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绝密★启用前
2024年高考考前信息必刷卷（乙卷文科专用）01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
全国甲卷的使用将接近于尾声，往后会是新高考的题型。
全国甲卷的题型会相对稳定，考试题型为12（单选题）＋4（填空题）＋6（解答题），
2024年的对于三视图、线性规划及程序框图图的考察也将近有尾声，题目难度变化不大，但侧重于考
察学生运算能力与分析能力。
1.2023年的真题中就有开放性的题目，重在提升学生的创新能力，如本卷第14题
2.加强知识间的综合考察仍将是2024的热点，如本卷第10题
3.结合2024年九省联考试题的结构及其特点，预测 2023年新高考地区也将出现新定义问题的大题，
例如本卷第18题，以新定义为背景与数列相结合。
4.同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、
方法等融为一体，注意归纳题目意思。对于数学文化的知识会结合排列组合、数列及对数（指数）函数知
识进行考察，难度不大，但计算能力为考察重点。如第9题，将围棋与古典概型有机结合，培养数学建模
的核心素养
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．若 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】由 .故选：B
2．已知全集 ，集合 ， ，则集合 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得 所以 故选:D.
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，画出的是某几何体的三视图，该几何体的侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体是圆柱，如下图所示：
所以侧面积为： ，故选：A
4．已知 的三个内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，由正弦定理可得 ，
、 ，则 ，所以， ，
所以， ，故 .故选：C.
5．已知 为奇函数，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A【解析】因为 为定义在R上的奇函数，
所以 ，即 ，解得 ，
当 时， ，
此时 ，则 为奇函数，
故 .故选：A.
6．在边长为2的等边三角形 中， 为边 上的动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 的中点为 ，连接 ，
则
，因为当 时， 取得最小值，此时
，所以 .故选：C
7．一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为r的一个圆，点击圆周上点A后该点在圆周上随机转动，最终
落点为B，当线段AB的长不小于 时自动播放音乐，则一次转动能播放出音乐的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接 ，过 作直径 ，使得 ，连接则可得
满足条件点 位于下半圆（包括端点 ），其概率为
故选：C．
8．函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
【答案】A
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
要使得函数 有三个零点，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A．
9．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，
蕴含者中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成
两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由题意，另3位棋手分别记为丙、丁、戊，
则这5位棋手的分组情况有（甲乙丙，丁戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊，丙丁），（甲丙丁，乙
戊），
（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），
（丙丁戊，甲乙），共10种，
其中甲和乙不在同一个小组的情况分别为（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），
（乙丙丁，甲戊），
（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），共有6种，
所以甲和乙不在同一个小组的概率 .
故选：C.
10．已知函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 的图象关
于点 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：函数 的最小正周期为 ，
所以 ，得 ，所以 .
因为 的图象关于点 对称，所以 ，
所以 ， ，故 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：A.
11．如果实数 、 满足 ，那么 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，即 ，圆心为 ，半径为 ，
的几何意义是圆上一点 与 连线的斜率，
如图，结合题意绘出图像：
结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即 最大，
令此时直线的倾斜角为 ，则 ， 的最大值为 ，
故选：D.
12．已知双曲线 ，过点 的直线 与该双曲线相交于 两点，若 是线段 的中点，则
直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．该直线不存在
【答案】D【解析】设 ，且 ，代入双曲线方程得 ，两式相减得：
若 是线段 的中点，则 ，所以 ，即直线 的斜率为 ，
所以直线 方程为： ，即 ；
但联立 ，得 ，则 ，方程无解，所以直线 不存在.
故选：D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若 ，则 ．
【答案】0
【解析】由 ，故 .
14．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为 .（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】抛物线的焦点到准线的距离为2，即 ， ，
当焦点在 轴正半轴时，抛物线的标准方程为 ，
当焦点在 轴负半轴时，抛物线的标准方程为 ，
当焦点在 轴正半轴时，抛物线的标准方程为 ，
当焦点在 轴负半轴时，抛物线的标准方程为 ，
15．已知 ， 满足 ，则目标函数 的最大值是 ．【答案】3
【解析】画出可行域及目标函数，
变形为 ， 的几何意义为直线 与 轴交点的纵坐标，
故当 过点 时，取得最大值，
联立 ，解得 ，故 ，
将其代入 ，解得 .
16．已知四棱锥 的五个顶点在球O的球面上， 底面 ， ， ， ，
，且四边形 的面积为 ，则球O的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示，在四边形中 ，连结 ， ，
由 ，所以 ，所以 ，因为 在同一
圆上，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
在 中，可得 ，
因为底面 的面积为 ，所以 ，解得 ，
则 ， ，
所以 外接圆的半径 ，
将四棱锥 补成直四棱柱 ，
该直棱柱的所有顶点都在球O的球面上，设底面四边形 所在圆的圆心为 ，连接 ，则 平面 ，
过 ，垂足为 ,
由球的对称性可知，球心O到底面 的距离为 ，
所以球O的半径R满足 ，所以球O的表面积 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）在某班的互帮互助学习活动中，数学课代表利用假期给班里5名数学成绩不太好
的同学补课.他们在补课前和补课后的考试中的数学成绩统计如下表：
补课 6
63 72 74 76
前 5
补课 7
68 76 80 84
后 2
将补课前和补课后这两次考试中这5名同学的数学成绩的平均数分别记为 和 ，极差分别记为 各 .
(1)求 ， ， ， ；
(2)判断数学课代表给他们补课是否有显著效果（如果： ，则认为补课有显著效果，否则
不认为有显著效果）.
【解】（1） ，
，
， .（2） ， ，
∵ ，∴ ，
所以数学课代表给他们补课有显著效果.
18．（本小题满分12分）已知数列 为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取
，接着复制该项粘贴在后面作为 ，并添加后继数2作为 ；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作
为 ， ， ，并添加后继数3作为 ，…依次继续下去.记 表示数列 中 首次出现时对应的项数.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 .
【解】（1）由题意知： ，即 ，且 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，则 .
（2）由（1）可知， ，所以 在前 项中出现1次，
5在前 项中出现2次，4在前 项中出现 次，3在前 项中出现 次，2在前 项中出现
次，1在前 项中出现 次，
所以 .
19．（本小题满分12分）如图，三棱锥 的底面 的侧面 都是边长为2的等边三角形， ，
分别是 ， 的中点， ．(1)证明： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
【解】（1）因为 分别是 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 是等边三角形，D是 的中点，
所以 ，
因为 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
因为底面 和侧面 都是边长为2的等边三角形，
所以 ， ，
所以 .
20．（本小题满分12分）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围．
【解】（1）根据题意，
函数 的定义域为 , ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2） 的定义域为
令
令
在 上为增函数，在 上为减函数，
为单调递减的函数
．
21．（本小题满分12分）已知椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点
为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上一点（不与A，B重合），直线AP，BP分别与直
线 相交于点M，N.当点P运动时，求证：以MN为直径的圆交x轴于两个定点.【解】（1）由题意， ，即 ，
因为右焦点为 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）设 ，由（1）知 ，
，直线 ，
，直线 ，
直线分别与 相交，可得 ，
设以 为直径的圆与 轴交于点 ，
则 ， ，
由 可得 ，
即 ，
由 在椭圆上可得 ，即 ，
代入上式可得 ，即 ，
解得 或 ，
即以 为直径的圆过 轴上的定点 和 .（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，( 参数)，以 为极点， 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）若 ，当曲线 与曲线 有两个公共点时，求 的取值范围.
【解】（1）由 ，得 ，
两式平方相加得： ；
所以曲线 的普通方程为
由 ，得 ，
，即 ；
所以曲线 的直角坐标方程为 ；
（2）若 ，则 ，
故 ，此时曲线的方程为 （ ， ），
其图像为半圆弧，如下图所示：
当曲线 ： 经过点 和 时， ；
当曲线 ： 与曲线 相切时，
有 ，是 ，由图可知 ，
故当曲线 与曲线 有两个公共点时， 的取值范围为 ，
综上， 的取值范围为 .
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23.已知函数 ．
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若函数 的图象与 轴围成的三角形的面积为 ，求 的值．
【解】（1）若 ， ，
当 时， 可化为 ，解得 ；
当 时， 可化为 ，解得 ，无解；当 时， 可化为 ，解得 ，
综上，不等式 的解集是 ．
（2）因为 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 的图象与 轴围成的 的三个顶点的坐标为 ， ， ，
所以 ，解得 或 （舍去）．
