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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（新高考Ⅰ卷）02·参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
C
D
B
C
B
D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
AC
ACD
ABD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
【详解】（1）由题意得
，由正弦定理得
，
因为
，则
，即
，可得
，整理得
，………………2 分
由余弦定理得
，整理得
，
由正弦定理得
，
故
，整理得
，………………4 分
又因为
为锐角三角形，则
，可得
，
所以
，即
.……………………………………………………………6 分
（2）在
中，由正弦定理得
，
所以
，………………………………………………………8 分
因为
为锐角三角形，且
，所以
，解得
.……10 分
故
，所以
.
因此线段
长度的取值范围
.…………………………………………13 分
16．（15 分）
【详解】（1）
的定义域为
，
当
时，
，…………………………1 分
则
，解得
，
当
时，
，故
在
单调递减；……………………2 分
当
时，
，故
在
单调递增，
故
的单调增区间为
．…………………………………………………………5 分
（2）由
，解得
，……………………7 分
当
时，
，故
在
单调递减；
当
时，
，故
在
单调递增；
故
，……………………10 分
设
，
则
，解得
，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增，
所以
，即
，
所以
，当
时等号成立，……………………13 分
又
，当
时等号成立，
故
，得证．……………………15 分
17．（15 分）
【详解】（1）证明：取
的中点
，连接
，
因为
，则四边形
为等腰梯形，
因为
分别为
的中点，所以
，……………………2 分
因为
为
的中点，所以
，
因为
，
平面
，
所以
平面
，……………………3 分
因为
平面
，所以
；……………………4 分
（2）过点
作
，垂足为
，
由（1）知，
平面
平面
，
则
，又
，
平面
，
所以
平面
，则
为直线
与平面
所成的角，即
，……………………5 分
因为
，
所以
，
所以
，所以
，则
为等腰直角三角形，
所以
，
在
中，
，
则由余弦定理得
，
则
，即
，易得
，
在
中，
，
，
所以
，所以
，
取
上靠近点
的四等分点
，连接
，则
‖
，
因为
，所以
，………………………………………………………………7 分
则分别以
所在直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
由于
，所以
，……………………9 分
设平面
的法向量为
，
由于
，
所以
，，
令
，则
，……………………11 分
设平面
的法向量为
，
由于
，
所以
，
令
，则
，……………………13 分
所以
，
故平面
与平面
成角的余弦值为
.……………………15 分
18．（17 分）
【详解】（1）设
，
，
设直线
的方程为
，
联立方程组
，得
，……………………2 分
所以
，
，…………………………………………3 分
则
，……………………4 分
点
到直线
的距离为：
，………………………………5 分
所以
，…………………………………………6 分
令
，
则
，当
即
时
面积取得最大值，
所以
面积的最大值为.…………………………………………7 分
（2）设
，
，
设直线
的方程为
，
联立方程组
，得
，…………9 分
即
所以
，即
，…………………………………………10 分
同理可得：
，……………………………………………………11 分
所以
化简得：
，…………………………………………13 分
当
时，
取得最大值
.……………………………………………………15 分
19．（17 分）
【详解】（1）由已知数据经计算可得：
………………………………1 分
，
，
，
，………………………………3 分
所以
．……………………………………………………4 分
所以当
时，
；
即第6 个月身体指标明显改善的大约有24 人；…………………………………………5 分
（2）①
，……………………………………………………6 分
，…………………………………………7 分
，……………………………………………………8 分
M
0
1
2
P
所以次数M 的数学期望
．…………………………………10 分
②第n 次挑战后挑战权在Y，Z 组的概率分别是
，
时，则
．……………………………………………………12 分
②+③得：
，由①得
，
，
，
，……………………………………………………13 分
，其中
，
是以
为首项，
为公比的等比数列，
，
， …………………………………15 分
由聚点数列的定义：
，
由指数函数的单调性可知：当
时，
所以对于任意给定的正数
（不论它多么小），总存在正整数
，使得当
时，
，
所以数列
为“聚点数列”；
．……………………………………………………17 分
