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2024年高考考前信息必刷卷04
数学·答案及评分标准
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一：选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
D D D C D B C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD ABC BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
13． 14． 15．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）选条件①时，由于 是2与 的等差中项；
所以 ，①
当 时，解得 ；
当 时， ②，
① ②得： ，
整理得 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列；所以 （首项符合通项），
所以 ；
选条件②时，由于 ， ；
所以： ，①，
当 时， ，②，
① ②得： ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列；
故 （首项符合通项），
所以 ；
选条件③时，因为 ，
所以当 时，
当 时，
因为 时也满足 ，
所以
（2）若 是以2为首项，4为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，
故 ①，②，
① ②得： ；
整理得 ．
16．（15分）
【解析】（1）由题可知 ，
因为 ，所以当 时， 的最小值为 ．
（2）由题设知， 的可能取值为1，2，3，4．
①当 时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此， ，
②当 时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，
或1100，或0011．
因此， ，
③当 时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此， ，
④当 时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此， ．
所以 的分布列为
1 2 3 4因此， 的数学期望 ．
17．（15分）
【解析】（1）解：设直线 轴，则直线 与抛物线 有且只有一个交点，不合乎题意.
设直线 的方程为 ，设点 、 ，则 且 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
，同理 ，
，
所以， ，可得 ，
故直线 的方程为 ，
因此，直线 过定点 .
（2）解：由（1）可知，直线 的斜率存在，且直线 的方程为 ，记线段 的中点为点 .
①当 时，则 、 关于 轴对称，此时线段 的垂线为 轴，
因为 ，则点 为坐标原点，又因为 ，则 为等腰直角三角形，
则 的两腰所在直线的方程为 ，联立 ，解得 或 ，
此时， ， ；
②当 时， ， ，即点 ，因为 ，则 ，
设点 ，其中 且 ， ， ，
由已知可得
，
所以， ，则 ，
直线 的斜率为 ，可得 ，
所以， ，当 时，等式 不成立，
所以， 且 ，
所以， ，则
，
所以， ，
故 .
综上所述， .
因此， 面积的最小值为 .
18．（17分）
【解析】（1）当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ．则 在 上单调递减，
又因为 ，
所以 使得 在 上单调递增，在 上单调递减．
因此， 在 上的最小值是 与 两者中的最小者．
因为 ，
所以函数 在 上的最小值为 ．
（2） ，
由 ，解得 ，
易知函数 在 上单调递增，且值域为 ，
令 ，由 ，解得 ，
设 ，则 ，
因为当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
根据 时， ，
得 的大致图像如图所示．因此有：
（ⅰ）当 时，方程 无解，即 无零点， 没有极值点；
（ⅱ）当 时， ，
设 ，则 ，令 ，
则 在 上时单调递增函数，即 ，
得 ，此时 没有极值点；
（ⅲ）当 时，方程 有两个解，即 有两个零点， 有两个极值点；
（ⅳ）当 时，方程 有一个解，即 有一个零点， 有一个极值点．
综上，当 时， 有一个极值点；当 时， 有两个极值点；当 时， 没有极值
点．
（3）先证明当 时， ．
设 ，则 ，记 ，则 在 上单调递
减，
当 时， ，则 在 上单调递减， ，
即当 时，不等式 成立．
由（2）知，当函数 无极值点时， ，则 ，
在不等式 中，取 ，则有 ，
即不等式 成立．
19．（17分）
【解析】（1）由性质 定义知： ，且 ，
所以 的最小值为6.
（2）由题设 ，且 ，
所以 ，
所以 ，得证.
（3）由（2）知： ，
同（2）证明得 且 ，故 ，又 ，所以 在 上恒成立，
当 ，取 ，则 ，故 ，
当 ，则 ，即 .
