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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（上海卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．若集合 ， 或 ，则 .
2．已知i为虚数单位，复数 ，则 .
3．若函数 的最小正周期是 ，则 的取值可以是 ．（写出一个即可）．
4．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是
16，若 分位数是20，则 .
5．已知 ，则 （结果用数字表示）
6．设等差数列 中， ，前 项和为 ，则 ．
7．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课
程 后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的 ．为使得所记忆的内容不低于原来的 ，最多在
个星期之后对所学内容进行复习，则 ．（ ， ）
8．已知数列 满足 ，点 在双曲线 上，则 ．
9．为增强学生体质，某校在暑假期间组织本校学生开展各项体育比赛，由于工作需要，将10名志愿者分
成4组，每组至少2人，则不同的分组方法种数为 ．
10．用 表示点 与曲线 上任意一点距离的最小值．已知 及 ，设 为 上的动点，则 的最大值为 ．
11．如图，已知三角形 为直角三角形（ 为直角），分别连接点 与线段 的 等分点 ， ，…，
得到 个三角形依次为 ， ，…， ，将 绕看 所在直线旋转一周，记 ， ，…， 旋
转得到的几何体的体积依次为 ， ，…， ，若 ，则三角形 旋转得到的几何体的体积
．
12．经研究发现：任意一个三次多项式函数 的图象都有且只有一个对称中心点
，其中 是 的根， 是 的导数， 是 的导数.若函数
图象的对称中心点为 ，且不等式 对任
意 恒成立，则 的取值范围是 .
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．若a、b、 且 ，则下列不等式中成立的是（ ）．
A． B．
C． （n为自然数） D．
14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，
则下述大小关系正确的为（ ）．A． B． C． D．
15．若直线 是曲线 与曲线 的公切线，则 （ ）
A． B． C．26 D．28
16．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球 .甲、乙两人约定一种游戏规则如下：
第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局
中甲先摸球，记第 局甲获胜的概率为 ，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
，且 ；
①
若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则 不小于1992.
② A． 都是真命题 B． 是真命题， 是假命题
C．①是②假命题， 是真命题 D．① 都是假命②题
三、解答①题（本大题共②5题，共14+14+14+18①+1②8=78分）
17．（14分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， ，求 的值.
18．（14分）如图： 平面 ，四边形 为直角梯形， ，(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
19．（14分）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投
诉.某市火车站为了解每年火车的正点率 对每年顾客投诉次数 （单位：次）的影响，对近8年（2015
年~2022年）每年火车正点率 和每年顾客投诉次数 的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
600 592 43837.2 93.8
(1)求 关于 的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为 ，试估算2024年顾客对火车站投诉的
次数；
(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若
从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为 ，求 的分布列和数学期望.
附：经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，20．（18分）已知函数 .
(1) ，求实数 的值；
(2)若 ，且不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ，试利用结论 ，证明：若 ，其中 ，则
.
21．（18分）如图 ，已知椭圆 的方程为 和椭圆 ，其中 分别是椭
圆 的左右顶点．
(1)若 恰好为椭圆 的两个焦点，椭圆 和椭圆 有相同的离心率，求椭圆 的方程；
(2)如图 ，若椭圆 的方程为 . 是椭圆 上一点，射线 分别交椭圆 于 ，连接
（ 均在 轴上方）.求证： 斜率之积 为定值，求出这个定值；(3)在（2）的条件下，若 ，且两条平行线的斜率为 ，求正数 的值．
