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2024年高考考前信息必刷卷（乙卷理科专用）01
数学·答案及评分标准
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D B A C B D A A D D C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．5 14． 15． （答案不唯一） 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）
【解】（1）由题意可知，当天需求量 时，当天的利润 ，
当天需求量 时，当天的利润 .
故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为: ， .
（2）由题意可得：
2 3
日需求量n 29 30 31 33
8 2
5 6
日利润 57 60 60 60
4 0
频数 3 4 6 6 7 4
所以这30天的日利润的平均数为 （元），
方差为 .（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下：
由 ，
可得 ，
所以 （ ， ， ），所以 ，
由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产.
18．（本小题满分12分）
【解】（1）∵ ，
∴由正弦定理得 ，即 ，
∴由余弦定理， ，
又∵ ，
∴ .
（2）∵ ，∴ ，
由第（1）问， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴在 中，由正弦定理， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ 的面积 .
19．（本小题满分12分）
【解】（1）连结OC， ，
，又 是以AB为直径的圆周上一点，，
≌ ，
，
又 ，OB， 平面ABC，
平面ABC， 平面PAB，
平面 平面ABC；
（2）取CD的中点E，连接PE，OE，则 ，
因为 平面ABC， 平面 ，
则 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，则 ，
∴ 是平面PCD与平面ABC所成的锐二面角的平面角.
∵ ， ，∴ .
∵ ∴ ， 是边长为1的正三角形，
∴ ，又∵ 平面ABC，
∴ ，
∴平面PCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为 .
20．（本小题满分12分）
【解】（1）由焦点是 ，可知焦点在 轴上，故设椭圆方程为 ，有题意可知，故 ，
故C的方程为
（2）联立 ，
故 ，化简得 ，
设 ，则 ， ，
故 ， ，设 ，则 ，化简
得 对任意的 恒成立，故满足
，故以PQ为直径的圆恒过定点M,且 ,
21．（本小题满分12分）
【解】（1）解：由题得 ，所以切线的斜率
又 ，所以切点坐标为 ，
所以切线方程为
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）解：由题得 ， .
所以 .
所以函数 在 上的单调递减.（3）证明：由题得 ， .
当 时， ， 所以 ，
所以函数 在 上单调递增.
当 时，令 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 .
所以存在 ,满足 .
所以函数 在 上单调递增，在 单调递减.
综合得函数 在 上单调递增，在 单调递减.
所以 在 上存在唯一的极大值点 .
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解】（1）由 ，得 ，
两式平方相加得： ；
所以曲线 的普通方程为
由 ，得 ，
，即 ；
所以曲线 的直角坐标方程为 ；（2）若 ，则 ，
故 ，
此时曲线的方程为 （ ， ），
其图像为半圆弧，如下图所示：
当曲线 ： 经过点 和 时， ；
当曲线 ： 与曲线 相切时，
有 ，是 ，由图可知 ，
故当曲线 与曲线 有两个公共点时， 的取值范围为 ，
综上， 的取值范围为 .
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解】（1）当 时, ，
由 ，可得 或 或 ，
解得 或 ，所以不等式 的解集为 或 ；
（2）由题可得 ，
可得函数的大致图象如图所示，
图象与两坐标轴交于点 ， ，
所以 ，
依题意 ，所以 ， ，
所以 ．
