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2024 年高考考前信息必刷卷 01（江苏专用）
数 学
江苏高考新题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中第
19题属于综合题，综合了新定义、集合论、归纳法、排除法、演绎证明等思想和方法，考
查学生创新能力.
高考数学19题结构的试卷在保持基础题型稳定性的同时，不断探索和创新考查方式.
这种变化既体现了对学生全面发展的关注，也体现了对优秀人才的选拔和区分.对于未来的
数学教学和备考工作，这些趋势和变化值得我们深入研究和关注.
本套试卷运用19题结构的新高考题型，第5题用第19届杭州亚运会为背景编写的排列
组合题，第8题是等差数列与二次函数相结合，利用根与系数关系解决问题，结合等差数
列公式和方程的实数解，培养学生解决问题能力.第11题考查抽象函数问题，考查赋值法，
抽象关系的巧妙转化运用，利用导数的单调性质帮助解决问题，培养学生分析问题、解决
问题能力.第14题、三角函数与导数相结合，注意数形结合运用，由一阶导数的正负值确
定函数的单调性.第18题考查阿波罗尼斯圆与椭圆相结合，考查解析几何中的计算能力、
综合运用问题能力.第19题考查新定义的L 函数，考查学生的阅读理解能力，综合分析问
题、解决问题能力.
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的.
1.已知由小到大排列的 个数据 、 、 、 ，若这 个数据的极差是它们中位数的 倍，
则这 个数据的第 百分位数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由小到大排列的 个数据 、 、 、 ，则 ，
这四个数为极差为 ，中位数为 ，
因为这 个数据的极差是它们中位数的 倍，则 ，解得 ，所以，这四个数由小到大依次为 、 、 、 ，
因为 ，故这 个数据的第 百分位数是 .
故选：B.
2.在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的定义，根据三角形内角的性质以及三角函数的诱导公
式，可得答案.
【详解】在 中， ，则 ，
充分性：当 时， ， ，
，所以“ ”是“ ”的充分条件;
必要性：当 时，取 ， ，
此时满足 ，但 ，
所以“ ”是“ ”的不必要条件.
综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3.已知 ，设椭圆 ： 与双曲线 ： 的离心率分别为 ，
.若 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】因为 ，结合离心率公式可得 ，解得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故选：A.
4.在 中， ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则 ，可得 ，
在 中， ， ， ，
由平面向量数量积的定义可得 ，
因此， .
故选：C.
5.第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组
名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗
址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸
宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共
为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
【答案】A
【解析】由题意，因名称相同的两个吉祥物相邻，分别看成一个元素共有 种排法，
相邻元素内部再排共有 种排法，
故共有 种排法，
故选：A．
6.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ， 成等差数
列，则 （ ）．
A． B． C． D．【答案】A
【解析】因为 ，所以 ．
又因为 ， ， 成等差数列，则 ．
根据正弦定理可得： ，即 ，
展开得： ，
进一步得： ，
因为 ，可得 ，
又易知 为锐角，所以 ，则 ，故A正确.
故选：A．
7．若平面内分别到定点 的距离之差为6的点的轨迹是曲线 ，过点 且
斜率为 的直线与曲线 交于 两点（点 在 轴上方）．设 的内切圆
半径分别为 ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义得，曲线 是以 分别为左、右焦点，实轴长为6的双曲线
的右支，其方程为 ．设 的内切圆与 轴切于点 ．
根据双曲线的定义及圆的切线长定理，知 ，
即 ，解得 ，所以 的内切圆与 轴切于点 ．
同理， 的内切圆与 轴也切于点 ，所以 ．
设 的内切圆圆心为 ，AB的斜率为 ，则倾斜角为 ，即 ，
则 ，根据圆的性质可得 ，
所以 ，解得 ．
同理，得 ，解得 ，所以 ．故选：B．
8.已知等差数列 （公差不为0）和等差数列 的前 项和分别为 ，如果关于
的 实 系 数 方 程 有 实 数 解 ， 那 么 以 下 1003 个 方 程
中，有实数解的方程至少有（ ）个.
A. 499 B. 500 C. 501 D. 502
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到 ，要想无实根，需满足
，结合根的判别式与基本不等式得到 至多一个成立，同理可证：
至多一个成立， 至多一个成立，且 ，从而得
到结论.
【详解】由题意得： ，其中 ，
，代入上式得： ，
要方程 无实数解，则 ，
显然第502个方程有解.
设方程 与方程 的判别式分别为 ，
则
，
等号成立的条件是 ，所以 至多一个成立，
同理可证： 至多一个成立， 至多一个成立，且
，综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多502个，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.．已知函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A． 的最小正周期为
B．当 时， 的值域为
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象
D．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数
图象关于点 对称
【答案】AD
【解析】由函数图象可知， ， 的最小正周期为 ，A选项正确；
， ， ，
则 ，由 ，得 ，
所以 .
当 时， ， ， 的值域为 ，B选项
错误；
将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数的图象，C选项错误；
将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数
的图象，
，函数 的图象关于点 对称，D选
项正确.
故选：AD
10.已知复数 ， （ ， ）（ 为虚数单位）， 为 的共轭复数，则
下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为
B．
C．
D．若 ，则在复平面内 对应的点形成的图形的面积为
【答案】CD
【解析】由题意可得 ，所以 的虚部为 ，A错误，
，故 ，B错误，
，C正确，
表示点 到 的距离不大于1的点构成的图形，故为以 为圆心，以1
为半径的圆以及内部，故面积为 ，D正确，
故选：CD
11．已知定义域为 的函数 满足 为 的
导函数，且 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 在 处的切线斜率为7
C． D．对
【答案】ACD
【解析】由题意定义域为 的函数 满足令 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
故 为奇函数，A正确；
由于 ，故 ，即 ，
则 为偶函数，由 可得 ，
由 ，令 得 ，
故 ，令 ，则 ，B错误；
又 ，
则 ，
令 ，则 ，
由柯西方程知， ，故 ，
则 ，由于 ，故 ，
即 ，则 ，C正确；
对
,
故 ，D正确，
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.集合 , ，则
【答案】1或0
【解析】 ,
, 或 ，故 或 .
故答案为：1或0
13．在四面体 中， ， ，且满足 ， ，
．若该三棱锥的体积为 ，则该锥体的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，依题意将四面体 放在长方体中，设长方体的高为 .
根据锥体 的体积 ，解得 ，
所以长方体的长宽高分别为 ， 和4，
所以长方体的外接球直径即为对角线 ，解得 .
所以四面体外接球的体积为 ．
故答案为： .
14.函数 的图象与直线 的交点个数为 .
【答案】
【解析】令 ，则 ，
函数 在区间 上单调递增，
所以，曲线 与直线 的交点个数等于曲线 与直线 的交点个数，
作图易知，曲线 和直线 都过点 ，且都关于点 对称，
所以，曲线 与直线 的交点个数或者为 或者为 .下面考察关于 的方程 在区间 上的解的个数，
令 ，其中 ，
则 对 恒成立，
所以，函数 在区间 上单调递增，则 ，
所以，关于 的方程 在区间 上的解的个数为 ，
因此，函数 的图象与直线 的交点个数为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 ．
(1) ，求函数 的最小值；
(2)若 在 上单调递减，求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
令 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
因此当 时，则有 ，
因此当 时，则有 ，
当 时， 显然 ，于是有当 时，函数 单调递减，
当 时，函数 单调递增，
所以 ；
（2）由 ，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
由 ，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，
要想 在 上恒成立，
只需 ，因此 的取值范围为 .
16（15分）如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为 和 ， 为圆台的两
条不同的母线.
(1)求证： ；
(2)截面 与下底面所成的夹角大小为 ，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为 ，求截面 的面积.
【解析】（1）因为圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆
台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
可知母线 与母线 的延长线必交于一点，即 四点共面，
又因为圆面 ∥圆面 ，且平面 圆面 ，平面 圆面 ，
所以 ∥ .
（2）解法一：因为劣弧 的长度为 ，则
由 ，可得 .
如图，建立空间直角坐标系 ，设 ，
则 ，
可得 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
由题意可知：底面的一个法向量 ，
因为截面与下底面所成的夹角大小为 ，
则 ，
解得 ，即 ，可得 ，
在等腰梯形 中， ，
可得等腰梯形 的高 ，所以 .
解法二：如图，分别取 的中点为 ，连结 ， ，
由题意可得： ，
所以 为截面 与底面所成夹角，即 ，
过点 作 于点 ，由 ，得 ，
则 （即梯形的高），
所以 .
17.（15分）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射
中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为 ，乙击中8
环､9环､10环的概率分别为 ，且甲､乙两人射击相互独立.
（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
（2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求 的分
布列与数学期望.
【答案】（1）0.2 （2）分布列见解析，数学期望为0.6
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）根据独立重复实验相关
概率计算知识可得答案.
【小问1详解】
设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件 ，
则事件 包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，
则 .
【小问2详解】
由题可知 的所有可能取值为 ，
由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，
则 ，所以 ，
，
故 的分布列为
0 1 2 3
0.512 0.384 0.096 0.008
所以 .
18.（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥
曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点 与两定点 ，
的距离之比 ， 是一个常数，那么动点 的轨迹就是阿波罗尼斯
圆，圆心在直线 上．已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点
分别为椭圆 的右焦点 与右顶点 ，且椭圆 的离心率为
．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，过右焦点 斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， （点 在 轴上
方），点 ， 是椭圆 上异于 ， 的两点， 平分 ， 平分 ．
①求 的取值范围；②将点 、 、 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 外接圆的面积为 ，求
直线 的方程．
【答案】（1） ；（2）① ；② ．
【解析】
【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得
，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定
义进行整理，由 为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）①首先由面积比值求得
，令 ，则 ，利用坐标表示向量，求得 ，
再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知， ， ， 在以 ， 为定点得阿波罗尼斯圆上，
由几何关系列式得 ，求得 ，再根据
，求得 ，即可计算直线方程.
【详解】（1）方法（1）特殊值法，令 ， ，且 ，解得
∴ ， ，椭圆 的方程为
方法（2）设 ，由题意 （常数），
整理得： ，
故 ，又 ，解得： ， ．∴ ，椭圆 的方程为 ．
方法（3）设 ，则 ．
由题意
∵ 为常数，∴ ，又 ，解得： ， ，故
∴椭圆 的方程为
（2）①由 ，又 ，
∴ （或由角平分线定理得）
令 ，则 ，设 ，则有 ，
又直线 的斜率 ，则 ， 代入
得：
，即 ，
∵ ，∴ ．
②由①知， ，由阿波罗尼斯圆定义知，
， ， 在以 ， 为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为 ，半径为 ，与直线
的另一个交点为 ，
则有 ，即 ，解得： ．又 ，故 ，∴
又 ，
∴
，
解得： ， ，
∴ ，∴直线 的方程为 ．
19.（17分）已知常数 为非零整数，若函数 ， 满足：对任意
， ，则称函数 为 函数.
(1)函数 ， 是否为 函数﹖请说明理由；
(2)若 为 函数，图像在 是一条连续的曲线， ， ，
且 在区间 上仅存在一个极值点，分别记 、 为函数 的最
大、小值，求 的取值范围；
(3)若 ， ，且 为 函数，
，对任意 ，恒有 ，记 的最小值为 ，求的取值范围及 关于 的表达式.
【解析】（1） 是 函数，理由如下，
对任意 ， ，
，故
（2）（ⅰ）若 为 在区间 上仅存的一个极大值点，则 在 严格递
增，在 严格递减，
由 ，即 ，得 ，
又 ， ，则 ，（构造 时，等号成
立），
所以 ；
（ⅱ）若 为 在区间 上仅存的一个极小值点，则 在 严格递减，
在 严格增，
由 ，同理可得 ，
又 ， ，则 ，（构造 时，等号成
立），
所以 ；
综上所述：所求取值范围为 ；
（3）显然 为 上的严格增函数，任意 ，不妨设 ，
此时 ，由 为 函数，得 恒成立，即
恒成立，
设 ，则 为 上的减函数，
，得 对 恒成立，
易知上述不等号右边的函数为 上的减函数，
所以 ，所以 的取值范围为 ，
此时 ，
法1：当 时，即 ，由 ，而 ，所以
为 上的增函数，
法2： ，
因为 ，当 ， ，所以 为 上的增函数，
由题意得， ， .
