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专题05 事件与概率小题综合
一、单选题
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）从1，2，3，4，5 中随机选
取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先列基本事件，再列满足条件的基本事件，最后根据古典概型求解.
【详解】从1，2，3，4，5 中随机选取三个不同的数可得基本事件为
，10 种情
况，
若这三个数之积为偶数有
，9 种情况，
它们之和大于8 共有
，5 种情况，
从1，2，3，4，5 中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大
于8 的概率为
.
故选:D.
2．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）将一枚质地均匀的骰子投掷两次，
则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据古典概型的计算公式，即可得出.
【详解】将一枚质地均匀的骰子投掷两次，该试验的样本空间
1
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，共36 种；
设事件
=“第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除”，
则
共
14 种，
所以
，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率
.
故选：A.
3．（2023·江苏·统考二模）已经连续抛掷一枚质地均匀的硬币2 次，都出现了正面向
上的结果，第3 次随机地抛掷这枚硬币，则其正面向上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】记
为3 次抛掷的结果，
.写出所有的样本点，设出事件，根
据古典概型的概率公式，求出前两次正面向上的概率以及三次正面向上的概率，然后
即可根据条件概率的公式，求出答案.
【详解】记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为1，反面向上为0，
记
为3 次抛掷的结果，
.
则试验的所有结果可能为，
，
，
，
，
，
，
，
，共有8 个样本点.
其中，前2 次都出现了正面向上的结果，包含的样本点有
，
，共2 个；
3 次都为正面向上，包含的样本点有
，共1 个.
设前2 次都出现了正面向上为事件
，3 次都为正面向上为事件
，
则
，
，
显然
，
所以，在前2 次都出现了正面向上的结果下，第3 次正面向上的概率
2
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.
故选：C.
4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）甲、乙二人争夺一场围棋比
赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为
，且各局比
赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.
【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为
；
若比赛三场甲获胜，则概率为
；
甲获得冠军的概率
.
故选：D.
5．（2023·江苏·高三专题练习）袋子中有大小相同的个白球和个红球，从中任取
个球，已知个球中有白球，则恰好拿到
个红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求总的取球方法，再求恰好取到两个红球的方法，利用古典概率可得答案.
【详解】因为取到的3 个球中有白球，所以共有
种方法，
3 个球中恰好有两个红球的取法共有
种，
设事件
“取到的3 个球中有白球，且恰好有2 个红球”，
则
.
故选：A.
6．（2023 春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）某校高中计划举办足球
3
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比赛，每个年级有两队，把全校6 个队分为甲、乙两组，每组3 队，则每个年级的队
都不在同一组的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据古典概率和组合数计算即可得到答案.
【详解】首先计算出总事件数为
种，
而每个年级的队都不在同一组的情况数为
种，
故概率
，
故选：B.
7．（2023·江苏·二模）在
这
个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差
数列的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可得公差
，进一步确定满足题意的可能情况数，再由古典概型
概率公式计算即可．
【详解】因为三个数成递增等差数列，设为
，
按题意必须满足
，
，
若给定了
，则
可以取
，
故三数成递增等差数列的个数为
，
所以三数成递增等差数列的概率为
，
故选：C．
8．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知
，
为两个随机事件，
，
，
，
，则
（ ）
A．0.1
B．
C．0.33
D．
4
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【答案】B
【分析】根据互斥、对立事件的加法公式和条件概率公式和乘法公式即可求解。
【详解】
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
，
即
，
解得
，
故选：B.
9．（2023 春·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校考阶段练习）把二项式
的所有展开项重新排列，求有理项不相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接写出展开通项
，得到其中4 项为有理项，6 项为无理项，
利用插空法即可得到答案.
【详解】
，其中
当
，项为有理项，则有4 项有理项，6 项无理项，
5
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展开式的10 项全排列共有
种，
有理项互不相邻可把6 个无理项全排,把4 个有理项在形成的7 个空中插空即可，有
种，
有理项都互不相邻的概率为
，
故选：B.
10．（2023·江苏·统考一模）“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来
越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头
渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6 个景点
中随机选择1 个景点游玩.记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事
件B 为“两位游客选择的景点不同”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据古典概型概率公式求出
，然后利用条件概率公式即得.
【详解】由题可得
，
,
所以
.
故选：D.
11．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）随机掷两个质地均匀的正方体骰子，
骰子各个面分别标记有
共六个数字，记事件
“骰子向上的点数是和”，事
件
“骰子向上的点数是和”，事件
“骰子向上的点数含有”，则下列说
法正确的是（ ）
A．事件
与事件
是相互独立事件
B．事件
与事件
是互斥事件
C．
D．
【答案】C
6
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【分析】根据古典概型概率公式可计算得到
，知CD 正误；由独立
事件概率乘法公式验证可知A 错误；根据互斥事件定义可知B 错误.
【详解】投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有
种；
满足事件
的有
，
，共
种；满足事件
的有
，
，共
种；满足
事件
的有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共
种；
，C 正确；
，D 错误；
，
不是相互独立事件，A 错误；
事件
和事件
可能同时发生，
不是互斥事件，B 错误.
故选：C.
12．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）甲袋中装有4 个白球，2 个红球和2
个黑球，乙袋中装有3 个白球，3 个红球和2 个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙
袋，再从乙袋中随机取出一球.用
分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，
用B 表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
A．
两两不互斥
B．
C．
与B 是相互独立事件
D．
【答案】B
【分析】对于A，由互斥事件的定义判断，对于B，由条件概率的公式求解即可，对
于C，由独立事件的定义判断，对于D，由
求解
【详解】对于A，由题意可知
，
，
不可能同时发生，
所以
，
，
两两互斥，所以A 不正确；
7
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对于B，由题意可得
，
所以
，所以B 正确；
对于C，因为
，
，
，
所以
，所以
与B 不是相互独立事件，所以C 错误；
对于D，由C 选项可知D 是错误的.
故选：B.
13．（2023·江苏苏州·模拟预测）某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走”主题征文
比赛，评审结果显示，获得一、二、三等奖的征文数量之比为
，男生的征文获奖
数量分别占一、二、三等奖征文总数的
，
，
.现从所有获奖征文中任取一
篇，记“取出一等奖的征文”为事件
，“取出男生的征文”为事件
，“取出女生
的征文”为事件
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据获得一、二、三等奖的征文数量比例，可以设出数量，进而表示出获奖
总数，再根据男女获一、二、三等奖比例，分别算出获奖数量，对于
、
用古典概
型公式即可判断，对于
、
用条件概率公式即可判断.
【详解】解：因为获得一、二、三等奖的征文数量之比为
，
那么不妨设获得一、二、三等奖的征文数量分别为
，
，
，
则获奖总数为
.
因为男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的
，
，
，
所以男生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为
，
，
，
则女生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为
，
，
，
现从所有获奖征文中任取一篇，
记“取出一等奖的征文”为事件
，“取出男生的征文”为事件
，“取出女生的征
文”为事件
，
8
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则
，
，
，所以选项
错误.
，所以选项
错误.
，所以选项
错误.
，所以选项
正确.
故选：
.
14．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是
中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号
分别为1， 2， 3， 4， 5 的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之
和是3 的倍数，则获奖.若有5 名同学参与此次活动，则恰好3 人获奖的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出抽一次获奖的概率
，设5 人中获奖人数为
，则
，然后
由二项分布的概率公式计算概率．
【详解】每次抽奖中，总情况数为
种，获奖的共有
这4 种，所以
，设5 人中获奖人数为
，则
，
所以
，
故选：C.
二、多选题
15．（2023·江苏泰州·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3 个小球，颜色分
9
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别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2 个球，记“第一次取到红球”为事件
A，“第二次取到黄球”为事件
，则（ ）
A．
B．
为互斥事件
C．
D．
相互独立
【答案】AC
【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析.
【详解】
正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，
不互斥，
错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为
正确；
不独立，
D 错误；
故选：AC.
16．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）已知事件A，B 满足
，
，则（ ）
A．若
，则
B．若A 与B 互斥，则
C．若A 与B 相互独立，则
D．若
，则A 与B 相互独立
【答案】BD
【分析】对于A，由题意可得
，从而即可判断；
对于B，由互斥事件的概率计算公式计算即可；
对于C，先求得
，再根据独立事件的计算公式计算即可；
对于D，判断
是否成立即可.
【详解】解：对于A，因为
，
，
，
10
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所以
，故错误；
对于B，因为A 与B 互斥，所以
，故正确；
对于C，因为
，所以
，所以
，故错
误；
对于D，因为
，即
，所以
，
又因为
，所以
，
所以A 与B 相互独立，故正确.
故选：BD
17．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．某校三个年级，高一有400 人，高二有360 人.现用分层抽样的方法从全校抽取57
人，已知从高一抽取了20 人，则应从高三抽取19 人
B．在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，p 为每次试验中事件A 发生
的概率，若
，
，则
C．设随机变量
服从正态分布
，若
，则
D．已知
，则
【答案】ACD
【分析】根据分层抽样判断A 选项，根据独立重复试验中数学期望和方差公式计算判
断B 选项，正态分布对称性求出对应概率判断C 选项，根据互斥事件和的概率公式计
算可判断D 选项.
【详解】对于A 选项：根据分层抽样可得高一抽取20 人，高二抽取18 人，高三抽取
19 人，故A 选项正确；
对于B 选项：在n 次独立重复试验中，
，
，
，故B 选项错误；
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对于C 选项：随机变量
服从正态分布
，若
，则
，
因为正态分布的对称性关于
对称可得
，故C 选项正确；
对于D 选项：
互斥，
，
，
故D 选项正确.
故选：ACD.
18．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）记A，B 为随机事件，下列说法正确的是（
）
A．若事件A，B 互斥，
，
，
B．若事件A，B 相互独立，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
【答案】BC
【分析】对于A，根据互斥事件和对立事件的性质分析判断即可，对于B，根据相互
独立事件的性质分析判断，对于CD，根据条件概率的公式和对立事件的性质分析判断.
【详解】
，∴
，A 错.
，B 对.
令
，
，
，∴
，
，∴
，
，∴
，C 对.
12
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，D 错，
故选：BC.
19．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若事件
互斥，
，则
B．若事件
相互独立，
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A；根据独立事件的乘法公式判断B；根
据条件概率以及全概率公式可判断
.
【详解】对于A：
，正确；
对于B：
，正确；
对于C：
，
，
所以
，解得
正确；
对于D：由C 得
，D 错误，
故选：ABC.
20．（2023·江苏·统考三模）设
，
是一个随机试验中的两个事件，且
，
13
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，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.
【详解】对于A：
，
，
所以
，故A 错误；
对于B：
，
，∴
，
，故B 正确；
对于C：
，
，∴
，故C 正确.
对于D：
，
，∴
，∴
，
∴
，所以D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
21．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）从，，，这
个数中随机
取出
个不同的数
，
，则
的概率为__________．
【答案】
/
【分析】利用列举法求解即可.
【详解】取出
个不同的数
，
的所有情况为1 和3，1 和5，1 和7，3 和5，3 和
14
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7，5 和7，6 种情况，
其中满足
的有：1 和3，1 和5，1 和7，3 种情况，
所以
的概率为
．
故答案为：
22．（2023·江苏常州·校考二模）二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的
时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和
历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑
相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗
歌包含了这个季节中的6 个节气．若从24 个节气中任选2 个节气，则这2 个节气恰好
不在一个季节的概率为______．
【答案】
【分析】方法1：利用古典概型概率公式直接计算可得.
方法2：可先求得从24 个节气中任选2 个节气，这2 个节气恰好在一个季节的事件总
数，利用对立事件的性质，求出从24 个节气中任选2 个节气，这2 个节气恰好不在一
个季节的事件总数，利用古典概型概率公式计算可得.
【详解】方法1：从24 个节气中任选2 个节气的事件总数有：
，
求从24 个节气中任选2 个节气，这2 个节气恰好不在一个季节的事件总数，分两步完
成：
第一步，从4 个季节中任选2 个季节的方法有
，
第二步，再从选出的这2 个季节中各选一个节气的方法有：
，
所以从24 个节气中任选2 个节气，这2 个节气恰好不在一个季节的事件总数有：
15
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，
所以，
．
方法2：从24 个节气中任选2 个节气的事件总数有：
，
从24 个节气中任选2 个节气，这2 个节气恰好在一个季节的事件总数有：
，
从24 个节气中任选2 个节气，这2 个节气恰好不在一个季节的事件总数有：
，
所以，
．
故答案为：
.
23．（2023·江苏·校联考模拟预测）某校有4 名同学到三个社区参加新时代文明实践宣
传活动，要求每名同学只去1 个社区，每个社区至少安排1 名同学，则甲、乙2 人被
分配到同一个社区的概率________．
【答案】
【分析】先根据捆绑法和分步计数乘法原理求得总分法的种数，再结合古典概型概率
公式即可求解.
【详解】先将4 名同学中的2 名同学看作一组，选法有
种，另外两组各1 人，分配
到三个社区，
则总分法有
种，
其中甲、乙2 人被分配到同一个社区的分法有
种，
则甲、乙2 人被分配到同一个社区的概率为
．
故答案为：
.
24．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳
明山､云冰山､舜皇山4 处景点旅游，每人只去一处景点，设事件
为“4 个人去的景点
各不相同”，事件
为“只有甲去了九嶷山”，则
__________.
【答案】
16
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【分析】根据题意，求出4 人去4 个不同的景点的总事件数，事件
的总数和事件
的总数，可求出
，然后利用条件概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，4 人去4 个不同的景点，总事件数为
，
事件
的总数为
，则
，
事件
和事件
同时发生，即“甲去了九嶷山，另外3 人去了另外3 个不同的景点”
则
事件
的总数为
，
所以
，
所以
，
故答案为：
25．（2023·江苏南京·统考二模）一个袋子中有
个红球和5 个白球，每次从
袋子中随机摸出2 个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为
，则
的最大值为___________．
【答案】
【分析】计算并化简得到
，根据对勾函数的性质计算最值得
到答案.
【详解】
，
对勾函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
17
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故当
或
时，
有最小值为，故
.
故答案为：
18
