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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（天津卷）01
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共9 小题，每小题5 分，共45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
A
B
C
C
C
C
C
C
第二部分（选择题 共105 分）
二、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
10．6
11．28
12．8
13．
14．
15．
三、解答题：本题共6 小题，共75 分。
16．（本小题满分14 分）
【解】（1）在
中，由正弦定理
，
，
，
可得
， …………………………1 分
因为
，所以
，
即
， …………………………3 分
显然
，解得
． …………………………4 分
（2）在
中，由余弦定理
，
得
，解得
或
． …………………………6 分
由已知
，
，互不相等，所以
，
所以
． …………………………8 分
（3）因为
，所以
， …………………………10 分
所以
，
， …………………………12 分
所以
.…………………14 分
17．（本小题满分15 分）
【解】（1）
在直三棱柱
中，
平面
，且
， …………………………1 分
以点B 为坐标原点，BC，BA，
所在直线分别为x，y，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
.
易知平面ABC 的一个法向量为
， ……………3 分
则
，故
， …………………………4 分
又因为
平面
，故
//平面
…………………………5 分
（2）
，
设平面CED 的法向量为
，则
，
不妨设
， …………………………7 分
因为
，
设平面CED 的法向量为
，则
，
不妨设
…………………………9 分
则
因此，平面CED 与平面
夹角的余弦值为
. …………………………11 分
（3）因为
，根据点到平面的距离公式，
则
…………………………14 分
即点
到平面CED 的距离为
. …………………………15 分
18．（本小题满分15 分）
【解】（1）由椭圆的离心率为
，
可设
，
，则
， …………………………2 分
四个顶点构成的四边形为菱形，
其面积为
， …………………………4 分
即
，所以椭圆的方程为：
. …………………………5 分
（2）设
，联立直线
与椭圆
，
消去y 可得
，
，
则
，
， …………………………7 分
设PQ 的中点为
，则
，
所以
， …………………………8 分
因为
，所以
，
所以
， …………………………10 分
所以
，即
，
所以
， …………………………11 分
又
，所以
，
又
，故
即
， …………………………14 分
所以
的取值范围是
，
所以
面积的取值范围为
. …………………………15 分
19．（本小题满分15 分）
【解】（1）依题意设等差数列
的公差为
，
等比数列
的公比为
，
则
，
，
又
，
，
所以
， …………………………3 分
解得
或
（舍去），
所以
，
. …………………………5 分
（2）由（1）可得
…7 分
设
的前
项和为
，
所以
. …………………………9 分
（3）因为
，
所以
， …………………………11 分
所以
， …………………………13 分
所以
. …………………………15 分
20．（本小题满分16 分）
【解】（1）
，
则
， …………………………2 分
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
； …………………………4 分
（2）（i）
，
， …………………………5 分
∵
时，
取得极值，∴
，解得
， …………………………6 分
∴
，
令
，得
或
；令
，得
，
∴
的单调增区间为
，
，单调减区间为
； …………………………8 分
（ii）
，
∵
存在两个极值点，
∴方程
，即
在
上有两个不等实根.
∵
，解得
， …………………………10 分
则
∴所证不等式
等价于
，
即
， …………………………12 分
不妨设
，即证
，
令
，
，
则
， …………………………14 分
∴
在
上递增，∴
，
∴
成立，
∴
…………………………16 分
