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2024 年高考考前信息必刷卷 01（天津专用）
数 学
天津卷考试题型为9（单选题）＋6（填空题）＋5（解答题），其中第19题第20题属
于压轴题目，去年第19题创新考查了数列的极限，此外对于数列的求和问题也是别出心裁，
具有很强的创新性。第20题依旧是导数的综合应用，结合不等式与数列综合性很强。
天津卷坚持“以德为先，能力为重，全面发展”的命题理念，稳妥推进新高考的改革，
形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系。
即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主干知识、思想
方法、问题解决能力的考查；通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学
科本质，达到落实高考育人的目的。
天津卷通过设计创新性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学
抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。设置创新和思维深刻的问题，考查学生
的创新能力。重点关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆，关注学生的不同发展水平。
第3题一改往年的常规套路，由原来的给解析式来找对应的图像，改为了由图像去求
对应的函数解析式，更好的考查学生们对于初等函数基本性质与图像的理解，主要考察了
函数的奇偶性，以及函数的运算。相比以往具有一定的创新性。
第9题的难度并不大，考察圆锥曲线相关知识，值得注意的是此次单独考察了双曲线，
第12题与直线和圆做了结合，也是创新点。
2023年天津卷进一步优化试卷的结构，第6题是近几年年来首次将数列问题考察到小
题里面，给人耳目一新的感觉，同样的还有卷子的第 7题，关于统计概率相关首次考察相
关系数相关性问题，考查知识越来越全面，以前没考过的知识点在慢慢的考察，考察的更
全面，并在立体几何问题中首次考察点到线的距离问题。这种尝试增强了试题灵活性，为
引导教学、防止题型固化、命题方式固化起到积极的作用。可以预见的是 24年的高考题目
一定会更加灵活，对于知识点的考察会更全面。
第14题求通过平面向量的数量积的运算，巧妙的结合了二次函数求解最值，一道题目
涉及多个知识点这也将是天津卷考察的一个方向。第 15题属于函数的零点问题，属于综合
题，主要考察分类讨论思想，对参数的分类讨论，以及通过计算化简函数，再根据根的个
数来判定零点个数。
总之，2024年高考数学继续保持“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的特点，坚持
“立德树人、服务选才、引导教学”的命题指导原则，形成了“一个中心，两个着力点，
三个突出，四条路径”的评价体系，导向中学对“四具备”人才的培养，即具备自觉的数
量观念的人、具备严密推理逻辑的人、具备高度抽象概括的人、具备一丝不苟、精益求精
作风的人。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．设全集为 ，2，3，4，5， ， ，3， ， ，5， ，则
A． ， B． ， C． D． ，3，4，
2．“ ”是“函数 的图象与 轴只有一个公共点”的
A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能是
A． B．
C． D．
4．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
5．如果函数 的图象关于点 对称，则 的最小值为
A． B． C． D．
6．等比数列 中， ， ，则
A． B．2 C．4 D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．线性相关系数r＞0时，两变量正相关
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值就越接近于1
C．在回归直线方程 中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量 平均
增加0.2个单位
D．对分类变量X与Y，随机变量χ2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程
度越大
8．在棱长为2的正方体 中， 为正方形 的中心， ， ， 分
别为 ， ， 的中点，则四面体 的体积为
A． B． C． D．
9．已知 为双曲线 的右顶点， 为双曲线右支上一点，若点 关于双曲线中心 的对称点为 ，设直线 ， 的倾斜角分别为 ， 且 ，
则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
10．已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
11．在 的展开式中， 的系数是 ．
12．已知直线 被圆 截得的弦长等于该圆的半径，则实
数 ．
13．某高校进行强基招生面试，评分规则是：共设3道题，每道题答对给20分、答错倒扣
10分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生每道题答对的概率都为 ，则该学
生在面试时恰好答对2道题的概率是 ，该学生在面试时得分的期望值为 分．
14．如图，在矩形 中， ， ， ， 为 的中点，则
；若点 在线段 上运动，则 的最小值为 ．
15．函 数 ， 函 数 ， 若 函 数
恰有2个零点，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，
．
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
17．如图，在直三棱柱 中， 是 中点．（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，且 ，
①求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
②求点 到平面 的距离．
18．已知 ， 分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 的上顶点，
点 到直线 的距离为 ，椭圆 过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 过点 ，且与 轴垂直， ， 为直线 上关于 轴对称的两点，直线
与椭圆 相交于异于 的点 ，直线 与 轴的交点为 ，当△ 与 的面积
之差取得最大值时，求直线 的方程．
19．已知 是各项都为整数的等比数列， 是等差数列， ， ，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设 表示数列 的前 项乘积，即 ， ．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）若数列 的前 项和为 ，且 ，求证： ．
20．已知函数 的极大值为 ，其中 为自然对数的底数．
（1）求实数 的值；
（2）若函数 ，对任意 ， 恒成立．
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：．
