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微点突破1 追及相遇问题
目标要求 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。2.会在图像中分析追及相遇问题。3.熟
练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。
考点一 追及相遇问题
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。追及相遇问题
的基本物理模型：以甲追乙为例。
1．二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲<v 乙，甲、乙间的距离就不断增大。
(2)若v 甲＝v 乙，甲、乙间的距离保持不变。
(3)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲>v 乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。
2．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，
也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解
题的突破口。
3．常见追及情景
(1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。
(2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时
追不上，二者之间有最小值。
物体B 追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若
xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上。
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停
止运动。
例1 (2023·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m 处有一安全车正以
10 m/s 的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求：
(1)赛车出发3 s 末的瞬时速度大小；
(2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小；
(3)追上之前两车的最大距离。
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答案 (1)6 m/s (2)20 s 40 m/s (3)225 m
解析 (1)赛车出发3 s 末的瞬时速度大小为
v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2＋200 m＝a1t2
2，解得t2＝20 s
此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
(3)方法一 物理分析法
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间
t3＝＝ s＝5 s，追上之前两车最远相距
Δs＝v0t3＋200 m－a1t3
2
＝(10×5＋200－×2×52) m＝225 m。
方法二 二次函数法
Δs＝v0t＋200－a1t2＝10t＋200－t2
当t＝＝ s＝5 s 时，Δs 有极值，相距最远，将t＝5 s 代入解得Δsmax＝225 m。
方法三 图像法
从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即v0＝a1t＝10 m/s，得t＝5 s 时相距最远，
Δsmax＝v0t－t＋200 m＝225 m。
拓展 若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线
运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理
分析法和图像法两种方法解题)
答案 20 s
解析 方法一：物理分析法
假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt4－a2t4
2＝v0t4
解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝＝ s＝10 s
所以t4＝15 s 不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5，解得t5＝20 s。
方法二：图像法
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赛车和安全车的v－t 图像如图。由图知t＝10 s，赛车停下时，安全车的位移小于赛车的位
移，由v0t5＝，得t5＝20 s。
例2 (2023·湖南长沙市南雅中学检测)现有A、B 两列火车在同一轨道上同向匀速行驶，A
车在前，其速度 vA＝10 m/s，B 车速度vB＝40 m/s。因大雾能见度低，B 车在距A 车d＝
900 m 时才发现前方有A 车，此时B 车立即刹车，但B 车要减速2 000 m 才能够停止。
(1)B 车刹车后减速运动的加速度多大？
(2)B 车刹车t1＝20 s 后，两车距离多少？
(3)B 车刹车t2＝30 s 后，A 车开始匀加速，则至少以多大加速度aA加速前进才能避免事故？
答案 (1)0.4 m/s2 (2)380 m (3)0.5 m/s2
解析 (1)设B 车减速运动的加速度大小为a2，
则有0－vB
2＝－2a2x1
解得a2＝＝ m/s2＝0.4 m/s2
(2)设B 车从刹车到停止的时间为t′，
则t′＝＝ s＝100 s
B 车刹车t1＝20 s 运动的位移为
x1＝vBt1－a2t1
2＝720 m
B 车刹车t1＝20 s，A 车运动的位移大小
x2＝vAt1＝10×20 m＝200 m
B 车刹车t1＝20 s 后，两车的距离Δx＝d＋x2－x1＝900 m＋200 m－720 m＝380 m
(3)B 车刹车t2＝30 s 后，B 车运动的速度
vB′＝vB－a2t2＝40 m/s－0.4×30 m/s＝28 m/s
B 车运动的位移
x3＝vBt2－a2t2
2＝1 020 m
A 车运动的位移x4＝vAt2＝300 m
A、B 两车的距离为d′＝d＋x4－x3＝180 m
为保证两车恰好不相撞，则B 车追上A 车时两车速度恰好相等
设B 车减速t 秒时两车的速度相同，有
vB′－a2t＝vA＋aAt，xA＝vAt＋aAt2
xB＝vB′t－a2t2，xB－xA＝d′
解得aA＝＝0.5 m/s2。
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解答追及相遇问题的三种方法
物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，建立物
体运动情景图，分析两物体的速度大小关系，利用速度相等时两物体的
位置关系，判断能否追上、二者相距最近或最远
函数方程判
断法
设经过时间t，二者间的距离Δx＝xB＋x0－xA，假设追上，Δx＝0，方程
中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0，恰好追上，一解；Δ>0，两解或
发生了相撞；或利用函数极值求解二者距离最大值或最小值
图像法
将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像
中，然后利用图像分析求解相关问题
考点二 图像中的追及相遇问题
1．x－t 图像、v－t 图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。
2．利用v－t 图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作
出v－t 图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。
3．若为x－t 图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t 图像，可转化
为v－t 图像进行分析。
例3 (多选)(2024·广东省四校联考)两车在不同的行车道上同向行驶，t＝0 时刻，乙车在甲
车前方25 m。两车速度—时间(v－t)图像分别为图中直线甲和直线乙，交点坐标图中已标出，
则( )
A．乙车的加速度是0.6 m/s2
B．第5 s 末两车相距40 m
C．相遇前，甲、乙两车的最大距离是55 m
D．25 s 末时甲车追上乙车
答案 BD
解析 v－t 图像中图线的斜率即为物体运动的加速度，所以乙车的加速度为a 乙＝ m/s2＝0.2
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m/s2，故A 错误；由题图可得第5 s 末时，两车的速度分别为v 甲＝ m/s＝3 m/s，
v 乙＝ m/s＝5 m/s，v－t 图像中图线与t 轴所围成图形的面积表示物体运动的位移，所以由x
＝·t，可得0～5 s 内两车运动的位移分别为x 甲＝×5 m＝7.5 m，x 乙＝×5 m＝22.5 m，所以第
5 s 末两车相距Δx＝x 乙－x 甲＋x0＝40 m，故B 正确；当两车速度相等时，两车相距最远，由
题图可知，第10 s 末时，两车速度相等，之间的距离最大。0～10 s 内两车运动的位移分别
为x 甲′＝×10 m＝30 m，x 乙′＝×10 m＝50 m，所以第10 s 末两车相距Δx′＝x 乙′－x 甲′＋x0＝
45 m，故C 错误；由题图可得甲车的加速度为a 甲＝
m/s2＝0.6 m/s2，设经过时间t 甲车追上乙车，则x 甲″－x 乙″＝x0，x 甲″＝a 甲t2＝0.3t2，x 乙″＝
v0t＋a 乙t2＝4t＋0.1t2，联立解得t＝25 s，所以25 s 末时甲车追上乙车，D 正确。
例4 (2024·山东德州市月考)物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐
比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A 小车安装加速度传感器，B 小车
安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为v0＝30 m/s，A 车在前、B 车在后，两车相距
100 m，其传感器读数与时间的函数关系图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列
说法正确的是( )
A．t＝3 s 时两车间距离为25 m
B．3～9 s 内，A 车的加速度大于B 车的加速度
C．两车最近距离为10 m
D．0～9 s 内两车相遇一次
答案 C
解析 在0～3 s 内A 车做匀减速运动，A 车减速到零所需时间tA＝＝3 s，故在t＝3 s 时A
车减速到零，A 车前进的位移为xA＝tA＝45 m，B 车前进的位移为xB＝v0tA＝90 m，t＝
3 s 时两车间距离为Δx＝d＋xA－xB＝55 m，故A 错误；由题图可知在3～9 s 内A 车的加速
度为aA2＝5 m/s2，在v－t 图像中，图像的斜率表示加速度，则aB＝＝－5 m/s2，故A、B 两
车的加速度大小相等，故B 错误；t＝3 s 后，A 车开始由静止做匀加速运动，B 车开始做匀
减速运动，3～9 s 的过程中，设经历时间t 两者速度相同，则v 共＝aA2t＝v0＋aBt，解得t＝3
s，v 共＝15 m/s，A 车在t＝3 s 内前进的位移为x1＝t＝22.5 m，B 车前进的位移为x2＝t＝67.5
m，故此时两车相距的最小距离为Δxmin＝Δx＋x1－x2＝10 m，此后A 车的速度大于B 车的速
度，两者间的距离开始增大，故不可能相遇，故C 正确，D 错误。
1.(2023·重庆市第八中学检测)一运动员将静止的足球沿边线向前踢出，足球获得12 m/s 的初
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速度，同时该运动员沿边线向前追赶足球，速度v 随时间t 的变化规律如图所示。已知足球
停下时该运动员刚好追上足球，则足球的加速度大小与运动员加速阶段的加速度大小之比为
( )
A．4∶3 B．3∶4 C．4∶5 D．7∶9
答案 B
解析 设运动员加速时间为t1，追上时两者位移相等，即v－t 图像与t 轴所围面积相等，有
×12×t2＝×8×t1＋8×(t2－t1)，解得t2＝2t1，则加速度之比＝＝＝，故选B。
2．(多选)如图甲所示，A 车和B 车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速
54 km/h。当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图乙所示，0～5 s 时
间内，A 车的图线是抛物线的一部分，B 车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说
法正确的是( )
A．A 车运动的加速度大小为1 m/s2
B．t＝3.5 s 时，两车的速度相同
C．A 车追上B 车的最短时间为7.2 s
D．两车相遇两次
答案 BC
解析 由匀变速直线运动规律可知x＝v0t＋at2，由题图乙可知当t＝2 s 时x＝10 m，当t＝
5 s 时x＝40 m，解得v0＝3 m/s，a＝2 m/s2，故A 错误；由题图乙可知B 车匀速运动的速度
vB＝ m/s＝10 m/s，由匀变速直线运动规律可得vA＝v0＋at＝vB，解得t＝3.5 s，故B 正确；
A 车加速到vmax＝54 km/h＝15 m/s 后做匀速运动，追上B 车的时间最短，由vmax＝v0＋at0，
可知A 车的加速时间t0＝6 s，A 车追上B 车满足vBt＝v0t0＋at0
2＋vmax(t－t0)，解得t＝7.2 s，
此后A 车速度大于B 车，不会再相遇，故C 正确，D 错误。
3．(2024·云南曲靖市检测)5G 自动驾驶是基于5G 通信技术实现网联式全域感知、协同决策
与智慧云控，相当于有了“千里眼”的感知能力，同时，5G 网络超低延时的特性，让“汽
车大脑”可以实时接收指令，极大提高了汽车运行的安全性。A、B 两辆5G 自动驾驶测试
车，在同一直线上向右匀速运动，B 车在A 车前，A 车的速度大小v1＝8 m/s，B 车的速度大
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小v2＝20 m/s，如图所示。当A、B 两车相距x0＝20 m 时，B 车因前方突发情况紧急刹车，
已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2，从此时开始计时，求：
(1)A 车追上B 车之前，两者相距的最远距离Δx；
(2)A 车追上B 车所用的时间t。
答案 (1)56 m (2)15 s
解析 (1)当两车速度相等时，两车的距离最大，设经过时间t1两车速度相等，则有v1＝v2－
at1
得t1＝6 s
在t1时间内A 车位移为x1＝v1t1＝48 m
B 车位移为x2＝v2t1－at1
2＝84 m
则此最远的距离为Δx＝x2＋x0－x1＝56 m
(2)设经过时间t2，B 车停下来，则有0＝v2－at2
得t2＝10 s
此过程中A 车和B 车的位移分别为
x1′＝v1t2＝80 m
x2′＝v2t2－at2
2＝100 m
此时x2′＋x0>x1′
说明A 车还没追上B 车，设再经过时间t3才追上，则有x2′＋x0－x1′＝v1t3得t3＝5 s，所以
A 车追上B 车所用的时间为t＝t2＋t3＝15 s。
4．(2024·黑龙江哈尔滨市第三中学检测)如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形。
图中A 车车长 LA＝4 m，B 车车长 LB＝6 m，两车车头相距L＝26 m 时，B 车正以vB＝10
m/s 的速度匀速行驶，A 车正以vA＝15 m/s 的速度借道超车，此时A 车司机发现前方不远处
有一辆汽车C 正好迎面驶来，其速度为vC＝8 m/s，C 车车头和B 车车头之间相距d＝94 m，
现在A 车司机有两个选择，一是放弃超车，驶回与B 相同的车道，而后减速行驶；二是加
速超车，在B 与C 相遇之前超过B 车，不考虑变道过程的时间和速度的变化。
(1)若A 车选择放弃超车，回到B 车所在车道，则A 车至少应该以多大的加速度匀减速刹车，
才能避免与B 车相撞；
(2)若A 车选择加速超车，求A 车能够安全超车的加速度至少多大；
(3)若A 车选择超车，但因某种原因并未加速，C 车司机在图示位置做出反应(不计反应时间)，
则C 车减速的加速度至少多大才能保证A 车安全超车。
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答案 (1) m/s2 (2) m/s2 (3)1 m/s2
解析 (1)若A 车选择放弃超车， 回到B 车所在车道，当两车速度相同时，A 恰好追上B，
此时A 加速度最小，根据运动学公式有vA－a1t1＝vB
vAt1－a1t1
2＝vBt1＋L－LB
联立解得A 车的最小加速度为a1＝ m/s2
(2)A 车加速超车最长时间为
t2＝＝ s＝5 s
A 车安全超车，根据运动学公式有
vAt2＋a2t2
2＝vBt2＋L＋LA，
解得A 车能够安全超车的加速度至少为
a2＝ m/s2
(3)C 车做匀减速运动最长时间为
t3＝＝ s＝6 s
A 车安全超车，根据运动学公式有
vAt3＋vCt3－a3t3
2＝d＋L
解得C 车减速的最小加速度为a3＝1 m/s2。
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