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2024 年高考考前信息必刷卷 04（北京专用）
数 学
北京卷考试题型为10（单选题）＋4（单空+双空）+1(多选：一般四选三)＋6（劣构题：
解三角形/三角函数、空间向量与立体几何、统计与概率分布列、椭圆、导数及其运用），
其中第21题属于综合题，目前主要集中考数列和集合，综合了新定义、集合论、归纳法、
排除法、演绎证明等思想和方法，考查学生创新能力。
北京卷坚持“以德为先，能力为重，全面发展”的命题理念，稳妥推进新高考的改革，
形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系。
即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主干知识、思想
方法、问题解决能力的考查；通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学
科本质，达到落实高考育人的目的。
北京卷通过设计现实性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学
抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。设置创新和思维深刻的问题，考查学生
的创新能力。重点关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆，关注学生的不同发展水平。
相比于去年，在试卷结构上保持一致，依然是单项选择题、填空题和解答题，每一类
题型的难度预设基本符合从易到难的分布；在考查内容上基本保持一致，强调基础性、综
合性。在试题的表述形式上，简洁、规范，图文准确并相互匹配，呈现方式坚持多样化，
延续了北京数学试卷“大气、平和”的特点。
综合分析2023年北京高考的特点，出了本套信息卷。本套信息卷有如下特点：
●选择题的前8道题依次考查了集合、复数、函数的基本性质、三角函数的定义、平
面向量与命题逻辑、平面向量、数列、空间几何体中圆柱的体积；填空题的前3道题依次
考查了指数对数运算、二项式定理、双曲线的基本性质及其应用。选择题 6、7、8题采用
数学的基本常识以及一些名人事迹为背景，增加学生的知识面，这个跟 2023年北京高考数
学的出题方式不谋而合。
●解答题的前2题依次考查了解三角形正余弦定理的运用、空间向量与立体几何，这
些题目设置的情境问题相对熟悉，解题思路也比较明确，与学生平时获得的数学基本活动
经验基本一致，体现了对数学知识考查的全面性与基础性。劣构题继续采用解三角形的题
型，预测2024年劣构题可能为解三角形。
本卷试题注重学用结合，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决问题的能力。注
重创设社会生活实际情境，关注民生问题，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文
化价值、美学价值。
●第16题以解三角形为劣构题，2023年北京高考以三角函数为劣构题，本试卷猜测
2024年高考劣构题将转移到解三角形上面来。重点考察正余弦定理的应用。
●第17题考查立体几何与空间向量的问题，第一问学生利用几何法去证明线面垂直
从而推出线线垂直；第二问考查线面距离，是新教材新增的知识点，目前未出现在高考试
卷里面；第三问继续考查存在性问题，考查学生对特殊位置的掌握。
●第18题考查的是概率及其分布列，以“联合国中文日”为大背景，第（1）（2）
考查了概率的计算，第（3）分布列的知识点一级分布列的数字特征-数学期望的运用。此
题利用社会热点问题，让学生体验数学源于生活、应用于生活。
●第19题和第20题分别考查椭圆的基本性质、导数及其应用，相当于前三道解答题，
这两道题的难易程度有所上升。第19道题考查学生的计算能力，考查学生如何把几何问题
代数化。第20道题主要考查了学生数学运算和逻辑推理的核心素养，同时也体现了数学试
卷中重点问题重点考查的特点。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
1．设集合 .则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， （i为虚数单位），则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若角 的终边经过两点 ， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
5．已知 为不共线的两个单位向量， 为非零实数，设 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6． 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正
五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，
若正多边形的边长为1， 为正多边形的顶点，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算
经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，
五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被 除余 且被 除
余 的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，
则 的最小值为（ ）
A．60 B．61 C．75 D．768．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行
平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，
那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底
面半径和高都为 的圆柱与半径为 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个
半径为 ，高为 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面 去截这
两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．
若用平行于半球底面的平面 去截半径为 的半球，且球心到平面 的距离为 ，则平
面 与半球底面之间的几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
9．已知直线 与圆 交于 两点，则弦 最短时，
（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 的焦点为 ， 是抛物线 上
的点，若 的外接圆与抛物线 的准线相切，且该圆面积为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11． = .
12．若 ，则 ．
13．1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文在这篇文章中，他描述了用
粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望
粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分 粒子从金箔上反弹.如
图显示了卢瑟福实验中偏转的 粒子遵循双曲线一支的路径.则该双曲线的离心率为
，如果 粒子的路径经过（10，5），则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 .14．函数 的部分图象如图所示，若 ，
且 ，则 ， .
15．设函数 ，函数 ．则下列说法正确的有
①．当 时，函数 有3个零点 ②．当 时，函数 只有1个零点
③．当 时，函数 有5个零点 ④．存在实数 ，使得函数 没有零
点
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．在△ 中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且 ， ．
(1)求证：△ 为等腰三角形；
(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h．
条件①：△ 的面积为 ；
条件②：△ 的周长为20．17．如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， 为 的中点， 为
的中点， ， ．
(1)求证： ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值，若不存在，
请说明理由．
18．联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华
文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛
分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0
分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢
到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､
乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别 ，乙答对两道题的概率分
别为 ，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为 ，甲答对任意一题的概率
为 ，乙答对任意一题的概率为 ，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立.
(1)在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率；
(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；
(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，
求随机变量X的分布列及数学期望.19．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线
与 交于 两点， 的周长为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，且原点 到直线 的距离为定值1，求 的最大值．
20．设函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)令 ，求 的单调区间；
(3)已知 在 处取得极大值，求实数 的取值范围．21．对于项数为m的数列{a }，若满足：1≤a＜a＜⋯＜a ，且对任意1≤i≤j≤m，aa与 中
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至少有一个是{a }中的项，则称{a }具有性质P．
n n
(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
(2)如果数列a，a，a，a 具有性质P，求证：a＝1，a＝aa；
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(3)如果数列{a }具有性质P，且项数为大于等于5的奇数．判断{a }是否为等比数列？并说
n n
明理由．
