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2023 年高考押题预测卷 02【全国甲卷】
数 学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则
A． B． C． ，或 D． ，或
【答案】.C
【解析】： ，所以 ， ，或
．故选： ．
2.在复平面内，已知复数 对应的向量为 ，现将向量 绕点 逆时针旋转90°，并将其长度变
为原来的2倍得到向量 ，设 对应的复数为 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】 A
【解析】依题意， ，将向量 绕点 逆时针旋转90°所得向量坐标为 ， ，则有 ，解得 ，因此 ，即 ，
所以 .故选：A
3.转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放．如图，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，
且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形，
正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为 ，高为 ，
已知曲面棱柱的体积 ，若 ， ，则曲面棱柱的体积为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：扇形 的面积 ， ，
则底面积 ，所以曲面棱柱的体积 ，故选：
4.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情
况折线图．（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比．如：2019年2月与2018年2
月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是
A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平
B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨
C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格
【答案】B
【解析】：对于 选项，从同比来看，同比均为正数，即同比均上涨，故 正确，
对于 选项，从环比来看，2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比图象
有升有降，即环比有涨有跌，故 错误，
对于 选项，从环比同比来看，2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比
均上涨，故 正确，
对于 选项，设2018年12月，2018年11月，2017年12月的全国居民消费价格分别
为 ， ， ，由题意可得 ， ，则 ，故 正确，
故选： ．
5.已知直线 和平面 所成的角为 ，则直线 和平面 内任意直线所成的角的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：已知直线 和平面 所成的角为 ，根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有
直线所成角中最小的角，故 与 内直线所成角的最小值为 ，当 在 内的射影与平面 内的直线垂直
时， 与之所成的角为 ，故 与 内直线所成角的范围为 ．故选： ．
6.在如图所示的程序框图中，若输入的a，b，c分别为 ， ， ，执行该程序框图，输出
的结果用原来数据表示为（ ）
A. b，a，c B. a，b，c
C. c，b，a D. c，a，b
【答案】A
【解析】由程序框图可知，该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，
， ，
即 ，所以 ，则输出的结果用原来数据表示为b，a，c.
故选∶A．7.中同传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形
图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．已知其图象能够将圆 的周长和面
积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，则下列函数中一定不是圆 的“优美函数”的为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，对
于 ， 是奇函数并且经过坐标原点， 选项是优美函数；
对于 ， 是奇函数并且经过坐标原点， 选项是优美函数；
对于 ， 的定义域为 ，所以图像不经过坐标原点， 选项不是优美函数；
对于 ， ，是奇函数，并且经过坐标原点， 选项是优美函数；故
选： ．
8.下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为
便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在
垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直
线上.已知 ， ， ， .根据物理学知识得
，则 （ ）
A. 28m B. 20m C. 31m D. 22m
8. 【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ∽ ，所以 ，所以 ，因为 ， ，
所以 ，设 ， 分别为 的中点，因为 ，
所以 ，所以 为 的中点，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ；故选：D
9.某舞台灯光设备有一种25头 矩阵灯（如图所示），其中有2头 灯出现故障，假设每头 灯
出现故障都是等可能的，则这2头故障 灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】：每列相邻的 灯共4对，共有5列，故横向相邻有 种；
同理纵向相邻也有20种，所以这2头故障 灯相邻的概率为 ．
故选： ．
10.在四棱锥 中，底面 为梯形，平面 底面 ， ， ，
， ，则四棱锥 外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】D【解析】：取 ， 的中点 ， ，易得 ，
底面 为梯形， ， ， ，
故 是等腰梯形，故底面 的外接圆的圆心在 上，记为 ，设 ，可得 ，解得 ，
连接 ，可得 的外接圆的圆心在 上，记为 ，易得 ，
设 ， ，解得 ，
过 作平面 的垂线，过 作平面 的垂线，两垂线交于 ，
则 为外接球的球心，由平面 底面 ，
可得 为矩形，可得外接球半径 ，
四棱锥 外接球的表面积为 ．故选： ．
11.设双曲线 的右焦点为 ， ，若直线 与 的右支交于 ， 两点，且
为 的重心，则直线 斜率的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 为 的中点， 为 的重心， ，又 ，
从而可得 ， ，又直线 与 的右支交于 ， 两点，
， ，
经检验知：当离心率 时， ， ， ， 四点共线， ，
又根据点差法易得 ，又 ，，又 ，
， ， ，故选： ．
12.若存在 ，使得关于 的不等式 成立，则实数 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D 【解析】由 两边取对数可得 ①，
令 则 ，因为 ，所以 ，
则①可转化得 ，因为 ，
因为存在 ，使得关于 的不等式 成立，
所以存在 ， 成立，故求 的最小值即可，
令
，
令
，令 ，
，
所以 在 上单调递减，所以 ，
，所以 在 上单调递减，
所以
在 上单调递减， ，
，所以实数 的最小值为 故选：D
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22
题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.在平面直角坐标系 中，角 是以 为顶点， 轴为始边，若角 的终边过点 ，求
．
【答案】
【解析】角 的终边过点 ，则 ， ，．故答案为： ．
14.已知 ，则 ．
【答案】30.
【解析】：因为 ，
所以 是含 项的系数，若从10个 式子中取出0个 ，
则需要从中取出3个 ，7个1，则得到的项为 ，
若从10个 式子中取出1个 ，
则需要从中取出1个 ，8个1，则得到的项为 ，
若从10个 式子中取出大于或等于2个 ，则无法得到含 的项，
综上：含 的项为 ，则含 项的系数为30．故答案为：30．
15.规定： 设函数 ，若函数 在
上单调递增，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数 ，
当 时， ，
当 时， ，
时， ， 在 上单调递增，
则有 或 ，解得 ，当 时，有解 ；
或 ，当 时，有解 .
实数 的取值范围是 .故答案为：
16.已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，过焦点 的直线l与椭圆C相交于 两点，
椭圆C在 两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为______，若 的垂心为点H，则 的最
小值是______．
【答案】4；
【解析】由椭圆C： 可知 ， ，
设 的方程为 ，设 ，
则由题意可得切线 的方程为 ，同理切线 的方程为 ，
即 ，则 ，
即 ，所以P点的横坐标为4；
又 ，
故 的垂心为点H，则 ，故 的方程为 ， 的方程为 ，
将两方程联立解得 ，即 ，
故 ，
当且仅当 即 时取得等号，
故 的最小值为 ，故答案为：4；
【点睛】关键点睛：求解 的最小值时，要求出 的坐标，利用两点间距离公式表示出 ，结
合基本不等式求得最值，关键是利用椭圆的切线方程，联立求出P点坐标.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
a a a a 12 S n
17．（12分）已知公差为正数的等差数列 n 中， 1， 4， 7 构成等比数列， n是其前 项和，
S 15
满足 3 .
a n S b
（1）求数列 n 的通项公式及前 项和 n； （2）若_________，求数列 n 的前 项和 .
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1） ， （2）答案见解析
【分析】（1）由题知 ，进而结合等差数列通项公式解方程即可得 ， ，再求
解通项公式与前 项和；（2）选①：结合（1）得 ，进而根据分组求和的方法求解即可；
选②：结合（1）得 ，进而结合裂项求和的方法求解即可；
选③：结合（1）得 ，再根据错位相减法求解即可；
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，
依题意可得 ，则
解得 ， ，所以，数列 的通项公式为 .
;综上：
(2)选①
由（1）可知：
∴
∵
∴
选② ;由（1）可知：
∴
∵选③ ;由（1）可知： ，∴
∵
则
于是得
两式相减得 ，
所以 .
18.（12分） 2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程
的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保
障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通
过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服
务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为
5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先
技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万
元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x 1 2 3 4 5 6
收入y（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
（1）根据散点图判断， 与 （a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y
关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.
（结果保留小数点后两位）
（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数
据：
3.50 21.15 2.85 17.70 125.35 6.73 4.57 14.30
其中，设 （i=1，2，3，4，5，6）.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（ ， ）（i=1，2，3，…，n），其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
【答案】（1） 更适宜 （2） ，65.35百万元 （3）分布列见解析，1
【分析】（1）根据散点图确定正确答案.
（2）根据非线性回归的知识求得回归方程并求得预测值.
（3）利用超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【解析】(1)根据散点图判断， 更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；
(2)因为 ，所以两边同时取常用对数，得 ，设 ，所以 ，因为，所以
所以 .
所以 ，即 ，所以 .
令 ，得 ，
故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元.
(3)前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2，
所以X的分布列为：
0 1 2
P
所以 .
19.（12分）如图1，在直角梯形ABCD中， ， ， ，E为
AC的中点，将 沿 折起（如图2）．在图2所示的几何体D-ABC中：（1）若AD⊥BC，求证：DE⊥平面ABC；
（2）若BD与平面ACD所成的角为60°，求二面角D-AC-B的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2） 或
【分析】（1）根据线线垂直可得线面垂直，由线面垂直的性质又可得线线垂直，即可由线面垂直的判定
定理求证,
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求解可得平面 的法向量,由两个平面法向量的夹角,结
合图形特征即可求解二面角大小.
【解析】(1)由已知， 为等腰直角三角形，E为AC的中点，可得 ，
中 ， ， ， ， 所 以 由 余 弦 定 理 得
，
因为 ，所以AC⊥BC，
又因为AD⊥BC， ， 平面ADC,所以BC⊥平面ADC，
又 平面ADC，所以 ，又 ， ，
平面 ,所以 平面 ．
(2)如图过C点作平面ABC的垂线CP，以C为原点，
分别以 ， ， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，则 ，设 ，其中 ，
则 ， ， ，
设平面ACD的一个法向量为 ，
则 即 可得 ，
由题意 ，解得 或 ，
易知平面ABC的一个法向量为 ，
当 时， ， ，
由图可知二面角D-AC-B为锐角，故二面角D-AC-B的余弦值为 ，
当 时， ， ，
由图可知二面角D-AC-B为锐角，所以二面角D-AC-B的余弦值为 ，
综上，二面角 的余弦值为 或 ．
20.（12分） 已知抛物线 ， 为坐标原点，焦点在直线 上．
（1）求抛物线的标准方程；（2）过点 作动直线 与抛物线 交于 ， 两点，直线 ， 分别与圆 交于
点 ， 两点（异于点 ），设直线 ， 斜率分别为 ， ．
①求证： 为定值； ②求证：直线 恒过定点．
【答案】（1） ； （2）
【解析】（1）解：易知直线 与 轴交于 ，
所以 ， ，抛物线方程为 ．
（2）①设直线 方程为 ， ， ，
联立方程组 得 ，
所以 ， ．
②设直线 方程为 ， ，
联立方程组 得 ，所以 ， ，
整理得 ， ，所以直线 过定点 ．
21.（12）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在区间 上的值域；
（2）若函数 有三个零点 ，求实数 的取值范围，并求 的值．
【答案】（1） （2） ，
【分析】（1）将 代入，得出 时， ，即 在区间 上单调递增，即可求出值域；
（2）先求出 ，当 时， ， 在 单调递增，不合题意舍去；当 时，令
，则 ，设 ，再判断 的单调性，得出
时符合题意，即可求出实数 的取值范围；由 和 即可得出 的值．
【解析】（1）当 时， ，其中 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ．
（2） ，其中 ，
当 时，显然 ，所以 在 上单调递增， 至多有1个零点，不合题意舍去；
当 时，令 ，则 ，
设 ，其中 ，
则 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，
所以当 时， 有2个零点，
当 时， ， 在 单调递增，显然不合题意，
所以 有三个零点时， 的取值范围是 ；
又因为 ，
所以 ，又 ， ，所以 ，所以 ，故 ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以O为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）P为l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若 ，求点P横坐标的取值
范围．
【答案】（1） ； （2）
【分析】（1）把曲线C的方程两边平方相加可求曲线C的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线l的
直角坐标方程;
（2）设 ，由题意可得 ，计算可求点P横坐标的取值范围.
【解析】（1）由曲线 的参数方程为 （ 为参数），
可得
由 ,得
,即 ,
曲线 的普通方程为 ,直线 的直角坐标方程为（2）设 ,连接 ，易得 ，
若 ,则 ，
在 中， ，
,
,两边平方得 ,
解得 , 点 横坐标的取值范围为
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 且满足 ，记 是 的最大值，证明： .
【答案】（1） ； （2）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，分段解含绝对值符号的不等式作答.
（2）利用（1）中信息，借助函数单调性求出c，再利用作差法结合均值不等式推理作答.
【解析】（1）依题意， ，于是不等式 化为：
或 或 ，解得 ，
所以不等式 的解集 .（2）由（1）可知：函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，即
，
由 得 ，即 ，
于是
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以
