高中数学必备结论全归纳：25组81个必背核心结论+24个二级结论_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_2027年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）-G56_2027版

高中数学必备结论全归纳：
（25 组 81 个必背核心结论+ 24 个二级结论）
19 组 81 个必背核心结论
必背1——集合的 4 个常考结论
{ A=B(A和B相等)⇔A⊆B且A⊇B,
1.
A⊆B(A是B的子集)⇔
A⫋B(A是B的真子集)⇔A⊆B且A≠B.
2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即∅⊆A，∅⫋B(B≠∅)。
3. 任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；空集只有一个子集，即它本身。
4. 含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n-1，真子集的个数是2n-1，非空真子
集的个数是2n-2
必背2——基本不等式的 2 个必考结论
1. 几个重要不等式
(1)a2+b2 ⩾2ab(a,b∈R)，当且仅当a=b时取等号。
(2)a+b⩾2❑√ab(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取等号。
2ab a+b √a2+b2
(3) ⩽❑√ab⩽ ⩽❑ (a>0,b>0)，当且仅当a=b时取等号。
a+b 2 2
2. 利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0，
(1) 如果积xy等于定值P，那么当x= y时，和x+ y取得最小值2❑√P(简记：积定和最小)；
S2
(2) 如果和x+ y等于定值S，那么当x= y时，积xy取得最大值 (简记：和定积最大)。
4
【注意】应用基本不等式求最值应满足三个条件 “一正”“二定”“三相等”。
必背3——函数单调性的 7个常用结论
f (x) g(x)
若函数 与 在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
f (x) f (x)+C
1. 与 （C为常数）具有相同的单调性．
f (x) −f (x)
2. 与 的单调性相反．3.当
a>0
时，
af(x)
与
f (x)
单调性相同；当
a<0
时，
af(x)
与
f (x)
单调性相反．
f (x) f (x) √f (x)
4.若 ≥0，则 与 具有相同的单调性．
a
5.若
f (x)
恒为正值或恒为负值，则当
a>0
时，
f (x)
与
f (x)
具有相反的单调性；
a
当
a<0
时，
f (x)
与
f (x)
具有相同的单调性．
f (x) g(x)
6. 与 的和与差的单调性（相同区间上）：
简记为：↗+↗=↗;（2）↘+↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
7.复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
必背4——函数图象对称性的 3 个常用结论
a+b
1. 若函数y=f(x)的定义域为R，且有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=
2
对称。特别地，若f(a+x)=f(a-x)，则函数f(x)的图象关于直线x=a对称。
2. 若函数y=f(x)的定义域为R，且有f(a+kx)=f(b-kx)(k≠0)，则函数f(x)的图象关于直线
a+b a+b
x= 对称，函数f(kx)的图象关于直线x= 对称。
2 2k
3. 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x)。特
别地，若f(a+x)=-f(a-x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称。
必背5——指对运算的 3 个公式结论
1. 指数幂的运算性质：如果a>0,b>0,r,s∈R，那么
①aras=ar+s，
ar
②
=ar-s
，
as
③ ，
(ar
)
s=ars
④ 。
(ab) r=arbr2. 对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①log ⁡(M⋅N)=log ⁡M+log ⁡N，
a a a
M
②log ⁡ =log ⁡M-log ⁡N，
a N a a
③ 。
log ⁡Mn=nlog ⁡M(n∈R)
a a
3. 换底公式： log b ，且 ； ，且 ； (一般选用 或 作为底数)。
log = c (a>0 a≠1 c>0 c≠1 b>0) e 10
b log a
c
1
推论：①log ⁡b= ；
a log a
b
n
②log ⁡bn= log ⁡b；
am m a
③log ⁡b⋅log ⁡c⋅log ⁡d=log ⁡d。
a b c a
必背6——三角恒等变换中的 4 个化简结论
1. 同角三角函数的基本关系： ， sinα ( π )。
sin2⁡α+cos2⁡α=1 tan⁡α= α≠ +kπ,k∈Z
cosα 2
常见变形有sin2⁡α=1-cos2⁡α，cos2⁡α=1-sin2⁡α，
， ，
sin⁡α=±❑√1-cos2⁡α cos⁡α=±❑√1-sin2⁡α
sinα
sin⁡α=cos⁡αtan⁡α，cos⁡α= ，
tanα
sin2α tan2α ，1+tan2⁡α 1 ，
sin2⁡α= = =
sin2⁡α+cos2⁡α tan2⁡α+1 cos2α cos2α
。
(sin⁡α±cos⁡α) 2=1±2sin⁡αcos⁡α
2. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β；
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β；
tan⁡α±tan⁡β ( π ) 。
tan⁡(α±β)= α,β,α±β≠ +kπ,k∈Z
1∓tan⁡αtan⁡β 23. 二倍角公式：
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α，
cos⁡2α=cos2⁡α-sin2⁡α=2cos2⁡α-1=1-2sin2⁡α，
2tan⁡α
tan⁡2α= 。
1-tan2⁡α
由二倍角公式可得： ， 。
1+sin⁡2α=(sin⁡α+cos⁡α) 2 1-sin⁡2α=(sin⁡α-cos⁡α) 2
a b
4. 辅助角公式： y=asin⁡x+bcos⁡x=❑√a2+b2( sin⁡x+ cos⁡x )=❑√a2+b2sin⁡(x+φ)
❑√a2+b2 ❑√a2+b2
b a
(或❑√a2+b2cos⁡(x-γ) )，其中tan⁡φ= (或tan⁡γ= )。
a b
必背7——等差数列的 3 个常用结论
已知等差数列a 的公差为d，前n项和为S 。
n n
1. 通项公式： 。
a =a +(n-1)d=dn+a -d(n∈N* )
n 1 1
2. 前 n 项和公式： S = n(a 1 +a n ) =na + n(n-1) d= d n2+ ( a - d) n(n∈N* ) 。
n 2 1 2 2 1 2
3. 性质结论：
a+b
①若a,A,b成等差数列，则A叫做a,b的等差中项，A= 。
2
②若 ，则 。
m+n=p+q(m,n,p,q∈N* ) a +a =a +a
m n p q
③数列 是公差为 的等差数列。
a ,a ,a ,⋯(k,m∈N* ) kd
m m+k m+2k
④数列 ， ， ， 也是等差数列，公差为 。
S S -S S -S ⋯ m2d(m∈N* )
m 2m m 3m 2m
必背8——等比数列的 3 个常用结论
已知等比数列a 的公比为q(q≠0)，前n项和为S 。
n na
1. 通项公式：a =a qn-1= 1 ⋅qn (n∈N*,q≠0)。
n 1 q
{ na ,q=1,
1
2. 前 n 项和公式：S = a (1-qn ) a -a qn
n 1 = 1 1 ,q≠1.
1-q 1-q
3. 性质结论：
①若a,G,b成等比数列，则G叫做a,b的等比中项，G2=ab。
②若 ，则 。
m+n=p+q(m,n,p,q∈N* ) a a =a a
m n p q
③数列 是公比为 的等比数列。
a ,a ,a ,⋯(k,m∈N* ) qk
m m+k m+2k
④当 ，或 且 为奇数时，数列 ， ， ， 是公比为 的等比
q≠-1 q=-1 m(m∈N* ) S S -S S -S ⋯ qm
m 2m m 3m 2m
数列。
必背9——平面向量数量积相关的 5个公式结论
已知非零向量 ， ， 与 的夹角为θ.
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角的余弦值
的充要条件
与 的关系
必背10——解三角形的 4个必考结论
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，R是△ABC的外接圆半径。
a b c
1. 正弦定理： = = =2R。变形：
sinA sinB sinC
(1)a=2Rsin⁡A，b=2Rsin⁡B，c=2Rsin⁡C；a b c
(2)sin⁡A= ，sin⁡B= ，sin⁡C= ；
2R 2R 2R
(3)a:b:c=sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C；
a+b+c a
(4) = =2R。
sin⁡A+sin⁡B+sin⁡C sin A
2. 余弦定理：a2=b2+c2-2bccos⁡A；b2=c2+a2-2accos⁡B；c2=a2+b2-2abcos⁡C。
b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2
变形：cos⁡A= ；cos⁡B= ；cos⁡C= 。
2bc 2ac 2ab
3. 三角形常用面积公式：
1
(1)S= a⋅h （h 表示边a上的高）；
2 a a
1 1 1
(2)S= absin⁡C= acsin⁡B= bcsin⁡A；
2 2 2
1
(3)S= r(a+b+c)（r为△ABC内切圆的半径）。
2
4. 解三角形中的常用结论
（1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
（2）三角形中的三角函数关系
①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin .
（3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
（4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B a＞b sin A＞sin B.
⇔ ⇔
必背11——复数运算中的 5个常用结论
1+i 1-i a+bi
1. (1±i) 2=±2i； =i， =-i， =b-ai。
1-i 1+i i
2. ， ， ， ， 。
i4n=1 i4n+1=i i4n+2=-1 i4n+3=-i in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N* )
3. |z＋z|2＋|z－z|2＝2(|z|2＋|z|2)．
1 2 1 2 1 2
4. ·z＝|z|2＝||2.
5. 若z为虚数，则|z|2≠z2.
必背12——简单几何体的 8 个表面积与体积公式
空间几何体的表面积和体积公式
名称 表面积 体积几何体
柱体(棱柱和圆柱) S ＝S ＋2S V＝S h
表面积 侧 底 底
锥体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝S h
表面积 侧 底 底
台体(棱台和圆台) S ＝S ＋S ＋S V＝(S ＋S ＋)h
表面积 侧 上 下 上 下
球 S＝4πR2 V＝πR3
几何体的表面积和侧面积的注意点
①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．
②组合体的表面积应注意重合部分的处理．
必背13——空间向量求空间角和空间距离的 6个公式结论
1. 异面直线a,b所成的角θ：
|a⋅b|
cos⁡θ=|cos⁡⟨a,b⟩|= ，其中 0∘<θ⩽90∘，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量。
|a|⋅|b|
2. 直线AB与平面α所成的角θ：
→
→ |AB⋅m|
sin⁡θ=|cos⁡⟨ AB,m⟩|= ，其中 0∘⩽θ⩽90∘，m是平面α的法向量。
→
|AB|⋅|m|
3. 二面角α-l-β的平面角θ：
①若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向
量 与 的夹角，如图a.
②平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为 ，平面β的法向量为 ， ，则二面角αlβ
为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则 ，如图b，c.
4. 点到直线的距离：
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，
设向量AP在直线l上的投影向量为AQ＝a，则点P到直线l的距离为．5. 点到平面的距离：
已知平面 的法向量为 , 是平面 内的任一点， 是平面 外一点，
过点 作则平面 的垂线 ，交平面 于点 ，则点 到平面 的距离为 （如图）.
6. 线面距和面面距：
线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．


ABn
d 
a  |n  | Aa,B n  
①直线 与平面 之间的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量．


ABn
d 
, |n  | A,B n  
②两平行平面 之间的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量．
必背14——数字特征的 5个常用结论
给出一组数据x ,x ,…,x 给出频率分布直方图
1 2 n
众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫 最高矩形所在区间的中点的横坐标即众数
做这组数据的众数
百分位 一组n个数据的第p百分位数计算步骤： 第p百分位数左边的直方图的面积和占直
数 第 1 步，按从小到大排列原始数据； 方图总面积的p
第 2 步，计算i=n×p；
第 3 步，若i不是整数，而大于i的比邻
整数为j，则第p百分位数为第j项数
据；若i是整数，则第p百分位数为第i项
与第(i+1)项数据的平均数
平均数 x i 等于图中每个小矩形的面积与小矩形底边
，其中 i是第 个 中点的横坐标的乘积之和
样本数据，n是样本容量。公式变形：
．
标准差 记频率分布直方图中有n个区间分组，各区间对应的横坐标分别为x ,x ,…,x ，
1 2 n
各区间对应的频率分别为p ,p ,…,p ，
1 2 n
为样本数据的平均数，则
√ n
s=❑∑(x -) 2p
i i
i=1
方差 n
s2=∑(x -) 2p
i i
i=1
必背15——排列数与组合数的 4 个公式与性质
1. 排列数公式： ．
特例：当 时， ；规定： ．
2. 排列数的性质：① ；② ；③ ．
3. 组合数公式：
组合数公式还可表示为： ．特例： ．
4. 组合数的性质：① ；② ．
必背16——二项式定理的 3 个常用结论
1. 二项式定理：
（1）二项式定理： ，
（2）通项公式： ，表示展开式的第 项：，
（3）二项式系数：系数 （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（4）两个常用的二项展开式：①
(ab)n C
n
0anC
n
1an1b

(1)rC
n
ranrbr

(1)nC
n
nbn （nN*
）
(1x)n 1C1xC2x2 Crxr xn
② n n  n 
2. 二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质：
①每一行两端都是 ，即 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ．
（2）二项式系数的最大项
二项式系数先增后减中间项最大
①如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大；
②如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 ， 的二项式系数 ， 相等且最大．
（3）系数的最大项
求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 ，
设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来．
3. 二项式展开式中的系数和问题
（1）二项式系数和令 ，则二项式系数的和为 ，
变形式 ．
（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 ，
则 ，
从而得到： ．
（3）若 ，则
①常数项：令 ，得 ．
②各项系数和：令 ，得 ．
必背17——概率的 6 个常用公式结论
事件A包含的样本点的个数 n(A)
1. 古典概型的概率计算公式：P(A)= = 。
有限样本空间Ω包含的样本点的个数 n(Ω)P(AB) n(AB)
2. 条件概率：设A,B为两个随机事件，且P(A)>0，有P(B|A)= = 。
P(A) n(A)
3. 全概率公式：
（1）全概率公式： ；
（2）若样本空间 中的事件 ， ，…， 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．
则对 中的任意事件 ，都有 ，且
．
4. 贝叶斯公式:
（1）一般地，当 且 时，有
（2）定理 若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．
则对 中的任意概率非零的事件 ，都有 ，
且
5.相互独立事件的概率计算公式：如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)。推广：
如果事件A ,A ,…,A 相互独立，那么P(A A ⋯A )=P(A )P(A )⋯P(A )。
1 2 n 1 2 n 1 2 n
6.互斥事件的概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。推广：若事
件A ,A ,…,A 两两互斥，则P(A ∪A ∪⋯∪A )=P(A )+P(A )+⋯+P(A )。
1 2 n 1 2 n 1 2 n
必背18——离散型随机变量分布列、期望、方差的 3 个性质结论
1. 分布列的性质：
①p⩾0,i=1,2,…,n；
in
② ；
∑ p =p +p +⋯+p =1
i 1 2 n
i=1
③P(x ⩽X⩽x )=p +p +⋯+p (1⩽i< j⩽n且i, j∈N)。
1 j i i+1 j
2. 期望的性质：
①E(k)=k（k为常数）；
②E(aX+b)=aE(X)+b（a,b为常数）；
③E(X +X )=E(X )+E(X )。
1 2 1 2
④若随机变量X ,X 对应的事件相互独立，则E(X X )=E(X )E(X )。
1 2 1 2 1 2
3. 方差的性质：
①D(k)=0（k为常数）；
② （ 为常数）；
D(aX+b)=a2D(X) a,b
③ 。
D(X)=E(X2 )-[E(X)] 2
④若随机变量X ,X ,…,X 对应的事件两两独立，且都存在方差，则
1 2 n
。
D(X +X +⋯+X )=D(X )+D(X )+⋯+D(X )
1 2 n 1 2 n
必背19——回归模型中的 3个常用结论
1. 相关系数:
①当 时，表示两个变量正相关；当 时，表示两个变量负相关．
② 越接近 ，表示两个变量的线性相关性越强； 越接近 ，表示两个变量间几乎不存在线性相关
关系．当 时，所有数据点都在一条直线上．
③通常当 时，认为两个变量具有很强的线性相关关系．
决定系数R2越接近于1，模型的拟合效果越好。
2. 相关指数：
越接近于 ，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好．3. 经验回归直线恒过样本点（ ， ）。
6 组 24 个二级结论
必背1——函数与导数的 4 大二级结论
1. 切线不等式
(1)ex ⩾x+1（当且仅当x=0时取等号）；
(2)ln⁡(x+1)⩽x(x>-1)（当且仅当x=0时取等号）；
(3) ( π)（当且仅当 时取等号）；
sin⁡x⩽x⩽tan⁡x 0⩽x< x=0
2
(4) ( π )（当且仅当 时取等号）。
sin⁡x⩾x⩾tan⁡x - <x⩽0 x=0
2
2. 泰勒展开
x2 x2 x3 α(α-1)
①ex=1+x+ +⋯，ln⁡(1+x)=x- + -⋯，(1+x) α=1+αx+ x2+⋯。
2! 2 3 2!
x3 x5 x7 x2 x4 x6 x3 2x5
②sin⁡x=x- + - +⋯，cos⁡x=1- + - +⋯，tan⁡x=x+ + +⋯。
3! 5! 7! 2! 4! 6! 3 15
3. 洛必达法则
0 ∞
lim f' (x) lim f' (x)
若当x→x
0
或 x→∞ 时，函数f(x),g(x) 满足
0
型或
∞
型， g' (x)≠0 ，x→
g
x
0 ' (x)
或 x→
g
∞
' (x)
存在或为
无穷大，则
lim f(x) lim f' (x) lim f(x) lim f' (x)
x→x 0 = x→x 0 或 x→∞ = x→∞ ，即分子、分母分别求导，极限不变。
g(x) g' (x) g(x) g' (x)
4. 拉格朗日中值定理若函数f(x)满足 (i)f(x)在闭区间[a,b]上连续，(ii)f(x)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存
f(b)-f(a)
在一点ξ(ξ∈(a,b))，使得f' (ξ)= 。
b-a
几何意义：在(a,b)内至少存在一点，使曲线y=f(x)在该点处的切线斜率等于区间两端点连线的斜
率。
必背2——三角函数的 4 大二级结论
1. 三角恒等式
在斜三角形ABC中，tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡Atan⁡Btan⁡C。
2. 射影定理
设△ABC的三边分别是a,b,c，它们所对的角分别是A,B,C，则a=bcos⁡C+ccos⁡B，
b=acos⁡C+ccos⁡A，c=acos⁡B+bcos⁡A。
3. 积化和差与和差化积
(1) 积化和差：
1 1
sin⁡αcos⁡β= [sin⁡(α+β)+sin⁡(α-β)]，cos⁡αsin⁡β= [sin⁡(α+β)-sin⁡(α-β)]，
2 2
1 1
cos⁡αcos⁡β= [cos⁡(α+β)+cos⁡(α-β)]，sin⁡αsin⁡β=- [cos⁡(α+β)-cos⁡(α-β)]。
2 2
(2) 和差化积：
α+β α-β α+β α-β
sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡ cos⁡ ，sin⁡α-sin⁡β=2cos⁡ sin⁡ ，
2 2 2 2
α+β α-β α+β α-β
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡ cos⁡ ，cos⁡α-cos⁡β=-2sin⁡ sin⁡ 。
2 2 2 2
4. 万能公式
θ θ θ
2tan⁡ 1-tan2⁡ 2tan⁡
2 2 2
sin⁡θ= ，cos⁡θ= ，tan⁡θ= 。
θ θ θ
1+tan2⁡ 1+tan2⁡ 1-tan2⁡
2 2 2必背3——不等式与数列的 4 大二级结论
1. 糖水不等式
a a+m
若b>a>0，m>0，则 < 。
b b+m
速记：糖水加糖更甜，真分数分子分母同加一个正数，分数变大。
2. 柯西不等式
对于任意的 ，恒有不等式 ，当且仅当 时取等号。
a,b,c,d∈R (ac+bd) 2 ⩽(a2+b2 )(c2+d2 ) ad=bc
3. 错位相减法速算公式
设a 为等差数列，b 为等比数列，c 的前n项和为S ，当c =a b 时，可将c 的通项公式整理为
n n n n n n n n
a b-A
c =(An+B)qn-1 (q≠0,q≠1)的形式，则S =(An+B)qn-B，其中A= ，B= 。
n n q-1 q-1
4. 数列放缩不等式
1 1 1 1 1 1 1 1
①n2型： < = - (n⩾2)， > = - ，
n2 (n-1)n n-1 n n2 n(n+1) n n+1
1 1 ( 1 1 )。
< =2 -
4n2 4n2-1 2n-1 2n+1
1 2 1 2
②❑√n型： < =2(❑√n-❑√n-1)(n⩾2)， > =2(❑√n+1-❑√n)。
❑√n ❑√n-1+❑√n ❑√n ❑√n+❑√n+1
③ 型： 1 2n-1 1 1 ，
2n < = - (n⩾2)
2n-1 (2n-1)(2n-1-1) 2n-1-1 2n-1
2n-1 2n 2n-1 1 1 。
< = = - (n⩾2)
(2n-1) 2 (2n-1)(2n-2) (2n-1)(2n-1-1) 2n-1-1 2n-1
必背4——平面向量的 4 大二级结论1. 等和线定理
1、定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB(λ+μ=1)。
若⃗OC=k⃗OP，⃗OC=kλ⃗OA+kμ⃗OB，则系数和kλ+kμ= k
总结有：若点P在直线AB上或在平行AB的直线上则⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB( k),反之也成立,我们
把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。
2、等和线的性质
（1）当等和线恰为直线AB时，k=1；
（2) 当等和线在O点和直线AB之间时, k 0,1；
（3)当直线AB在O点和等和线之间时, k 1,；
（4)当等和线过O点时,k =0；
（5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
（6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比
2. 三角形 “四心” 的向量表示
(1) 重心（三条中线的交点）
设O是△ABC的重心，P为△ABC所在平面内任意一点，则有
① → → → ；
OA+OB+OC=0
②重心到顶点的距离和到对边中点的距离之比为2:1；
→ 1 → → →
③PO= (PA+PB+PC)；
3
④动点 满足 → → → 或 → → → → ， 时，动点 的轨迹经过 的重
P AP=λ(AB+AC) OP=OA+λ(AB+AC) λ∈R P △ABC
心。
(2) 垂心（三条高所在直线的交点）
设O是△ABC的垂心，P为△ABC所在平面内任意一点，则有① → → → → → → ；
OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA
② → → → → → → ；
|OA|2+|BC|2=|OB|2+|AC|2=|OC|2+|AB|2
→ →
③动点 满足 → ( AB AC ) 或
P AP=λ +
→ →
|AB|cos⁡∠ABC |AC|cos⁡∠ACB
→ →
→ → ( AB AC ) ， 时，动点 的轨迹经过 的垂心。
OP=OA+λ + λ∈R P △ABC
→ →
|AB|cos⁡∠ABC |AC|cos⁡∠ACB
(3) 外心（三边垂直平分线的交点）
若O是△ABC的外心，则有
① → → → ；
|OA|=|OB|=|OC|
② → → → → → → → → → 。
(OA+OB)⋅AB=(OB+OC)⋅BC=(OC+OA)⋅AC=0
(4) 内心（三条内角平分线的交点）
若O是△ABC的内心，P为△ABC所在平面内任意一点，则有
① → → → （ 分别是 的三边 的长）；
aOA+bOB+cOC=0
a,b,c △ABC BC,AC,AB
→ → → →
②动点 满足 → ( AB AC ) 或 → → ( AB AC ) ， 时，动点 的轨迹经
P AP=λ + OP=OA+λ + λ∈R P
→ → → →
|AB| |AC| |AB| |AC|
过△ABC的内心。
3. 奔驰定理
为 内一点，则 → → → ，其中 分别是 ， ，
P △ABC S ⋅PA+S ⋅PB+S ⋅PC=0 S A ,S B ,S C △BPC △CPA
A B C
△APB的面积。4. 极化恒等式
1
设a,b为两个平面向量，则a⋅b= [|a+b|2-|a-b|2]，其几何意义为向量a,b的数量积等于以这组
4
1
向量所对应的线段为邻边的平行四边形的 “和对角线长” 与 “差对角线长” 的平方差的 。
4
①极化恒等式的平行四边形模型：在 ABCD中，O为AC,BD的交点，则有
◻
→ → 1[ → → ] → →
AB⋅AD= 4|AO|2-4|BO|2 =|AO|2-|BO|2。
4
→ → → 1 →
②极化恒等式的三角形模型：如图，在△ABC中，M是BC的中点，则AB⋅AC=|AM|2- |BC|2。
4
必背5——立体几何的 3 大二级结论
1. 正四面体
若正四面体的棱长为a，则
❑√6 ❑√2
①高h= a，表面积S=❑√3a2，体积V = a3。
3 12
1
②记相邻两个面的夹角为α，则cos⁡α= (α≈70.5∘)。记侧棱与底面的夹角为β，则
3❑√3
cos⁡β= (β≈54.7∘)。
3
③正四面体外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高对应的线段靠近底面的四
❑√6 ❑√6
等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R= a，球心到底面的距离为内切球的半径r= a，
4 12
R:r=3:1。
④顶点在底面的射影是底面三角形的中心（四心合一）。
❑√2
⑤对棱互相垂直，且对棱中点的连线为对棱的公垂线，长度为 a，三对对棱公垂线交于一点，此点
2
为该正四面体外接球（或内切球）的球心。
2. 面积射影定理
如图，△ABC在平面α内的射影为△ABO（C在α外），分别记△ABC的面积和△ABO的面积为S
S'
和S'，记△ABC所在平面和平面α所成锐二面角的平面角为θ，则cos⁡θ= 。
S
3. 三余弦定理和三正弦定理
①三余弦定理（最小角定理）
设：
• 斜线与平面所成角为 θ
• 斜线在平面内的射影与平面内某直线所成角为 θ
1
• 斜线与平面内该直线所成角为 θ
2
则：cos⁡θ =cos⁡θ⋅cos⁡θ
2 1
直观理解
斜线与平面内直线的夹角，永远不小于斜线与平面的线面角。线面角是斜线与平面内所有直线夹角的最小值。
②三正弦定理
设：
• 二面角的平面角为 α
• 一个面内的直线与棱成角 β
• 该直线与另一个面成角 γ
则：sin⁡γ=sin⁡α⋅sin⁡β
适用场景
已知二面角、线棱角，直接求线面角；
或反过来，已知两个角求第三个。
一句话记忆
• 三余弦：斜线角 = 线面角 × 射影角（余弦相乘）
• 三正弦：线面角 = 二面角 × 线棱角（正弦相乘）
必背6——解析几何的 5 大二级结论
1. 椭圆、双曲线的焦半径
记曲线C为椭圆或双曲线，F ,F 分别为曲线C的左、右焦点（或上、下焦点），P(x ,y )为曲线C
1 2 0 0
上任一点， 为离心率( c)。若椭圆的焦点在 轴上，则 ， ；若椭
e e= x |PF |=a+ex |PF |=a-ex
a 1 0 2 0
圆的焦点在y轴上，则|PF |=a+e y ，|PF |=a-e y 。若双曲线的焦点在x轴上，则
1 0 2 0
|PF |=|a+ex |，|PF |=|a-ex |；若双曲线的焦点在y轴上，则|PF |=|a-e y |，
1 0 2 0 1 0
|PF |=|a+e y |。
2 0
2. 圆锥曲线的焦点三角形
(1) 椭圆的焦点三角形：以椭圆x2 y2 上一点 和焦点
+ =1(a>b>0) P(x ,y )(y ≠0)
a2 b2 0 0 0
为顶点的 （焦点三角形），若 ，则①
F (-c,0),F (c,0) △PF F ∠F PF =θ
1 2 1 2 1 2θ
|PF |+|PF |=2a；②4c2=|PF |2+|PF |2-2|PF |⋅|PF |⋅cos⁡θ；③S =b2tan⁡ ；
1 2 1 2 1 2 △PF 1 F 2 2
b2
|PF |⋅|PF |=
1 2 θ。
sin2
2
(2) 双曲线的焦点三角形：若点 是双曲线 x2 y2 上不同于顶点的任意一点，
P C: - =1(a>0,b>0)
a2 b2
F ,F 为双曲线C的两焦点，则△PF F 叫做双曲线的焦点三角形。记∠F PF =θ，则
1 2 1 2 1 2
b2
S =
△PF
1
F
2
θ。
tan
2
(3) 抛物线的焦点三角形：过抛物线 的焦点 (p )的直线 kp（其中 为直
y2=2px(p>0) F ,0 l:y=kx- k
2 2
线l的斜率）交抛物线于A,B两点，那么焦点三角形OAB（O为抛物线的顶点）的面积可以表示为
p2 √ 1 （若抛物线方程为 ，直线 p，则 p2 ）。
S = ❑1+ x2=2py(p>0) l:y=kx+ S = ❑√1+k2
△OAB 2 k2 2 △OAB 2
3. 双曲线的渐近线
b x y
(1) 若渐近线的方程为y=± x(a>0,b>0)，即 ± =0，则双曲线的方程可设为
a a b
x2 y2 。
- =λ(λ∈R,且λ≠0)
a2 b2
(2) 焦点到渐近线的距离总是b。
(3) 双曲线x2 y2 的渐近线 b 的斜率 b与离心率 的关系为
- =1(a>0,b>0) y=± x k=± e
a2 b2 a a
e=❑
√
1+
(b) 2
=❑√1+k2
。
a
4. 抛物线焦点弦的性质设 是过抛物线 的焦点 的弦，若 ， ， 为直线 的倾斜
AB y2=2px(p>0) F A(x ,y )(y >0) B(x ,y ) α AB
1 1 1 2 2
角，则
p p p p 1 1 2
①焦半径|AF|=x + = ，|BF|=x + = ， + = ；
1 2 1-cos⁡α 2 2 1+cos⁡α |AF| |BF| p
2p
②弦长|AB|=x +x +p= ；
1 2 sin2α
p2
③S = （O为抛物线的顶点）；
△OAB 2sin⁡α
④以弦AB为直径的圆与准线相切；
⑤过点 分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为 ，则 。
A,B A ,B ∠A FB =90∘
1 1 1 1
5. 椭圆与双曲线的第二、第三定义
a2
(1) 椭圆的第二定义：若定点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x= 的距离的比值是常
c
c
数 (0<e<a)，则点M的轨迹是椭圆。
a
a2
(2) 双曲线的第二定义：若点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x= 的距离的比值是常
c
c
数 (0<a<c)，则点M的轨迹是双曲线。
a
(3) 椭圆的第三定义：若 是椭圆x2 y2 上关于原点对称的两个点，点 是椭圆上异
A,B + =1(a>b>0) P
a2 b2
于A,B的一点，当直线PA,PB的斜率都存在时，设直线PA,PB的斜率分别为k ,k ，则
1 2
b2（ 为椭圆的离心率）。
k k =e2-1=- e
1 2 a2
(4) 双曲线的第三定义：若 是双曲线x2 y2 上关于原点对称的两个点，点 是双
A,B - =1(a>0,b>0) P
a2 b2
曲线上异于A,B的一点，当直线PA,PB的斜率都存在时，设直线PA,PB的斜率分别为k ,k ，则
1 2
b2（ 为双曲线的离心率）。
k k =e2-1= e
1 2 a2