文档文本内容
2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（天津卷）01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共45 分）
一、选择题：本题共9 小题，每小题5 分，共45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，则
，故B 正确.故选：B
2．已知
，设命题
，命题
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】取
,满足
,但
，必要性不成立，
由基本不等式得
,由题可知
,则
,解得
,充分性成立，
则
是
的充分不必要条件，故选：A
3．2003 年春季，我国部分地区SARS 流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下
表是某同学记载的5 月1 日至5 月12 日每天北京市SARS 治愈者数据，以及根据这些数据绘制出的散点图
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
人数
100
109
115
118
121
134
141
152
168
175
186
203
下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与
人数具有一次函数关系.其中正确的个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．以上都不对
【答案】B
【解析】由题意，做出散点图如下图所示，
由图可知，日期与人数具有线性相关关系，但不是一次函数关系，
①正确，②错误，故选：B.
4．在下列函数中，为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，函数
的定义域为
，且
，所以
，故函数
不为偶函数；
对于B，函数
的定义域为
，且
，所以
，故函数不为偶函数；
对于C，函数
的定义域为
，且
，所以
，故函数为偶
函数；
对于D，函数
的定义域为
，不关于原点对称，所以函数不为偶函数，故选C.
5．设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
单增，所以
，即
.
因为
单增，所以
，即
.
因为
单减，所以
，即
.
综上所述：
，故选C
6．已知两条不同直线
及平面
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【解析】对于A，
的位置关系有平行、异面或相交，故A 错；
对于B，
与平面
的关系是平行或
，故B 错；
对于C，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故C 正确；
对于D，
与平面
的关系是平行或
，故Ｄ错；故选Ｃ.
7．若函数
的图象向右平移
个长度单位后关于点
对称，则
在
上的最小值为（ ）
A．-1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的图象向右平移
个长度单位可得
，
因为
是此函数的对称中心点，
则
，解得
，
，
又因为
，所以当
时，
，所以
，
因为
，则
，所以
，
所以
在
上的最小值为
.故选：C
8．已知双曲线
的右焦点为
，点
在双曲线的渐近线上，
是腰长为
的等
腰三角形（
为原点），
，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】双曲线
的右焦点为F，点A 在双曲线的渐近线上，腰长为
的等腰三角
形（
为原点），，可得
，即
解得
，双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线方程为：
．
故选C．
9．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面
为梯形，
，侧棱长
.当侧面ABCD
水平放置时，液面与棱
的交点恰为
的中点.当底面
水平放置时，液面高为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】取底面梯形
两腰的中点为
，如下图所示：
由
可得
，
所以四边形
与四边形
的面积之比为
，
即可知容器中水的体积占整个容器体积的
；
当底面
水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的
,
即可得液面高为
，故选C
第二部分（选择题 共105 分）
二、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
10．已知a，
，
，则
.
【答案】6
【解析】
，故
，
，得
，
，所以
.
11．若
的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ．
【答案】28
【解析】因为
的展开式中二项式系数之和为256，
所以
，故
，即该二项式为
设其展开式的通项为
，则
，
当
时，即
，此时该项为
12．抛物线
的焦点F 恰好是圆
的圆心，过点F 且倾斜角为
的直线l 与C 交于
不同的A，B 两点，则
．
【答案】8
【解析】由题意知，焦点
，则抛物线
，
直线
，设
，
，
联立
消去y 并整理得
．则
，
所以
．
13．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项
目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共
有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A 为丙和丁参加的项目不同，事件B
为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则
．
【答案】
【解析】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共
种，
其中甲、乙参加同一项目的方案
种，
则所求的参赛方案一共有
种；
因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，
则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有
种方案，
若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，
故总共有
种不同的方案；
若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2 个人分别选择2 个项目，
故共有
种不同的方案；
同理，乙单独选择跳台滑雪，有
种不同的方案；
乙和一人共同选择跳台滑雪，有
种不同的方案，总共有16 种方案.
所以
.
14．如图，在
中，
，
，
，D 是边
上一点，且
.若
，记
，则
；若点P 满足
与
共线，
，则
的值为 .
【答案】
【解析】
，∴
，∴
，
则
，
又
，∴
，
所以
；
∵
与
共线，∴可设
，
，
∵
，∴
，
∴
=
，
=
，
∴
=
，①
∵
，
∴
，
，
，②
把②代入①并整理得：∴
，
∵
，∴
，∴
，
解得：
，∴
或
，
故
的值为
或
．
15．已知
，设函数
若关于
的方程
恰有两个互异的实数解，
则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】当
时，令
，则
，
因为
为增函数，所以当该方程在
时无实数根时，
，所以
，
①
时，
时有一个解，所以
时，
有一个解，
当
时，
是递减的，
则
，
所以
时有一个解，
即当
时，
恰有两个互异的实数解；
②
时，
在
时无解，
此时
，即
，解得
或
（舍去），
所以方程在
时有1 个解，
即当
时，方程
只有一个实数解，
③
时，
在
时无解，
则
时，
，
所以
，该方程要在
时有2 个不等的实数解，
即函数
在
上有2 个不同的零点，
所以
，解得
，
综上所述，
的范围为
，
三、解答题：本题共5 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14 分）在非等腰
中，
，
，分别是三个内角
，
，
的对边，且
，
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的周长；
(3)求
的值.
【解】（1）在
中，由正弦定理
，
，
，
可得
， …………………………1 分
因为
，所以
，
即
， …………………………3 分
显然
，解得
． …………………………4 分
（2）在
中，由余弦定理
，
得
，解得
或
． …………………………6 分
由已知
，
，互不相等，所以
，
所以
． …………………………8 分
（3）因为
，所以
， …………………………10 分
所以
，
， …………………………12 分
所以
.…………………14 分
17．（本小题满分15 分）已知直三棱柱
中，
，
，
，D,E 分别为
的中点，F 为CD 的中点.
(1)求证：
//平面ABC；
(2)求平面CED 与平面
夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
【解】（1）
在直三棱柱
中，
平面
，且
， …………………………1 分
以点B 为坐标原点，BC，BA，
所在直线分别为x，y，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
.
易知平面ABC 的一个法向量为
， ……………3 分
则
，故
， …………………………4 分
又因为
平面
，故
//平面
…………………………5 分
（2）
，
设平面CED 的法向量为
，则
，
不妨设
， …………………………7 分
因为
，
设平面CED 的法向量为
，则
，
不妨设
…………………………9 分
则
因此，平面CED 与平面
夹角的余弦值为
. …………………………11 分
（3）因为
，根据点到平面的距离公式，
则
…………………………14 分
即点
到平面CED 的距离为
. …………………………15 分
18．（本小题满分15 分）已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
，上、
下顶点分别为
，且四边形
的面积为
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点
，直线
与椭圆C 交于
两点，与y 轴交于点N，若
，
求
面积的取值范围.
【解】（1）由椭圆的离心率为
，
可设
，
，则
， …………………………2 分
四个顶点构成的四边形为菱形，
其面积为
， …………………………4 分
即
，所以椭圆的方程为：
. …………………………5 分
（2）设
，联立直线
与椭圆
，
消去y 可得
，
，
则
，
， …………………………7 分
设PQ 的中点为
，则
，
所以
， …………………………8 分
因为
，所以
，
所以
， …………………………10 分
所以
，即
，
所以
， …………………………11 分
又
，所以
，
又
，故
即
， …………………………14 分
所以
的取值范围是
，
所以
面积的取值范围为
. …………………………15 分
19．（本小题满分15 分）设
是等差数列，其前
项和为
（
），
为等比数列，公比大于
1．已知
，
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求
的前
项和；
(3)设
，求证：
．
【解】（1）依题意设等差数列
的公差为
，
等比数列
的公比为
，
则
，
，
又
，
，
所以
， …………………………3 分
解得
或
（舍去），
所以
，
. …………………………5 分
（2）由（1）可得
…7 分
设
的前
项和为
，
所以
. …………………………9 分
（3）因为
，
所以
， …………………………11 分
所以
， …………………………13 分
所以
. …………………………15 分
20．（本小题满分16 分）设函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设函数
（i）当
时，
取得极值，求
的单调区间；
（ii）若
存在两个极值点
，证明：
.
【解】（1）
，
则
， …………………………2 分
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
； …………………………4 分
（2）（i）
，
， …………………………5 分
∵
时，
取得极值，∴
，解得
， …………………………6 分
∴
，
令
，得
或
；令
，得
，
∴
的单调增区间为
，
，单调减区间为
； …………………………8 分
（ii）
，
∵
存在两个极值点，
∴方程
，即
在
上有两个不等实根.
∵
，解得
， …………………………10 分
则
∴所证不等式
等价于
，
即
， …………………………12 分
不妨设
，即证
，
令
，
，
则
， …………………………14 分
∴
在
上递增，∴
，
∴
成立，
∴
…………………………16 分
