距离分别为m，n，得到 ，由垂径定理和基本不等
式求出 的最大值.
【详解】设圆心 到AC，BD的距离分别为m，n．
因为AC，BD相互垂直，所以 ，
由垂径定理得 ，
则 ，
由 ，得 ，当且仅当 时等号成立，
故 ．
故答案为：20
16．已知正项数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，若 ，则
__________.
【答案】
【分析】根据对数运算法则可得 ，再利用等比数列性质和函数 可得
，利用倒序相加即可得 .
【详解】由题意可知， ，所以 ；
由等比数列性质可得 ；又因为函数 ，所以 ，
即 ，所以 ；
令 ，则 ；
所以 ，
即 .
故答案为：
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分
17．为了解温度对物质 参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中
测得的温度x（单位：°C）与 的转化率y% （转化率= ）的数据如下表所示：
6
x 45 55 75
5
6
y 23 38 74
5
(1)求y与x的相关系数（结果精确到0.01）；
(2)该研究小组随后又进行了一次该实验，其中 的起始量为50 g，反应结束时还剩余2.5 g，若已知y关于
x的线性回归方程为 ，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的..
参考数据： ， ， ， .参考公式：相关系数
【答案】(1)
(2)85°C
【分析】（1）计算出 ， 带入相关系数 的计算公式，即可算出答案.
（2）由线性回归方程必过样本中心点，即可算出 的值，根据题意算出 带入回归方程即可算出答案.
【详解】（1） ，
所以
；
（2）根据回归直线的性质， ，即 ，得 .
由条件可知 ，
令 ，得 ，
因此估计这次实验是在85°C的温度条件下进行的.
18．记 的内角 ､ ､ 的对边分别为 ､ ､ ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ， ，角 的内角平分线与边 交于点 ，求 的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；
（2）利用余弦定理结合条件可得 ，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
（2）由余弦定理得： ， ，
又 ，
所以 ， ，
由角平分线定理可得， ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
所以 .
19．如图所示，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ， ，E为线
段 上一点．
(1)当 ∥平面 ，求证： 为 的中点；(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)见解析；
(2)存在，当 时，平面 平面 .
【分析】（1）由题意可知 为 的中点，由线面平行的性质定理可得 ∥ ，即可得证；
（2）由面面垂直的性质定理可得 ，只需满足 ，即可得 平面 ，从而有平面
平面 ，故只需找出 成立时， 的长度即可.
【详解】（1）证明：因为 为正方形， ，
所以 为 的中点，
又因为 ∥平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ∥ ，
又因为 为 的中点，所以 为 的中点；
（2）存在，当 时，平面 平面 ，理由如下：
设 ，
因为 为正方形，所以 ，
又因为 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又因为在矩形 中， ，
当 时，在 中， ，
在 中， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
20．已知函数 .
（1）当 时，求函数 在区间[0,3]上的最值：
（2）当 时， 恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）当 时， ，通过求导，可得出函数 在区间[0,3]上的单调性，进而可
求出函数 在区间[0,3]上的最大值与最小值；
（2）原不等式整理得 ，令 ，可知 在 上恒成立，通
过求导，可研究其导数的单调性，可得 在 上单调递增，从而 ，进而分和 两种情况，分别研究 的正负性，从而可得到 的单调性，结合 在 上恒
成立，可求出 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
又因为 ，
所以函数 在 上单调递减；在 上单调递增.
所以函数 在 上的最小值为 ，
又 ，
所以函数 在 上的最大值为 .
（2）因为当 时， 恒成立，
所以 在 上恒成立.
令 ，则 在 上恒成立.
求导得 ，
令 ， ，
则 ， ，
因为 时， ，
所以 ，即 在 上单调递增，
所以 ， ，
①当 时， ， 在 上单调递增，因为 ，所以 在 上恒成立；
②当 时， ，
因为 在 上单调递增，且当 时， ，
所以存在 ，使得 ，且当 时， 恒成立.
所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
21．已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，短轴长为 ，点 上的点 满足
直线 、 的斜率之积为 ．
(1)求 的方程；
(2)若过点 且不与 轴垂直的直线 与 交于 、 两点，记直线 、 交于点 ．探究：点 是
否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点 在定直线 上
【分析】（1）设点 ，则 ，可得出 ，利用斜率公式结合已知条件可得出，再利用椭圆的短轴长可得出 、 的值，即可得出椭圆 的方程；
（2）设 的方程为 ，设点 、 ，设点 ，将直线 的方程与椭圆 的方程
联立，列出韦达定理，写出直线 、 的方程，联立这两条直线方程，可得出点 的横坐标，即可得
出结论.
【详解】（1）解：设 ，则 ，且 ，所以， ，
则 ，
故 ①，又 ②，
联立①②，解得 ， ，故椭圆 的方程为 ．
（2）解：结论：点 在定直线上 ．
由（1）得， 、 ，设 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，整理得 ，
，
，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
所以， ，可得
，解得 ，
因此，点 在直线 上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图，在极坐标系Ox中，点 ，曲线M是以OA为直径， 为圆心的半圆，点B在曲线M上，
四边形OBCD是正方形．
(1)当 时，求B，C两点的极坐标；
(2)当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．
【答案】(1)点B的极坐标为 ，点C的极坐标为(2)
【分析】（1）连接 ，可得到 ，通过数据可得到 ，即可得到点B的极坐标，再
算出 ，即可得到点C的极坐标；
（2）设 ， ，通过题意可得到 ，通过求出曲线M的极坐标方程即可得到点B
的极坐标方程，将上式关系代入即可得到答案
【详解】（1）连接 ，因为 是直径，所以 ，
在 中， ， ，
∴ ，∴点B的极坐标为 ，
在正方形OBCD中， ， ，
∴点C的极坐标为 ；
（2）设 ， ，且 ①，
由题意可得 的直角坐标为 ，所以曲线M的普通方程为 即将 代入曲线M的普通方程得极坐标方程为 ，
当 时，O，B两点重合，不合题意，
∴点B的极坐标方程为 ，
将①式代入得点D的极坐标方程为
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数 .
（1）当 ，求 的取值范围；
（2）若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）结合 取不同范围，去绝对值，计算 的范围，即可．
（2）结合函数性质，计算 的最大值，结合题意，建立关于 的不等式，计算 的范围，即可．
【详解】（1） ，
若 ，则 ，得2>1，即 时恒成立；
若 ，则 ，得 ，即 ；
若 ，则 ，得 ，此时不等式无解.
综上所述， 的取值范围是 .（2）由题意知，要使不等式恒成立，
只需 .
当 时， ， .
因为 ，
所以当 时， .
于是 ，解得 .
结合 ，所以 的取值范围是 .
【点睛】本道题考查了绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查绝对值三角不等式．难度较大．
不等式恒成立问题的关键在于转化，象本题转化为求 和 ．
