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微专题6 追及相遇问题
1．(1)“慢追快”型：v 后＝v 前时，Δx 最大。追匀减速运动的机车时，要注意判断追上时前
车是否已停下。(2)“快追慢”型：v 后＝v 前时，Δx 最小，若此时追上是“恰好不相撞”；若
此时还没追上就追不上了；若此时之前追上则是撞上。2.在已知出发点的前提下，可由v－t
图像“面积”判断相距最远、最近及相遇等情况。3.基本解题思路是：利用速度相等找位移
关系。
1．一步行者以6.0 m/s 的速度跑去追赶被红灯阻停的公交车，在跑到距公交车25 m 处时，
绿灯亮了，公交车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( )
A．人能追上公交车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公交车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公交车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公交车，且车开动后，人、车距离越来越大
答案 B
解析 当公交车加速到6.0 m/s 时二者相距最近，此时公交车运动时间t＝＝6 s，人运动的距
离x 人＝vt＝36 m，公交车位移x 车＝at2＝18 m，最近距离Δxm＝x 车＋x0－x 人＝7 m，故人不
能追上公交车，人、车之间的距离先减小后增大，A、C、D 错误，B 正确。
2. (2023·黑龙江双鸭市开学考试)两辆汽车A、B 沿同一条直线同向运动，B 车在前面遇到紧
急情况刹车，刹车开始时两车相距为x＝30 m，后面的汽车A 一直做匀速直线运动，它们的
速度—时间图像如图所示，则A 追上B 所用的时间约为( )
A．1.0 s B．4.0 s C．5.0 s D．5.2 s
答案 D
解析 由题图可知汽车A 做匀速直线运动的速度为vA＝12 m/s，汽车B 做匀减速直线运动的
加速度为aB＝＝ m/s2＝－4 m/s2，汽车B 速度减为零时，运动时间t1＝＝ s＝4 s，运动的位
移xB＝t1＝×4 m＝32 m，汽车B 停止时，汽车A 运动的位移x2＝vAt1＝12×4 m＝48 m，则x2
＝48 m<x＋xB＝30 m＋32 m＝62 m，说明汽车B 停止时汽车A 没有追上汽车B，设B 停止
后A 追上B 所用的时间为t2，则t2＝＝ s≈1.2 s，所以A 追上B 所用的时间约为t＝t1＋t2＝
5.2 s，故选D。
3．(多选)如图所示，图(a)是在同一直线上运动的甲、乙两车的x－t 图像；图(b)是丙、丁两
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车在平直公路上同向行驶的v－t 图像，已知两车在t＝3 s 时并排行驶。下列说法正确的是(
)
A．甲启动的时刻比乙早，且启动后有一段时间内两车相向行驶
B．当t＝t2时，甲、乙两车相距最远
C．丙、丁两车在t＝2 s 时刻相距最远
D．丙、丁两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 AD
解析 位移—时间图像的斜率表示速度，
由题图(a)可知甲启动的时刻比乙早t1，且启动后在t1～t2这一段时间内两车相向行驶，在t2
时刻两车相遇，故A 正确，B 错误；
依题意知，丙、丁两车在t＝3 s 时并排行驶，
由题图(b)可知，3 s 以后，丙的速度一直大于丁的速度，两车距离将会越来越大，故C 错误；
速度—时间图像的斜率表示加速度，
图像中图线与横轴围成的面积表示位移，
由题图(b)可知a 丙＝＝ m/s2＝10 m/s2，
a 丁＝＝ m/s2＝5 m/s2，
可知两车在t＝3 s 时，速度大小为v 丙＝30 m/s，v 丁＝25 m/s，
各自发生的位移为x 丙＝×30×3 m＝45 m，x 丁＝×3 m＝52.5 m，
由于两车在t＝3 s 时并排行驶，
所以可知t＝0 时，丙在丁前方x0＝x 丁－x 丙＝7.5 m
设两车第一次并排时的时间为t0，
则有7.5＋×10×t0
2＝10t0＋×5t0
2
解得t0＝1 s，或t0＝3 s(舍去)，此时，丙的位移为x 丙′＝×10×12 m＝5 m，
所以，两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为Δx＝x 丙－x 丙′＝45 m－5 m＝40
m，故D 正确。
4．“十次肇事九次快”，造成交通事故至关重要的因素之一是违章超速行驶。一辆执勤警
车停在公路旁，当警员发现从他旁边匀速驶过的货车有违章行为时，决定前去追赶，经过
2.5 s 警员将警车发动起来，然后以2 m/s2的加速度匀加速追赶，已知货车的速度为8 m/s，
试问：
(1)在警车追上货车前，两车间的最大距离是多少？
2
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(2)警车从发动开始经过多长时间追上货车？
答案 (1)36 m (2)10 s
解析 (1)当两者速度相等时，距离最大，由at＝v，可得t＝4 s
最大距离Δx＝v(t＋2.5 s)－at2
代入数据解得Δx＝36 m
(2)追上时，两车位移相等，
因此有v(t′＋2.5 s)＝at′2
代入数据解得t′＝10 s。
5．一位医生赶到汽车站时，车已经沿平直公路驶离车站，听到呼喊后汽车立即以2 m/s2的
加速度匀减速刹车，该医生同时以4 m/s 的速度匀速追赶汽车。已知汽车开始刹车时速度为
8 m/s，减速前距离医生14 m。求：
(1)医生追上汽车前，医生和汽车间的最远距离xmax；
(2)医生追上汽车的时间t。
答案 (1)18 m (2)7.5 s
解析 (1)当医生和汽车的速度相等时相距最远，v 医＝v 汽，
此时由v 汽＝v0－at0解得t0＝2 s，
x 汽＝v0t0－at0
2＝12 m，
x 医＝v 医t0＝8 m
两者最远距离xmax＝x 汽＋x0－x 医＝12 m＋14 m－8 m＝18 m
(2)汽车速度减为0 的时间为t1＝＝4 s
由0－v0
2＝－2ax
得汽车速度减为零的位移x＝16 m
医生追上汽车时的位移x′＝x0＋x＝14 m＋16 m＝30 m
医生追上汽车的时间t＝＝7.5 s>t1
说明医生追上汽车时，车已停，所以医生追上汽车所需的时间为7.5 s。
6. (2023·四川内江市一模)如图所示，一汽车停在小山坡底，突然司机发现山坡上距坡底60
m 处的泥石流以4 m/s 的初速度、0.4 m/s2的加速度匀加速倾泻而下，假设泥石流到达坡底后
速率不变，之后在水平地面上做匀速直线运动，司机从发现险情到发动汽车共用了2 s，汽
车启动后以恒定的加速度一直做匀加速直线运动，其情景简化为如图所示，求：
(1)泥石流到达坡底的时间和速度大小；
(2)试通过计算说明：汽车的加速度至少多大才能脱离危险。
答案 (1)10 s 8 m/s (2)0.5 m/s2
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解析 (1)设泥石流到达坡底的时间为t1，速度大小为v1，
由x1＝v0t1＋a1t1
2，v1＝v0＋a1t1
代入数据得t1＝10 s，v1＝8 m/s
(2)泥石流在水平地面上做匀速直线运动，
故汽车的速度加速至v1时两者在水平地面的位移刚好相等才能脱离危险，
设汽车加速时间为t，
故有v 汽＝v1＝a′t，x 汽＝，x 泥＝v1(t－t1＋2 s)＝x 汽
联立各式代入数据解得a′＝0.5 m/s2。
7．在一条平直的公路上，一货车以30 m/s 的速率超速行驶时，司机突然发现前方40 m 处
有一自行车以5 m/s 的速率同道、同方向匀速行驶。司机立即开始制动。(这段公路很窄，无
法靠边让道)
(1)若货车刹车后以大小为5 m/s2的加速度做匀减速运动。通过计算分析骑自行车的人是否有
危险？ 若无危险，求两车相距最近时的距离；若有危险，求出从货车发现自行车开始到撞
上自行车的时间。
(2)若货车司机发现自行车时，自行车也恰好发现货车，自行车立即做匀加速直线运动(不计
反应时间)，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)。货车也立即刹车做匀减速直线运动(不计
反应时间)，为避免碰撞，问：货车加速度至少多大才能避免相撞？(结果保留两位有效数字)
答案 (1)有危险 2 s (2)5.8 m/s2
解析 (1)当货车和自行车共速时，两者距离最近，
则v0－at＝v，解得t＝5 s
此时货车的位移x1＝t＝87.5 m
自行车的位移x2＝vt＝25 m
因x1>x2＋Δx
可知货车已经和自行车相撞；
由位移关系，设经过时间t′两车相撞，
则v0t′－at′2＝Δx＋vt′
解得t′＝2 s(t′＝8 s 舍去)
(2)两车恰不相撞时，两者共速，
则v0－a′t″＝v＋a1t″，v0t″－a′t″2＝Δx＋vt″＋a1t″2 ，解得a′≈5.8 m/s2。
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