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2024 年高考考前信息必刷卷 01（北京专用）
数 学
北京卷考试题型为10（单选题）＋4（单空+双空）+1(多选：一般四选三)＋6（解三角
形/三角函数、空间向量与立体几何、统计与概率分布列、椭圆、导数及其运用），其中第
21题属于综合题，目前主要集中考数列和集合，综合了新定义、集合论、归纳法、排除法、
演绎证明等思想和方法，考查学生创新能力。
北京卷坚持“以德为先，能力为重，全面发展”的命题理念，稳妥推进新高考的改革，
形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系。
即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主干知识、思想
方法、问题解决能力的考查；通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学
科本质，达到落实高考育人的目的。
北京卷通过设计现实性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学
抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。设置创新和思维深刻的问题，考查学生
的创新能力。重点关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆，关注学生的不同发展水平。
相比于去年，在试卷结构上保持一致，依然是单项选择题、填空题和解答题，每一类
题型的难度预设基本符合从易到难的分布；在考查内容上基本保持一致，强调基础性、综
合性。在试题的表述形式上，简洁、规范，图文准确并相互匹配，呈现方式坚持多样化，
延续了北京数学试卷“大气、平和”的特点。
与往年相比，2023年试卷总体上较为平稳，突出数学主线与主干知识，点多面广，重
点知识重点考查，体现了教、学、考的一致性。综合分析 2023年北京高考的特点，出了本
套信息卷。本套信息卷有如下特点：
●选择题的前8道题依次考查了集合、复数、双曲线的基本性质、函数性质、二项式
定理、直线与圆的位置关系及最值、平面向量、空间几何体的体积；填空题的前 3道题依
次考查了对数函数及定义域、抛物线的基本性质、平面向量与三角函数的运用
●解答题的前2题依次考查了解三角形正余弦定理的运用、统计学的百分位数和二项
分布列，这些题目设置的情境问题相对熟悉，解题思路也比较明确，与学生平时获得的数
学基本活动经验基本一致，体现了对数学知识考查的全面性与基础性。
本卷试题注重学用结合，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决问题的能力。注
重创设社会生活实际情境，关注民生问题，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文
化价值、美学价值。
●第6题和8题以日常生活中的小游戏为载体，实际上考查了圆的对称性与最值本质
特征及空间几何体的体积，体现“源于课本、高于课本、全面深化、结构关联”的特点，
以及转化与化归、特殊与一般、有限与无限的思想方法。
●第17题以电视剧《狂飙》为载体，加强学生对日常生活的关注，让学生体验到数
学源于生活中，解决于生活中，把现实与生活联系起来。秉承了历年北京概率统计解答题
的风格，既考查了学生阅读理解、提取信息的能力，又考查学生的数据分析与统计预测能
力，引导学生用数学的思考方式解决问题、认识世界。
●第18题以立体几何为劣构题，2023年北京高考以三角函数为劣构题，我猜测2024
年高考劣构题将转移到空间向量与立体几何上面来。此题第一问为存在性问题，考查学生
对空间几何体的认知，第二问开始劣构，考查二面角的余弦值。
●第19题和第20题分别考查椭圆的基本性质、导数及其应用，相当于前三道解答题，
这两道题的难易程度有所上升。第19道题考查学生的计算能力，学生可以利用多种方法区
解决。第20道题主要考查了学生数学运算和逻辑推理的核心素养，同时也体现了数学试卷
中重点问题重点考查的特点。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
C B
1．设集合 ，则 （ ）
AA． B． C． D．
2．已知复数 （其中 为虚数单位），则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线 的一个焦点坐标为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数既是奇函数又在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5． 的展开式中 的系数为 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
6．折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆
形纸片，圆心为 ，在圆内任取一点 ，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点 重合，
记此时的折痕为 ，点 在 上，则 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．已知向量 ，满足 ， ，且 ，则 （ ）
A．5 B． C．10 D．
8．夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整
逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，
从而提高参与者的适应能力.如图，三个半径都是 的玻璃弹珠放在一个半球面形状的
容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的
表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（ ）A． B． C． D．
9．已知 等差数列 的前 项和，则“ ”是“ 是递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．如图，在函数 的部分图象中，若 ，则点 的纵坐标为
（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．函数 的定义域是 .
12．已知抛物线 过点 ，则拋物线 的准线方程为
.
13．在 中， ，则 ；若 为 所
在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是 .
14．已知函数 ，其中 （1）若函数 在 单调，
则实数 的范围 ；（2）若存在互不相等的三个实数 ，使得
，则实数 的范围是 .
15．已知无穷数列 ， ．性质 ， ，；性质 ，
， ，下列说法中正确的有①若 ，则 具有性质s ②若 ，则 具有性质t
③若 具有性质s，则
④若等比数列 既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求A：
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
17．（13分）电视剧《狂飙》显示了以安欣为代表的政法人员与黑恶势力进行斗争的决心
和信心，自播出便引起巨大反响.为了了解观众对其的评价，某机构随机抽取了 位观众对
其打分（满分为 分），得到如下表格：
观众序号
评分
(1)求这组数据的第 百分位数；
(2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取 人对《狂飙》进行评价，记抽取的 人中评分
超过 的人数为 ，求 的分布列､数学期望与方差.18．（14分）在如图所示的五面体 中， 共面， 是正三角形，四边形
为菱形， 平面 ，点 为 中点.
(1)在直线 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，请说明理由；
(2)请在下列条件中任选一个，求平面 与平面 所成二面角的正弦值
； .
19．（15分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 （ 过点 ，
且离心率 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为 ，直线l与椭圆C交于A、B两点，求 的面积的最大值．20．（15分）已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的极值点的个数；
(3)若对任意的 ，关于 的方程 仅有一个实数根，求实数 的取值范围.
21．（15分）对于数列 ，若存在正数k，使得对任意 ， ，都满足
，则称数列 符合“ 条件”．
(1)试判断公差为2的等差数列 是否符合“ 条件”？
(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列 符合“ 条件”．
①求q的取值范围；
②记数列 的前n项和为 ，证明：存在正数 ，使得数列 符合“ 条件”
