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2024 年高考考前信息必刷卷 01（北京专用）
数 学
北京卷考试题型为10（单选题）＋4（单空+双空）+1(多选：一般四选三)＋6（解三角
形/三角函数、空间向量与立体几何、统计与概率分布列、椭圆、导数及其运用），其中第
21题属于综合题，目前主要集中考数列和集合，综合了新定义、集合论、归纳法、排除法、
演绎证明等思想和方法，考查学生创新能力。
北京卷坚持“以德为先，能力为重，全面发展”的命题理念，稳妥推进新高考的改革，
形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系。
即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主干知识、思想
方法、问题解决能力的考查；通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学
科本质，达到落实高考育人的目的。
北京卷通过设计现实性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学
抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。设置创新和思维深刻的问题，考查学生
的创新能力。重点关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆，关注学生的不同发展水平。
相比于去年，在试卷结构上保持一致，依然是单项选择题、填空题和解答题，每一类
题型的难度预设基本符合从易到难的分布；在考查内容上基本保持一致，强调基础性、综
合性。在试题的表述形式上，简洁、规范，图文准确并相互匹配，呈现方式坚持多样化，
延续了北京数学试卷“大气、平和”的特点。
与往年相比，2023年试卷总体上较为平稳，突出数学主线与主干知识，点多面广，重
点知识重点考查，体现了教、学、考的一致性。综合分析 2023年北京高考的特点，出了本
套信息卷。本套信息卷有如下特点：
●选择题的前8道题依次考查了集合、复数、双曲线的基本性质、函数性质、二项式
定理、直线与圆的位置关系及最值、平面向量、空间几何体的体积；填空题的前 3道题依
次考查了对数函数及定义域、抛物线的基本性质、平面向量与三角函数的运用
●解答题的前2题依次考查了解三角形正余弦定理的运用、统计学的百分位数和二项
分布列，这些题目设置的情境问题相对熟悉，解题思路也比较明确，与学生平时获得的数
学基本活动经验基本一致，体现了对数学知识考查的全面性与基础性。
本卷试题注重学用结合，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决问题的能力。注
重创设社会生活实际情境，关注民生问题，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文
化价值、美学价值。
●第6题和8题以日常生活中的小游戏为载体，实际上考查了圆的对称性与最值本质
特征及空间几何体的体积，体现“源于课本、高于课本、全面深化、结构关联”的特点，
以及转化与化归、特殊与一般、有限与无限的思想方法。
●第17题以电视剧《狂飙》为载体，加强学生对日常生活的关注，让学生体验到数
学源于生活中，解决于生活中，把现实与生活联系起来。秉承了历年北京概率统计解答题
的风格，既考查了学生阅读理解、提取信息的能力，又考查学生的数据分析与统计预测能
力，引导学生用数学的思考方式解决问题、认识世界。
●第18题以立体几何为劣构题，2023年北京高考以三角函数为劣构题，我猜测2024
年高考劣构题将转移到空间向量与立体几何上面来。此题第一问为存在性问题，考查学生
对空间几何体的认知，第二问开始劣构，考查二面角的余弦值。
●第19题和第20题分别考查椭圆的基本性质、导数及其应用，相当于前三道解答题，
这两道题的难易程度有所上升。第19道题考查学生的计算能力，学生可以利用多种方法区
解决。第20道题主要考查了学生数学运算和逻辑推理的核心素养，同时也体现了数学试卷
中重点问题重点考查的特点。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由补集概念计算即可得出结果.
【详解】根据补集定义，由 可得 ；
故选：A
2．已知复数 （其中 为虚数单位），则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算，结合虚部的定义即可求解.
【详解】 ，所以 的虚部是 .
故选：A
3．已知双曲线 的一个焦点坐标为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可求得 ，结合双曲线的渐近线方程定义计算即可得.
【详解】由题意可得 ，
故该双曲线的渐近线方程为 .
故选：C.
4．下列函数既是奇函数又在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性与奇偶性直接判断即可.
【详解】对A， 为偶函数，故A错误；
对B， 在 上不为增函数，故B错误；对C， 既是奇函数又在 上单调递增，故C正确；
对D， 为偶函数，故D错误.
故选：C
5． 的展开式中 的系数为 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】写出展开式的通项，再令 ，即可求出展开式中 的系数，从而得解.
【详解】二项式 展开式的通项为 （其中 且 ），
令 可得 ，
所以 ，解得 .
故选：B
6．折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆
形纸片，圆心为 ，在圆内任取一点 ，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点 重合，
记此时的折痕为 ，点 在 上，则 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】利用对称性，两点之间，线段最短得到答案.
【详解】如图，设 关于 对称的点为 ，则 在圆 上，连接 ， ，
则有 ，
故 .故选：D
7．已知向量 ，满足 ， ，且 ，则 （ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积与模长关系计算即可.
【详解】由题意可知 ，且 ，
则 ， ，
所以 ．
故选：C
8．夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整
逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，
从而提高参与者的适应能力.如图，三个半径都是 的玻璃弹珠放在一个半球面形状的
容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的
表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得大球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可得到结
果.
【详解】 在面 上的投影为 为大球球心， 为小球球心.
，大球半径为 ，
，，
故选：D.
9．已知 等差数列 的前 项和，则“ ”是“ 是递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.
【详解】当等差数列 为常数列时，此时 ，满足前者，但是此时“ 不是递
减数列”，故充分性不成立；
当 是递减数列，则对 ， ，
，
当 时， ，
当 时， ， ，
所以对 ， ，则反推成立，故必要性成立，
则“ ”是“ 是递减数列”的必要而不充分条件.
故选：B.
10．如图，在函数 的部分图象中，若 ，则点 的纵坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先得 ，进一步得由 得 ，将它们
代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式即可求解.
【详解】由题意 ，则 ，所以 ，设 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以
，
所以 ，又由图可知 ，所以 .
故选：B.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．函数 的定义域是 .
【答案】
【分析】利用二次根式的意义计算即可.
【详解】由题意可知 ，
即函数的定义域为 .
故答案为：
12．已知抛物线 过点 ，则拋物线 的准线方程为
.
【答案】
【分析】代入 ，得到 ，求出准线方程.
【详解】由题可得， ，故 .
故拋物线 的准线方程为 .
故答案为：
13．在 中， ，则 ；若 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立，利用向量的坐标运算求 ；设 ，利用向量的坐
标运算结合辅助角公式可得 ，再结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】如图，以C为坐标原点， 分别为 轴所在直线，建立平面直角坐标系，
则 ，
可得 ，则 ，
所以 ；
因为 ，设 ，
可得 ，
则 ，
，
其中 ，
因为 ，所以 .
故答案为： ； .
14．已知函数 ，其中 （1）若函数 在 单调，
则实数 的范围 ；（2）若存在互不相等的三个实数 ，使得
，则实数 的范围是 .
【答案】【分析】（1）利用单调性的定义求解即可；（2）根据分段函数的性质，要存在互不相等
的三个实数 ，则 ，即可求解 的范围．
【详解】解：（1）当 时， ，在 单调递增，当 时，
，其对称轴为 ，所以 在 上单调递增，
若函数 在 单调，则 ，
解得 ，又因为 ，所以 ．
（2）函数 ，
∵ ，
∴ ，图象是V型，
又∵ ，其对称轴为 ，
那么在 单调递增，
那么要有三个实数 ，使得 ，
则 ，
即 ，
可得 ，
解得 ．
故答案为： ； ．
15．已知无穷数列 ， ．性质 ， ，；性质 ，
， ，下列说法中正确的有（ ）
①若 ，则 具有性质s ②若 ，则 具有性质t
③若 具有性质s，则
④若等比数列 既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为
【答案】②③④
【分析】根据性质 的定义可判断选项A；根据性质 的定义可判断选项B；根据性质 的
定义可得 ， ，利用累加法可证选项C；对于D，结合选项C，可得
，由 满足性质 ，分 和 讨论求出 ，再由 满足性质 得
，令 ，结合函数单调性可验证 满足题意.【详解】对于①，因为 ，对 ，
，
即 ，所以 不具有性质 ，故①错误；
对于②， ，对 ， ，
，
，故②正确；
对于③，若 具有性质 ，令 ，则 ，
即 ， ，
，又 ，
所以 ， ，故③正确；
对于④， 是等比数列，设其公比为 ，又 ， ，
若 满足性质 ，由选项C 得 ，即 ， ， ，
由 ， ，得 ，
当 时，得 ，即 ，对 ，又 ， ，
当 时，不妨设 ，则 ，
，解得 ， ，
综上，若 满足性质 ，则 .
若 满足性质 ，对 ， ， ，
可得 ，即 ，令 ，则 ，
又 ，所以函数 在 上单调递增，又由 满足性质 ， ，
成立，
所以等比数列 既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为 .
故④正确.
故选：②③④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求A：
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．【答案】(1) (2)
【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用三角公式整理计算即可；
（2）先利用面积公式求出 ，再利用余弦定理求出 ，则周长可求.
【详解】（1）由 ，以及正弦定理可得
即 ，即 ，
又在 中 ，所以 ，则在 中 ；
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
由余弦定理 ，
解得 ，所以 的周长 .
17．电视剧《狂飙》显示了以安欣为代表的政法人员与黑恶势力进行斗争的决心和信心，
自播出便引起巨大反响.为了了解观众对其的评价，某机构随机抽取了 位观众对其打分
（满分为 分），得到如下表格：
观众序号
评分
(1)求这组数据的第 百分位数；
(2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取 人对《狂飙》进行评价，记抽取的 人中评分
超过 的人数为 ，求 的分布列､数学期望与方差.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析， ， .
【分析】（1）先将数据从小到大排列，结合百分位数的计算公式，即可求解;
（2）根据题意，求得评分超过 的概率，得出 的所有取值，利用独立重复试验的概率
公式求出概率，得出分布列，进而求出期望和方差.
【详解】（1）将这组数据从小到大进行排列，
，
因为 ，所以第8个数据为所求，
所以这组数据的第 百分位数为 .
（2）样本中评分超过 的有 个，所以评分超过 的概率（频率）为 ，
依题意， 的所有可能取值为 ，且 ，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为
所以 ，
.
18．在如图所示的五面体 中， 共面， 是正三角形，四边形 为
菱形， 平面 ，点 为 中点.
(1)在直线 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，请说明理由；
(2)请在下列条件中任选一个，求平面 与平面 所成二面角的正弦值
； .
【答案】(1)存在，理由见解析 (2)
【分析】（1）由题意根据条件推出 平面 平面 ，再根据面面平行
的判定定理证明结论.
（2）若选 ，在 中，利用 ，求出 ，取 中点 ，连接 ，
从而证明 ，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，
然后利用待定系数法求出平面 的法向量，再利用法向量求二面角即可.
若选 ，由 ，求出 ，取 中点 ，连接 ，从而证明，仿照选 的方法可求二面角.
【详解】（1）在直线 上存在一点 ，使得平面 平面 ，理由如下：
连接 交 于点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
又 平面 , 平面 ，
平面 平面 ，故 ,
O为 的中点，点 为 中点，则 ，
，故四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ；
又点 为 中点， 为 的中点，故 ,
平面 ， 平面 ，故 平面 ，
平面 ，故平面 平面 ，
（2）选择 ，
四边形 为菱形， ,
则 为正三角形， ，
故在 中， ，
由余弦定理知 ，
取 中点 ，连接 ，
在 中， ，
则 ，所以 ，
因为 是正三角形，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
故 平面 ，以 为原点分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ,
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
,
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得平面 的法向量 ，
故 ，
由于平面 与平面 所成二面角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ；
若选 ：
由（1）可知， ，
取 中点 ，连接 ，
在 中， ，则 ，所以 ，
因为 是正三角形，所以 ，
又 平面 ，则 平面 ，
平面 ，故 ；
因为 是正三角形，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
以 为原点分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ,
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
,
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得平面 的法向量 ，
故 ，
由于平面 与平面 所成二面角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ；
19．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 （ 过点 ，且离心
率 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为 ，直线l与椭圆C交于A、B两点，求 的面积的最大值．
【答案】(1) (2)2【分析】（1）利用 ，可得 ，再将点 坐标代入方程，解方程组求得
从而可得椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为 ，代入椭圆方程中整理得 ，借助
根的判别式可得 ，结合根与系数的关系可得
，接下来利用点到直线的距离公式可求出点
到直线的距离 ，再利用三角形面积公式 和基本不等式进行求解，即可解
决问题.
【详解】（1）因为 ，所以 ，①因为椭圆C过点 ，
所以 ，②由①②解得 ，所以椭圆的方程为 ．
（2）设直线l的方程为 ，联立 ，
得 ，所以 ，
又直线l与椭圆相交，所以 ，解得 ，
则 ，点P到直线l的距离 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时， 的面积取得最大值为2．
20．已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的极值点的个数；
(3)若对任意的 ，关于 的方程 仅有一个实数根，求实数 的取值范围.【答案】(1) (2)见解析 (3)
【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线方程；
（2）求导，讨论判别式与0的关系得单调性即可求解极值点个数；
（3）构造新函数 ，判单调性，得到 结合
或 即可求解.
【详解】（1）当 时， ， ， ，
所以函数 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
（2） ，令 ，得 ，则 .
当 时， ，此时 ，故函数 在 上单调递增，没有极值点；
当 时， ，令 ，则 ，
则 ，
则当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
则 在 单调递增，在 单调递减，
此时函数 有两个极值点.
综上所述，当 时，函数 没有极值点；
当 时，函数 有两个极值点.
（3）依题意， ，
记 ， .
（i）由（2）知当 时， ，则函数 在 上单调递增；
可知当 时， ，当 时， ，
故当 时，函数 恰有一个零点，方程 仅有一个实数根，此时 .
（ii）当 时，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 单调递增，，
则 ，
所以 ，
，
因为当 ，当 ，
故只需 或 ，
令 ，则 ，
故当 时， ，当 时， ，
则 在 单调递增，在 单调递减；
又 ，
又 ，故 ，
则 ，所以 ，
故 .
综上所述，实数 的取值范围为 .
21．对于数列 ，若存在正数k，使得对任意 ， ，都满足
，则称数列 符合“ 条件”．
(1)试判断公差为2的等差数列 是否符合“ 条件”？
(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列 符合“ 条件”．
①求q的取值范围；
②记数列 的前n项和为 ，证明：存在正数 ，使得数列 符合“ 条件”
【答案】(1)符合 条件；
(2)① ；②证明见解析.【分析】（1）直接利用定义判断结论是否成立；
（2）① ，根据 的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒
成立得到新数列不递减，求q的取值范围；
②要证数列 符合“ 条件”，只要证 ，构造新数列，由不
等式恒成立得到新数列不递减，由条件只要证 即可.
【详解】（1）公差为2的等差数列 ，设 ，
由 ，所以公差为2的等差数列 符合 条件．
（2）①首项为1，公比为q的正项等比数列 ， ，
对 恒成立，
若 ，则 ，符合．
若 ， 数列 单调递增，不妨设 ，
， ，
设 ，由（*）式中的m，n任意性得数列 不递增，
， ，
但当 ， ，矛盾．
若 ，则数列 单调递减，不妨设 ，
，即 ，
设 ，由（**）式中m，n的任意性得，数列 不递减，
， ，
时， 单调递增，
， ， ，
综上，公比q的取值范围为 ．
②：由①得， ， ，当 时， ，要存在 使得 ，只需 即可；
当 时，要证数列 符合“ 条件”，
只要证存在 ，使得 ， ，
不妨设 ，则只要证： ，
只要证： ，
设 ，由m，n的任意性， 不递减，
只要证 ，
只要证： ， ，
， 存在 上式对 成立．
存在正数 使数列 符合 条件．
