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解答题02 数列
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通法锤炼
能力强化
题型突破
考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁
融会贯通
实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合
题型一：公式法
等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和．
（1）等差数列的前n 项和公式
（2）等比数列的前n 项和公式
区分好数列类型.
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式：
(2)求
．
【答案】(1)
；(2)
【知识点】等差数列前n 项和的基本量计算、求等差数列前n 项和、利用定义求等差数列通项公式
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，由
，
则
，即
，
所以
.
（2）由（1）知，
，
则
.
2．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0 的等差数列
的前n 项和为
，且
，
，
，
成等比数列.
(1)求
的通项公式；
(2)求使
成立的n 的最小值.
【答案】(1)
；(2)6.
【知识点】等差数列前n 项和的基本量计算、等差数列前n 项和的其他性质及应用、等差数列通项公式的
基本量计算、等比中项的应用
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算基本量，进而可得；
（2）直接由前n 项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得.
【详解】（1）设等差数列的公差为
，首项为
，
由题意可得
，化简得
，
解得
，
，所以
.
（2）由（1）可知
.
由
，得
，即
，
即
，解得
或
.
因为
，所以n 的最小值是6.
即使
成立的n 的最小值为6.
3．（2026·山西大同·一模）已知数列
的前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；(2)
【知识点】求等比数列前n 项和、利用an 与sn 关系求通项或项、由递推关系证明等比数列、分组（并
项）法求和
【分析】（1）根据
的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
（2）根据等比数列和等差数列前
项和公式进行分组求和即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
，
两式相减，得
，即
，故
，
当
时，
，所以
，满足
，
所以数列
为以
为首项，4 为公比的等比数列，
所以
.
（2）由（1）得
，
所以数列
的前
项和
.
题型二：错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前
项和
即可用此法来求.
错位相减法求和时的注意点
（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“
”与“
”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解.
1．（25-26 高三下·河北邯郸·月考）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
；(2)
【知识点】错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）降次作差，再验证
即可；
（2）利用错位相减法即可得到答案.
【详解】（1）由题意，当
时，
.
①，
当
时，
②，
①
②得
，即
.
当
时
，故数列
的通项公式为
.
（2）
③，
④，
③
④得
，
化简得
，即
.
2．（25-26 高三下·山东菏泽·月考）已知数列
满足
，
(1)证明：数列
为等比数列并求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析，
；(2)
【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比
数列
【分析】（1）由已知通分化简得
，由此能证明数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
从而能求出
；
（2）由
，利用错位相减法和公式法求出
.
【详解】（1）由
，通分化简可得
得
，
又
，所以
=2，
故
是首项2，公比2 的等比数列．
所以
，即
．
（2）由
，可得
，
所以
设
，两边同时乘2 得
两式相减可得
，又因为
所以
3．（2026·四川成都·二模）已知正项数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
；(2)
【知识点】错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）可用
与
的关系消去
，求出数列
的通项公式；
（2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由
，当
时，
，
则
，即
，
所以
，即
，
由数列
为正项数列，所以
，从而有
，
，
所以数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
所以
，
．
（2）由（1）知
，所以
，
，则
，
从而
，
即
，
所以
.
4．（2026·山东枣庄·二模）设数列
的前
项和为
，若
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)设
，数列
的前
项和记为
，求
．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【知识点】错位相减法求和、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n 项和、利用an 与sn 关系求通项
或项
【分析】（1）当
时，可得
的值，当
时，根据
，代入求解，整理变形，根据等比
数列的定义，即可得证；
（2）由（1）可得
表达式，根据错位相减求和法，即可得答案.
【详解】（1）因为
，
所以当
时，
，解得
，
当
时，
，
所以
，即
.
所以
，
又
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
.
所以
，
则
，①
，②
①减去②，得：
所以
.
5．（25-26 高三下·福建厦门·月考）设数列
满足
，
，
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)若数列
的前
项和为
，求证：
；
(3)设
，求数列
的最大项.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【知识点】求等比数列前n 项和、由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、确定数列中的最大
（小）项
【分析】（1）通过对已知递推公式进行变形，得到
与
的关系，再根据等差数列的定义证明
即可.
（2）根据（1）求出
的表达式，结合错位相减法求出
，进而得到
.
（3）根据（2）求出
的表达式，然后通过作差法比较
与
的大小，判断数列
的单调性，从而求
出最大项.
【详解】（1）由
可得，
，即
，
又
，因此
是以1 为公差，1 为首项的等差数列.
（2）由（1）得，
，
，
设其前
项和为
，则
，
，
所以
，
即
，
所以
，
又
，所以
，因此
．
（3）由（2）得
，所以
，
，
所以
.
当
时，
，得
，即
.
又因为
，
，
，所以
，
所以
的最大项是
.
6．（2026·吉林通化·模拟预测）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)数列
满足
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
；(2)
【知识点】错位相减法求和、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，根据已知条件可得出关于
、
的方程组即可由等差数列的通
项公式求解；
（2）求出数列
的通项公式，利用错位相减法可求得
的表达式.
【详解】（1）设
的公差为d，则由题有
，
、
，所以
．
（2）由（1）得
，
，
所以
，
所以
，
两式相减得
，
即
，
解得
．
题型三：裂项相消法
1、分式：分母可拆成偶数个因式相乘；
2、根式：形如
.
通分，验证裂项正确与否.
1．（2026·河南许昌·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，对任意
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）根据已知条件结合等比数列性质可确定等比数列公比
，进而求出
，即可求得答案；
（2）结合（1）的结论可得
的表达式，利用裂项相消求和法，即可求得答案.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
①，
②，
①－②得
，即
，
由于数列
为等比数列，则等比数列公比
，所以
，
即得
，解得
，
所以数列
是首项
，公比
的等比数列，通项公式为
；
（2）
，
.
2．（2026·宁夏银川·一模）已知数列
满足
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)令
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见解析；(2)
；(3)
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列
【分析】（1）根据等比数列的定义，结合数列的递推公式即可证明.
（2）利用（1）的结论，结合累加法可求数列的通项公式.
（3）利用“裂项相消法”求和.
【详解】（1）因为
.
又
，
所以
是以2 为首项，以2 为公比的等比数列.
（2）由（1）得：
，
所以
，
，
，…，
.
以上各式相加得：
.
所以
.
（3）
，
所以
，
所以
.
3．（2026·河北保定·一模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求
(2)若
，求数列
的前n 项和.
【答案】(1)
；(2)
【知识点】裂项相消法求和、利用an 与sn 关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）由题意可知数列
是以首项为
，公差为
的等差数列，结合等差数列的通项公式
运算求解；
（2）根据
与
之间的关系可得
，进而可得
，结合裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为
，且
，
可知数列
是以首项为
，公差为
的等差数列，
则
，所以
.
（2）由（1）可知：
，
当
时，则
，
且
符合上式，所以
，
可得
，
设数列
的前n 项和为
，
则
，
所以数列
的前n 项和为
.
4．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
满足
，且对任意的正整数
，当
时，都有
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和
【分析】（1）令
，结合条件化简计算得
，即可证明；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）根据题意，令
，
当
时，
，
，
所以
，
且
，则
，
所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列；
（2）根据（1）可得
，所以
，
则
，
所以
.
5．（25-26 高三下·福建厦门·开学考试）记数列
的前n 项和为
，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前n 项和为
，若
，
，求t 的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
【知识点】裂项相消法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）利用
的关系，可求数列
的通项公式；
（2）由（1）可得
，利用裂项相消法可求
，利用等比数列的前n 项和公式可求得
，可求t 的取值范围．
【详解】（1）因为
，所以
，
当
时，
，所以
，即
，
则
是首项为1，公比为3 的等比数列，
所以
的通项公式为
．
（2）由（1）可得
，
所以
，
因为
，
，
所以t 的取值范围为
．
6．（25-26 高三下·安徽·开学考试）已知等差数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；(2)
【知识点】等差数列前n 项和的基本量计算、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的方程，求解首项和公差即可解题；
（2）由（1）确定
通项公式，通过裂项相消法求和即可.
【详解】（1）数列
为等差数列，设首项为
，公差为
对
恒成立，
必有
，
所以
，解得
所以
即数列
的通项公式为
.
（2）
.
题型四：分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，
分别求和后相加减。
1、整式：
，
2、分段：
.
注意项数的讨论.
1．（2026·广东广州·一模）已知数列
的首项
，且满足
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若数列
的前
项和
小于120，求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【知识点】由递推关系证明等比数列、数列不等式能成立（有解）问题、求等比数列前n 项和、分组（并
项）法求和
【分析】（1）令
，得
，代入已知条件整理即可得证；
（2）根据（1）中结论可得数列
的通项，应用分组求和及等差等比的前n 项和公式求
，利用单
调性及
能成立求参数的最大值.
【详解】（1）令
，则
，于是
，结合已知有
，
所以
，即
．
因为
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列．
即数列
为等比数列．
（2）由（1）知，
，则
，
则
，
令
，整理得
，而
在
上单调递增，
且
，
所以
，
的最大值为
．
2．（2026·陕西商洛·三模）已知等差数列
的前
项和为
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
.
【答案】(1)
；(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用定义求等差数列通项公式
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
由题意知
，解得
，
所以
.
（2）由（1）知
，
则
，
所以
.
3．（25-26 高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n 项和为
，数列{bn}满足
(1)求数列
的通项公式;
(2)若数列
满足
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
，
；(2)
【知识点】分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n 项和、利用an 与sn 关系求
通项或项
【分析】（1）根据
的关系求
的通项公式；根据题意得到
为等比数列，根据等比数列通项
公式求出
，进而求出数列
的通项公式;
（2）分
为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，满足上式，
所以
；
由
得
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，所以
；
（2）当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
所以
4．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列
满足
．数列
的各项均为正数，
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；
；(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、分组
（并项）法求和
【分析】（1）利用等差数列的等差中项性质，结合已知条件建立方程求解基本量和公差，再利用因式分
解处理数列递推关系，根据正项数列确定等比关系，从而得到
通项公式；
（2）数列按奇偶项分组求和，奇数项直接利用等比数列求和，偶数项通过裂项相消法化简求和，最终将
两部分相加得到前
项和.
【详解】（1）
是等差数列，由等差中项性质得：
，得
，
又
，所以
，公差
，
所以
；
，
因为数列
各项为正数，
，故
，
即
是首项
、公比为
的等比数列，则通项公式：
；
（2）由
的定义，前
项和可分为奇数项和与偶数项和两部分：
设奇数
项和为
，设偶数
项和为
，
，
为奇数时
，奇数项为
，是首项为
、公比为
的等比数列，
共
项，故
，
为偶数时，设
，则：
，
裂项相消求和：
，
所以
.
5．（2026·陕西商洛·二模）已知等差数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
是首项为2，公比为3 的等比数列，求数列
的前
项和．
【答案】(1)
；(2)
【知识点】求等比数列前n 项和、求等差数列前n 项和、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本
量计算
【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求首项、公差即可得解；
（2）根据等差数列、等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
即
解得
所以
（2）因为数列
是首项为2，公比为3 的等比数列，则
，
又因为
，所以
.
设数列
的前
项和为
，
则
.
6．（2026·黑龙江·一模）数列
是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为
，满足____．数列
满
足
，且
．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.
①
，
；
②
，
，
，
成等差数列；
③
，
；
(1)分别求出数列
与
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前10 项和
．
（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
【答案】(1)选择任一条件都有
，
；(2)
【知识点】求等比数列前n 项和、利用定义求等差数列通项公式、分组（并项）法求和、写出等比数列的
通项公式
【分析】（1）选择条件①，②，③，利用等比数列通项，结合已知求出数列
的基本量，进而求
出通项公式.
（2）利用分组求和法，结合等差等比数列前n 项和公式求出
.
【详解】（1）若选①，设
的公比为
，则
，且
，
解得
，
，因此
，
由
，得
，而
，
则数列
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
．
若选②，设
的公比为
，由
成等差数列，得
，解得
，因此
由
，得
，而
，
则数列
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
．
若选③，设
的公比为
，则
，解得
，因此
，
由
，得
，而
，
则数列
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
．
（2）数列
满足
，则
，
所以
．
题型五：绝对值求和法
对等差数列{an}，求{|an|}的前n 项和的题型，常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负，
或先求出an，解an≥0 的n 的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负．
若前k 项为负，从k＋1 项开始以后的项非负，则{|an|}的前n 项和Tn＝若前k 项为正，以后各项非
正，则Tn＝
求数列{|an|}的前n 项和一般步骤
第一步：求数列{an}的前n 项和；
第二步：令an≤0(或an≥0)确定分类标准；
第三步：分两类分别求前n 项和；
第四步：用分段函数形式表示结论；
第五步：反思回顾，即查看{|an|}的前n 项和与{an}的前n 项和的关系，以防求错结果．
1．（25-26 高三上·山西临汾·期末）已知数列
满足
，
，数列
为等差数列，
为
与
的等差中项，且
.
(1)求证：数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析，
；(2)
【知识点】含绝对值的等差数列前n 项和、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列
【分析】（1）由题意可得
，可得数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，进而可求数
列
的通项公式；
（2）设数列
公差为
，利用已知求得数列
的通项公式.法一：当
时，
，当
时，
，进而计算可求得
.法二：记数列
前
项和为
，利用等差数列的前
项
和公式求得
，结合
，可求
.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，
又因为
，所以
，即
.
所以，数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列.
则
，所以
.
（2）设数列
公差为
，
由（1）知
，
，
因为
为
与
的等差中项，所以
，
又因为
，则
.
所以
.
解法一：
当
时，
，
当
时，
，
.
综上，数列
的前
项和
.
解法二：
记数列
前
项和为
，则
.
又因为
，
当
时，
.
当
时，
.
综上，数列
的前
项和
2．（25-26 高三上·河南信阳·期末）设数列
是等差数列，
是等比数列.已知
，
，
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项的和
.
【答案】(1)
，
；(2)
.
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n 项和、分组（并项）法求和、等差
数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）根据给定条件，建立关于公差、公比的方程组求解.
（2）由（1）求出
，再按
分段，利用等差数列前n 项和公式求解.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，
，
由
，得
，解得
，
所以
的通项公式为
，
的通项公式为
.
（2）由（1）得
，则
当
时，
；
当
时，
，
所以
.
3．（25-26 高三上·宁夏·月考）已知数列
满足，
，
，若
．
(1)求证：
是等差数列；
(2)求
的前
项和
的最小值；
(3)求
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析；(2)
；(3)
【知识点】求等差数列前n 项和的最值、含绝对值的等差数列前n 项和、由递推关系证明数列是等差数列
【分析】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出
即可得解；
（2）根据等差数列求和公式可得
，再根据
的符号分析
的最值；
（3）结合（2）的
及
的符号，按照
和
分情况讨论求出即可.
【详解】（1）因为
，所以
，即
，
所以
，又
，
所以
是以
为首项，2 为公差的等差数列.
（2）由（1）知
，
所以
，
令
，解得
，
可知当
时，
；当
时，
，
所以
的最小值为
.
（3）因为
，
，
当
时，
；当
时，
，
所以当
时，
；
当
时，
.
综上，
.
4．（25-26 高三上·河北·月考）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；(2)
【知识点】构造法求数列通项、利用an 与sn 关系求通项或项、含绝对值的等差数列前n 项和
【分析】（1）首先利用数列
与
的关系式，转化为数列
的递推关系式，再通过构造求数列的通项
公式；
（2）由（1）可知
，分
和
两段，集合数列
的特征，和数列的前
项和，
分别求数列
的和.
【详解】（1）由
可得
，
两式相减，得
，即
，
当
时，
，则
．
当
时，
，即
，
于是由递推关系得
，得
，
而
，满足上式，
故数列
的通项公式为
．
（2）由
得，
当
时，
，则
，
所以
；
当
时，
，注意到
，
故
．
综上，
．
5．（24-25 高三上·重庆·月考）已知等差数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
或
；(2)答案见解析.
【知识点】等差数列前n 项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n 项和、等差数列通项公式的基本量
计算
【分析】（1）设
首项为
，公差为
，然后由题意及等差数列通项公式及前n 项和公式可得答案.
（2）由（1），易得
时，
；当
，由
正负性结合
表达式可得答案.
【详解】（1）设
首项为
，公差为
，因
，
则
或
.
则
或
；
（2）当
时，
；
当
时，注意到
时，
，
则此时
；
当
时，
，
则
.
综上，当
时，
当
时，
.
题型六：倒序相加法
如果一个数列
的前
项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，就是将一
个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到
个(a1+an)，如等差数列的前
项和
公式即是用此法推导的.
1．（23-24 高二下·四川成都·月考）已知数列
满足：
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、倒序相加法求和、由递推关系式求通项公式
【分析】（1）根据题意，当
时，可得
，两式相减，求得
，再由
，得到
，即可求得数列
的通项公式.
（2）由（1）得
，结合指数幂的运算法则，即可求得
的值；.
（3）由（2）知
，结合倒序相加法，即可求解.
【详解】（1）由数列
满足：
，
当
时，可得
，
两式相减，可得
，所以
，
当
，可得
，所以
，适合上式，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由数列
满足
，
则
.
（3）由（2）知
，
可得
，
则
，
两式相加可得
，所以
.
2．（25-26 高三上·天津和平·月考）已知数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)已知
为正整数，设
，求
．
【答案】(1)
；(2)当
时，
；当
时，
(3)
【知识点】含绝对值的等差数列前n 项和、利用an 与sn 关系求通项或项、倒序相加法求和、错位相减法
求和
【分析】（1）由递推式及
与
的关系，利用
与
作差，得到
（对
），结合首项验证，从而判断数列为等比数列，求得通项公式.
（2）根据对数运算性质，将通项代入
，得
，结合其符号变化点，将前
项
和按
和
分段处理，分别利用等差数列求和公式计算绝对值之和，再合并为统一表达式.
（3）将
代入
，得
，对固定
利用对称配对法求和：将
与
相加得到定值
，进而求得
，再对
从 1 到
求和，通过错位相减法将其化简为关于
的表达式，最后整理为最简有理分式形式.
【详解】（1）已知
①，则
②，
①②得：
，
即数列
为等比数列，公比
，
，
当
时，
，故数列
的通项公式为
.
（2）已知
，由（1）得
，
代入得：
，
当
时，
当
时，
.
（3）已知
，由（1）得
，
代入得
，
，
，
注意到
，
，
令
，则
，
，
得：
，
化简计算得：
，
整理得
，
得到
，
故
.
3．（25-26 高三上·河南·开学考试）已知函数
．
(1)若
为奇函数，求a；
(2)求
．
【答案】(1)
；(2)
【知识点】倒序相加法求和、由奇偶性求参数
【分析】（1）利用
可求
的值，再验证此时
为奇函数.
（2）先根据函数的奇偶性探索得到
，再利用倒序相加法求
的值.
【详解】（1）显然
的定义域为
，又
为奇函数，
所以
，即
，
解得
.此时
，
因
，
即
，
为
上的奇函数，故
为所求．
（2）由（1）知
．
又
，所以
，
即
．
设
，则
，
又
，
两式左、右两边分别相加，得
，
所以
．
题型七：并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两项结合求解，称为并项求和.
通项特征：
.
注意项数的奇偶讨论.
1．（25-26 高三上·江苏盐城·期末）设等差数列
的前
项和为
，已知
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；(2)
【知识点】等差数列前n 项和的基本量计算、求等差数列前n 项和、分组（并项）法求和、等差数列通项
公式的基本量计算
【分析】（1）设出等差数列的首项与公差，根据已知条件列方程组求解即可得通项公式；（2）首先写出
数列
的通项公式，得到
的表达式，分组求和即可.
【详解】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，
由
得
，解得
，
所以
，
即数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知
，所以
，
因为
，
所以数列
的前
项和
2．（2026·河北保定·一模）已知等差数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
满足
，求
的前2n 项和
及其最小值．
【答案】(1)
；(2)
，最小值为9
【知识点】求等比数列前n 项和、求等差数列前n 项和、等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）
法求和
【分析】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解；
（2）由分组求和法和并项求和法求出
，再利用其单调性即可得出最小值.
【详解】（1）设
的公差为d，因为
，
所以
，整理得
，
所以
，解得
，
故
的通项公式为
．
（2）由（1）
，
则
易得
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
所以当
时，
取得最小值，最小值为
．
3．（25-26 高三上·山东潍坊·期末）已知数列
满足：
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
【答案】(1)
；(2)
.
【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、求等差数列前n 项和
【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列定义求出通项公式.
（2）由（1）求出
，再利用并项求和法求解即可.
【详解】（1）在数列
中，由
，得
，
，而
，则
，
因此数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
，
所以数列
的通项公式是
.
（2）由（1）得
，
，
因此
，
所以数列
的前
项和
.
4．（25-26 高三上·河北沧州·月考）已知
为数列
的前
项和，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；(2)
【知识点】求等比数列前n 项和、利用an 与sn 关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、分组
（并项）法求和
【分析】（1）由
计算得出数列
是等差数列，再应用等差数列通项公式计算求解；
（2）根据分组求和结合等比数列求和公式计算求解.
【详解】（1）由题可得
①，
所以
②，
②－①得
③，
所以
④，
④－③得
，所以
，
所以数列
是等差数列．
当
时，由
，解得
，
又
，故数列
的公差为1，
所以
．
（2）因为
，
所以
．
5．（25-26 高三上·天津西青·月考）已知数列
是公差为2 的等差数列，其前8 项的和为64.数列
是
公比大于0 的等比数列，
，
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，
，求数列
的前
项和
；
(3)记
，
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式
的基本量计算
【分析】（1）设等差数列的首项为
，利用等差数列的前
项和公式求出
，进而求出等差数列的通项公
式；设等比数列的公比为
，利用通项公式和已知条件求出
，进而求出等比数列的通项公式；
（2）先求出
，再利用分组求和法进行求解：
（3）先得到
，再利用裂项抵消法进行求和.
【详解】（1）因为
是公差为2 的等差数列，且
，
所以
，解得
，
所以
；
设等比数列
的公比为
，
因为
，
，
所以
，即
，
解得
（舍去）或
，
所以
.
（2）由（1）得
，
则
则
（3）由（1）得
，
则
题型八：数列证明问题
结合数列性质，通过放缩、归纳等方法进行证明.
1．（25-26 高三下·重庆·月考）已知数列
满足
.
(1)数列
能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由；
(2)证明:
.
【答案】(1)当
时，此时
为常数列且
；(2)证明见解析
【知识点】由递推关系式求通项公式、数列不等式恒成立问题、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】（1）根据
可求
的值，从而得到相应的常数列及对应的通项；
（2）根据题设中的递推关系和分子有理化可证题设中的不等式.
【详解】（1）若
为常数列，则
，其中
，
故
，故
（舍）或
，
而当
时，
，此时
为常数列且
.
（2）因为
，所以
，
又因为
，故
，而
，故
，
所以
，所以
，
又
，所以
.
2．（2026·天津·一模）已知
是等差数列，
是等比数列.
.
(1)求
和
的通项公式：
(2)若
，记由
的所有可能取值组成集合
.
（i）求集合
中的最大元素；
（ii）已知
为给定的大于1 的自然数，求证：当
时，
，并求集合
中所有大于0 的元素
之和.
【答案】(1)
；(2)（i）
；（ii）证明见解析，
.
【知识点】定义法求数列通项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）设等差数列公差、等比数列公比，列方程组，求解公比和公差，得出两数列通项公式.
（2）(i) 要使
取最大值 ，需每一项
(因
，正项和最大)，构造该和式，采用错位相减
法消去等比项，化简计算后，得出集合
中的最大元素.
(ii)先证明
时和为正，通过放缩与前
项和对比得出；再证
) 时和必为负，进而得和为
正的充要条件，接着证明正元素个数为
且互不相同,最后利用前
项正负抵消的性质，计算所有
大于 0 的元素之和.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，由
，
得：
，即
，
所以
，解得：
或
（舍），
，
从而，
；
（2）（i）当
时，
取最大值，
此时，
①，
②，
①-②得：
，
故
，即集合
中的最大元素为
；
（ii）首先证明，当
，即
时，
，
当
时，
，
由（i）可知
，
所以，
，
反之，若
，则必有
，否则若
，则
，
故当且仅当
时，
，
再证明集合
中有
个大于0 的元素，
首先，当
，即
时，对于任意
，
都有
和
两种可能，故
有
种不同形式，
下面证明这
种不同形式的结果互不相同，
任取其中的两种不同形式，记为
，
，
因为
为两种不同形式，则必存在
，使得
，
将其中最大的
记为
，不妨设
，
若
，则显然
，
若
，则
，
故
，因此集合
中有
个大于0 的元素，
将这
个元素记为
，其中给定
，
满足
的元素个数为
个，满足
的元素个数也为
，
因此
，
所以集合
中所有大于0 的元素之和为
.
3．（2026·湖北孝感·二模）已知数列
的前
项和为
，若对任意
，向量
，
，有
．数列
满足
，其前
项和为
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n 项和、数列不等式恒成立问题、利用an 与sn 关系求通
项或项
【分析】（1）根据题意可得
，利用
与
关系即可求出数列
的通项公式；
（2）分
为偶数及
为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得.
【详解】（1）因为
，即：
．①
当
时，
，
又
，所以
．
当
时，
，②
由①－②整理得：
．
整理得
，
由累乘法得：
，
代入比值：
，
当
时，
，符合上式，
所以数列
的通项公式为
．
（2）当
为偶数时，
，
所以
，
为偶数
，
由
恒成立，得
，
是偶数，当
时，
有最小值
，所以
；
当
为奇数时，
为偶数，
，
所以
，
为奇数，
由
恒成立，得
，
又
在
上单调递增，
所以当
时，
有最小值1，所以
．
综上，实数
的取值范围是
4．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列
中，记
，若
为等差数列，则称
为二阶等差
数列．
(1)若
，判断
是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列
满足
，
，
．
①求数列
的通项公式；
②若不等式
对
恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)是，理由见解析；(2)①
；②
.
【知识点】数列新定义、数列不等式恒成立问题、累加法求数列通项、判断等差数列
【分析】（1）求出数列
的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可；
（2）①求出等差数列
的通项公式，再利用累加法可求得数列
的通项公式；
②由
可得
，令
，分析数列
的单调性，求出该数列最大项的值，即可得
出实数
的取值范围.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，故数列
为等差数列，
故数列
为二阶等差数列.
（2）①根据题意可得
，
，
因为数列
为等差数列，故数列
的公差为
,
所以等差数列
的首项为
，故
，
所以
，
当
时，
，
，
，
，
上述等式相加得
，
故
，
也满足
，故对任意的
，
；
②由题意可知
，
，即
，可得
，
令
，则
，
当
且
时，
，可得
；
当
时，
；
当
且
时，
，可得
，
所以数列
的最大项为
，故
，
所以实数
的取值范围是
.
5．（2026·山西运城·一模）设正项数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
的通项公式;
(2)若
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【知识点】求等比数列前n 项和、利用定义求等差数列通项公式、数列不等式恒成立问题、利用an 与sn
关系求通项或项
【分析】（1）利用
的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n 项和公式求得
，即可证明.
【详解】（1）依题意，当
时，
，
，则
；
当
时，
，
，两式相减，
整理可得
，又
为正项数列，故
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
.
（2）证明：由（1）可知
，所以
，显然
，
当
，则
，即
，
此时
，
综上，
成立.
题型九：数列新定义问题
准确把握定义概念，结合数列性质进行求解.
1．（2026·广西崇左·一模）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有
（
），则称数
列
为
阶跳跃等差数列.
(1)已知数列
为1 阶跳跃等差数列，且
，
，
.
（i）求
，
；
（ii）求
的前n 项和
.
(2)已知数列
为
阶跳跃等差数列，且
，
，
，从
的前
（
）
项中任选1 项，记该项大于
的概率为
，证明：
.
【答案】(1)（i）
；（ii）
；(2)证明见解析
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、计算古典概型问题的概率、数列新定义
【分析】（1）（i）明确数列的递推公式，根据递推公式求数列的项；
（ii）分
为奇数和偶数讨论，分别求奇数项的和与偶数项的和即可.
（2）先确定数列
的通项公式，再利用错位相减法求和，即可证明所给不等式.
【详解】（1）（i）由
为1 阶跳跃等差数列，得
，
则
，
，
.
（ii）当
为偶数时，设
（
），前
项包含
个奇数项和
个偶数项.
奇数项和
，
偶数项和
，
所以
，则
.
当n 为奇数时，
.
综上，
.
（2）因为数列
为k 阶跳跃等差数列，且
，所以
.
因为
，
，
所以
，
，
，
，
当
时，
.
设
（
），则
，则
单调递增，
则
，则
，
所以
的前
（
）项中不大于
的项数为
，则
，
则
.
设
，
则
，
则
，
所以
，
所以
.
因为
，所以
.
2．（25-26 高三下·北京·月考）无穷数列
满足：
为正整数，且对任意正整数
，记
，
（定义
为集合A 中的元素个数）．
(1)若
，请写出数列
的前
项；
(2)求证：对于任意正整数
，必存在
，使得
；
(3)求证：“
”是“存在
，当
时，恒有
成立”的充要条件．
【答案】(1)
；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、
数列新定义
【详解】（1）
.
（2）假设存在正整数
，使得对任意的
，
.
由题意，
，考虑数列
的前
项：
其中至少有
项的取值相同，
不妨设
此时有：
矛盾.
故对于任意的正整数
，必存在
，使得
.
（3）当
时，数列
为
.
特别地，
，
，故对任意的
：
若
为偶数，则
；
若
为奇数，则
.
综上，
恒成立，特别地，取
，有当
时，恒有
成立.
假设存在
，使得“存在
，
当
时，恒有
成立”，则数列
的前
项为：
后面的项顺次为：
对任意的
，总存在
，使得
，
，这与
矛盾，
故若存在
，当
时，恒有
成立，必有
.
综上，“
”是“存在
，当
时，恒有
成立”的充要条件.
3．（2026·安徽滁州·一模）在数列
中，
，若存在自然数
，使得对于任意正整数n，数列
是以
为公差的等差数列，则称
为“
组差数列”．
(1)若
，判断
是不是“
组差数列”，并说明理由．
(2)若
是“
组差数列，且
为定值，证明：
．
(3)记
的前n 项和为
，且
为“
组差数列”，证明：存在常数C，使得
恒
成立．
【答案】(1)是，理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【知识点】数列新定义、判断等差数列、错位相减法求和
【分析】（1）由
可得
，当
时，可得
，进而结合题设定义即可判
断；
（2）由题意可得
，设
，可得
，进而得到
，进而得
到数列
是等差数列，且公差为3，即可求出
，再利用错位相减法求证即可；
（3）令
，由题意可得
，即存在非负整数
和整数
，使得
，此时
，设
这
项中的最小值为
，进而得到
，进而求证即可.
【详解】（1）
是“
组差数列”，理由如下：
由
，得
，
当
时，
，则
，
所以
，
则数列
是以2 为公差的等差数列，且
，
故
是“
组差数列”.
（2）因为
是“
组差数列，
所以数列
是以18 为公差的等差数列，
则
，
又
为定值，所以可设
，则
，
所以
，
所以数列
是等差数列，且公差为
，
则
，
设
，
则
，
两式相减得，
，
所以
，即
.
（3）因为
为“
组差数列”，
所以数列
是以
为公差的等差数列，
则
，
令
，则
，
对于任意正整数n，均存在非负整数
和整数
，使得
，
此时
，
设
这
项中的最小值为
，
因为
，所以
，
从而
，
则
，
令
，由
对任意的实数
均成立，则
.
4．（2026·广东汕头·一模）设各项为整数的等差数列
，
，…，
的公差
，首项
．已知从中
能抽取
个项并按原顺序排成公比为q 的等比数列
，
，…，
，其中
，
．
(1)若从等差数列1，3，5，…，
中能抽取3 个项并按原顺序排成等比数列，求
的最小值；
(2)求证：
；
(3)请举出一个满足
的例子．
【答案】(1) ；(2)证明过程见详解；(3)如：首项为1，公差为1 的等差数列.
【知识点】数列新定义
【分析】（1）利用假设的方法，由已知条件，构造关于
不等式，进而求出最小值；
（2）将等比数列通项代入等差数列通项，再利用下标差性质寻找不等式，最后通过累加法得证；
（3）选取首项为1，公差为1 的等差数列，通过验证说明其正确性即可.
【详解】（1）设抽取的三个项为
，
，
，三数成等比，
故
，整理得：
由
，
当
取最小值
时，
，此时
，故
，
且
可构成公比为的等比数列，满足条件，因此
的最小值为.
（2）证明：等差数列通项为
，抽取的等比数列首项为
，
故第项为
，代入等差数列通项得：
，
由
，得
（因
），且
为整数，故
.
对任意
，两项下标差满足：
，
累加得：
，
因
，故
，得证.
（3）取首项
，公差
的等差数列，
，
即等差数列为
；抽取下标为
的项，得到
项
，
这是公比为
的等比数列，满足所有条件，此时
，符合要求.
5．（2026·天津和平·一模）已知
，等比数列
的前
项和为
，正项等差数列
的首
项为5，且
成等比数列．
(1)求数列
与数列
的通项公式：
(2)设
，
，
．求证：若
，满足
，且有序实数
对
，则
．
(3)设
，求集合
的所有元素之和
．
【答案】(1)
，
；(2)证明见解析；(3)
【知识点】错位相减法求和、数列新定义、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式
【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项.
（2）结合（1）的结论，先明确
和
的表达式，再利用反证法进行证明.
（3）先分析集合
中元素的特征，表示出元素和
.
方法一：利用错位相减求和法求和；
方法二：先化简得
，利用错位相减求和法求
，利用公式法求
，即可得
.
【详解】（1）设等比数列公比为
，故
．
设等差数列公差为
，
由已知有
，
解得
，即
，
则
或
（舍），
则
.
（2）不妨先设
，
，
可知
时也成立，
假设
，即
成立，
若
，不妨设
，
则
等价于
，
因等式左侧不是3 的倍数，等式右侧为3 的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾，
所以假设不成立，此时
．同理
时，
；
若
，则
，不妨设
，
因为
，
故
．同理
时，
．
综上当
时，
．
（3）先证取不同的
的值各不相同，不妨设
，
所以
，
而
，
所以
，
由（2）可知，对不同的
取值，
均不相同．
故
．
考虑
中含有
个
个
个
，
因此
．
法（一）
，
两式相减得：
，
所以，
．
法（二）
，
设
，
，
两式作差，
，
所以，
，又
，
所以，
.
题型十：数列与其他知识的结合问题
1．（2026·河北邢台·一模）社区公益募捐设置“爱心抽卡”环节，由甲、乙两位市民参与，规则如下：现
有编号为1~8 的8 张公益卡，公益卡除编号不同外，其余都相同．第一阶段先由甲从这8 张公益卡中随机
抽取1 张，若甲抽到的公益卡编号为1，则甲获得公益纪念徽章，抽卡结束；若甲抽到其他编号（记为
）的公益卡，则甲将此卡放回，并从乙开始两人轮流有放回地进行第二阶段的抽卡（每次抽取1 张），直
至一人抽到编号为
或1 的公益卡时结束．若在第二阶段抽卡中有一人抽到的公益卡编号为
，则甲获得
公益纪念徽章；有一人抽到的公益卡编号为1，则乙获得公益纪念徽章．设在进入第二阶段抽卡的情况下，
甲获得公益纪念徽章的概率为
，乙获得公益纪念徽章的概率为
．
(1)求
的值；
(2)求甲获得公益纪念徽章的概率；
(3)若该环节甲获得公益纪念徽章，则甲捐180 元作为爱心捐助，乙捐60 元作为爱心捐助；若该环节乙获得
公益纪念徽章，则甲捐100 元作为爱心捐助，乙捐188 元作为爱心捐助．求该环节甲、乙捐的款额之和
的数学期望．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、数列求和的其他方法
【分析】（1）分别分析进入第二阶段后，每一轮甲获胜的概率，再通过无穷等比数列求和即可解题；
（2）由互斥事件和事件概率公式即可求解；
（3）通过（2）确定X 取每一值时的概率，结合期望计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意：进入第二阶段后，每次抽卡：抽到1（乙获胜）概率为
，抽到
（甲获胜）概率
为
，
抽到其他卡（继续抽卡）概率为
，
甲获胜的情况是：
第一轮乙抽到
或乙抽到其它卡，甲抽到
，
第一轮都未抽到
，第二轮乙抽到
或乙抽到其它卡，甲抽到
，
前两轮都未抽到
，第三轮乙抽到
或乙抽到其它卡，甲抽到
，
故甲获胜概率：
可表示为无穷等比数列和：
，
又甲获胜和乙获胜为对立事件，
故乙获胜概率
；
（2）甲获胜分两类： ① 第一阶段直接抽到1，概率
；
② 第一阶段未抽到1（概率
），进入第二阶段后甲获胜（概率
）；
故甲获得公益纪念徽章的概率
；
（3）由题意甲获胜时，
，此时概率为
；
乙获胜时，
，此时概率
；
故
.
2．（25-26 高三上·湖北恩施·开学考试）如图，正方形ABCD 的边长为
，取正方形ABCD 各边的中点E，
F，G，H，作第2 个正方形EFGH，其边长记为
；然后再取正方形EFGH 各边的中点I，J，K，L，作第
3 个正方形IJKL，其边长记为
；依此方法一直继续下去，则记第
个正方形的边长为
.已知
，
.
(1)求
，
；
(2)记第n 个正方形区域未被第
个正方形区域覆盖的面积为
，求使得
成立的n 的
最小值.
【答案】(1)
，
；(2)
【知识点】根据数列的单调性求参数、数列求和的其他方法、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比
数列
【分析】（1）先根据条件列出
的递推公式，判断数列
是等比数列，根据等比数列的通项公式得
到
，进而可得
.
（2）先用累加法得到
，列出不等式，设
，利用数列的单调性解不等式即
可.
【详解】（1）由题意，
，即
，
所以
为等比数列，公比为
，
，所以
.
所以
，
，
.
（2）由题意，
，
，
，
设
，则
为单调递减数列，
且
，
又
，所以
.
的最小值是5.
3．（25-26 高三上·甘肃·月考）已知函数
.
(1)证明：
为定值；
(2)若数列
的通项公式为
，求数列
的前
项和
；
(3)若数列
的通项公式为
，记
.若（2）中的
满足
，求
及
的最大值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
；(3)
；7.
【知识点】确定数列中的最大（小）项、裂项相消法求和、倒序相加法求和
【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得；
（2）由（1）推得
，求得
，再利用倒序相加法即可求得
；
（3）利用裂项相消法求出
，由
判断
为递增数列，可得
的最小值为
，
结合
解不等式即得
的最大值.
【详解】（1）由
，得
，
所以
，
即
为定值1.
（2）由（1）知
，所以
，
即
，
依题意得
，又
，
所以
，
，
两式相加，得
，
所以
.
（3）因为
， 所以
，
所以
，
因为
，所以数列
为递增数列，
所以
的最小值为
，
因为
恒成立，则
，解得
，
所以正整数
的最大值为7.
4．（25-26 高二上·江苏苏州·月考）已知函数
，数列
满足
.
(1)求证：
为定值，并求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)证明见解析，
；(2)证明见解析
【知识点】裂项相消法求和、倒序相加法求和
【分析】（1）计算
为定值2，用倒序相加法求得
通项公式；
（2）由（1）得到
，裂项相消求和得
，进而结合单调性证明不等式即可.
【详解】（1）由题意得
，
则
，
得到
，
两式相加得
，即
.
（2）由题意得
，
则
，
而
，而
，可得当
时，
，
令
，因为反比例函数
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，故
得证.
5．（25-26 高三上·上海·期中）2025 年6 月底，某厂的废水池已储存废水75 吨，以后每月新产生的6 吨废
水也存入废水池．该厂2025 年7 月开始对废水处理后进行排放，7 月底排放4 吨处理后的废水，计划以后
每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1 吨．
(1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？
(2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026 年1 月开始对
废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5 吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年
的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？
【答案】(1)2026 年9 月；(2)2026 年的11 月
【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n 项和、数列-其他模型、求等差数列前n 项和
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可；
（2）设从2025 年7 月起第
个月深度净化的废水量为
，由已知条件，
，当
时，
数列
是首项为5，公比为1.2 的等比数列，而从2025 年7 月起第
个月废水存量为：
，再结合等比数列的前
项和公式求解．
【详解】（1）设从2025 年7 月起第
个月处理后的废水排放量为
，
则数列
是首项为4，公差为1 的等差数列，
所以
，
令
，整理得
，
解得
或
，
又因为
是正整数，则
，
当
时，处理后的废水排放量大于新产生的6 吨废水，所以不会有废水存积.
故该厂在2026 年9 月底第一次将废水池中的废水排放完毕；
（2）设从2025 年7 月起第
个月深度净化的废水量为
吨，
由已知条件，
，
当
时，数列
是首项为5，公比为1.2 的等比数列，
则数列
的前
项和
，
而从2025 年7 月起第
个月废水存量为：
，
当
时，
，
当
时，
，
所以2026 年的11 月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化．
6．（2026 高三上·贵州贵阳·专题练习）有两杯盐水，第一杯中有浓度为15%的盐水36 克，第二杯中有浓
度20%的盐水24 克.先将6 克第一杯中溶液倒入第二杯中摇匀，再将6 克第二杯中溶液倒入第一杯中摇匀，
这样算一次操作.反复操作
次后，第一杯盐水的浓度为
，第二杯盐水的浓度为
.
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式.
【答案】(1)
，
；(2)
，
【知识点】数列-浓度匹配、求等比数列前n 项和、由递推关系式求通项公式、根据数列递推公式写出数列
的项
【分析】（1）根据每次操作后盐的含量变化即可求出
的值.
（2）根据每次操作后盐的含量变化确定数列的递推关系，进而求出数列的通项公式.
【详解】（1）设
，
由题意，
，
，
.
（2）由题意知，
，
令
，则
.
又
，
所以
，所以
.
所以
，
则
，
，
，
由累加法可得，
，
所以
.
综上，
，
.
1．（2026·山东聊城·一模）已知数列
满足
.
(1)求
的前n 项和
；
(2)记数列
的前n 项和为
，若
．
（i）证明数列
为等差数列，并求出
的通项公式；
（ii）求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
；(2)（i）证明见解析，
；（ii）
【知识点】求等差数列前n 项和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）分
、
两种情况结合等差数列的求和公式求解即可；
（2）（i）结合题设及
与
的关系可得
，即可求证，再求解通项公式即可；
（ii）先得到
，再结合分组求和、裂项相消法求解即可.
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
，
显然
满足上式，则
.
（2）（i）由
，
当
时，
，即
；
当
时，
，则
，
即
，则
，即
，
所以数列
是以
为首项，以2 为公差的等差数列，
则
，即
.
由（1）知，
，
由（i）知，
，
则
，
所以
.
2．（2026·广西北海·一模）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
，数列
的
前n 项和为
，满足
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
，
；(2)
【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、利用an 与sn 关系
求通项或项
【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的等式，求出首项、公差即可求解
；由
的关系，通过作差可求
通项公式；
（2）通过分组求和，分别利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，
由
得：
，化简得
；
由
得：
，化简得
，
联立方程解得：
，
，
因此等差数列通项为：
，
对于数列
，已知
，
当
时，
，得
；
当
时，
，两式相减得：
，
即
，
因此
是首项为、公比为
的等比数列，
通项为：
；
（2）由
，
可得：
，
又
，
得：
，
又
，
这是首项为
、公比为
的等比数列，
则
所以
.
3．（25-26 高三上·福建龙岩·月考）已知数列
满足
，设数列
的前
项和
为
，
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前100 项和；
(3)求数列
的前20 项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
；(3)
【知识点】分组（并项）法求和、含绝对值的等差数列前n 项和、由递推关系证明数列是等差数列
【分析】（1）构造数列
，知其前
项和求通项
，进而再求出
；
（2）根据题意，两项并一项，并项为常数列求和；
（3）分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出.
【详解】（1）由
，
设
，则
，
所以当
时，
，
两式相减得，
，
当
时，
也适合上式.
则
，解得，
，
所以
，故数列
是以为首项，
为公差的等差数列.
（2）数列
的前
项和
.
（3）由（1）可知
，
则
前
项和为
.
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列
的前n 项和为
，已知
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前n 项和
；
(3)记
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
.
【知识点】含绝对值的等差数列前n 项和、利用定义求等差数列通项公式、利用an 与sn 关系求通项或项、
裂项相消法求和
【分析】（1）将题干式子变形得
，利用
与
的关系化简可得
，根据等差数
列通项公式计算即可；
（2）求得
的通项公式，分类讨论求和即可；
（3）由题意得
，利用裂项相消求和即可.
【详解】（1）
，得
，
当
时，有
，
得
，
化简可得
，
因为
，所以
，所以
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
；
（2）由（1）可得
，
当
时，
，
当
时，
，
综上，
；
（3）由（1）可得
，
则
.
5．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知函数
的图象关于点
对称，数列
满足
.
(1)求实数a 的值；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
；(2)
.
【知识点】裂项相消法求和、由函数对称性求函数值或参数、求正弦（型）函数的奇偶性、倒序相加法求
和
【分析】（1）根据给定条件，利用函数图象的对称性列式求出
值.
（2）由（1）中信息，利用倒序相加法求出
，进而求出
，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由函数
的图象关于点
对称，得
，
则
，即
，
因此
，所以
.
（2）由（1）知
，而当
时，
，
则
，
于是
，当
时，
，即
，满足上式，因此
，
，
所以
.
6．（2025·广东广州·一模）已知数列
的前n 项和为
，且满足
，又知
，
．
(1)求
，
；
(2)求
的通项公式；
(3)
，求
的前n 项和
．
【答案】(1)
，
；(2)
；(3)
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项、分组（并项）法求和、错位相减法求和、等差数列通项公式的
基本量计算
【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解；
（2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解；
（3）先求出
的通项公式，再根据
的性质，分奇、偶数讨论求解．
【详解】（1）
，
，
，
，解得
，故
；
同理
，解得
，
．
（2）
①，
时，
②，
式①减②得，
，
又
符合上式，
数列
的奇、偶项分别成等差数列，
当
时，首项
，公差
，
则
，
当
时，首项
，公差
，
则
，
综上，
．
（3）
，
i）当
时，
，
ii）当
时，则
，
，
综上，
．
