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2024 年高考考前信息必刷卷 01（上海专用）
数 学
2024年上海市春季高考数学试卷分析
⭐ 试题难度分析
试题难易度程度 题量 题号 题量占比
易 7 1,3,5,6,13,14,16 33.33%
较易 7 2,7,8,9,11,15,19 33.33%
中档 5 4,10,17,18,20 23.81%
较难 2 12,21 9.52%
⭐ 知识点分析 共计：20个知识点
知识点 分值 占比
对数函数的定义域 4 2.67%
直线的倾斜角 4 2.67%
复数的运算 4 2.67%
二项式定理 4 2.67%
正弦定理 4 2.67%
基本不等式及其应用 4 2.67%
等差数列的前n项和 5 3.33%
双曲线的性质 5 3.33%
分段函数的应用 5 3.33%
异面直线及其所成的角 5 3.33%
圆的标准方程 5 3.33%
数列的应用 5 3.33%
不等关系与不等式 4 2.67%
空间中直线与平面之间的位置关系 4 2.67%
互斥事件与对立事件 5 3.33%
函数与方程的综合运用 23 15.33%
三角函数的周期性 14 9.33%
二面角的平面角及求法 14 9.33%
极差、方差与标准差 14 9.33%
直线与圆锥曲线的综合 18 12%
根据上海新高考形式解答题增加了极差、方差与标准差；分层抽样方法；众数、
中位数、平均数这一考点。
一．填空题（共12小题）
1．复数 ．
【分析】由复数的四则运算法则直接求得．【解答】解： ．
故答案为：
【点评】本题考查复数的四则运算，属于基础题．
2．函数 的定义域为 且 ．
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解： ，
则 ，解得 且 ，
故函数 的定义域为 且 ．
故答案为： 且 ．
【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范
围，是基础题目．
3．设 内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则
．
【分析】先求出 ，由正弦定理求出 ．
【解答】解：因为 ， ，所以 ，
由 ，得 ，解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
4．函数 的最小值为 ．
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．
【 解 答 】 解 ： 当 时 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
5．直线 倾斜角为 ．
【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系的应用求出结果．【解答】解：根据直线 ，故 ，
由于 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和
数学思维能力，属于基础题．
6．双曲线的渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为 ．
【分析】根据题意，由双曲线的渐近线垂直，解可得 ，进而由双曲线的离心率公式计
算可得答案．
【解答】解：根据题意，该双曲线的两条渐近线相互垂直，
可得 ，
则有 ，
则其离心率 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，是基础题．
7．在 的二项展开式中， 的系数为 ．
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【 解 答 】 解 ： 根 据 二 项 式 的 展 开 式 ：
， ；
当 时， 的系数为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计
算能力，属于基础题．
8．在正四面体 中， ， 分别为棱 、 的中点，设 ， ，
，用 ， ， 表示向量 ，异面直线 与 所成角的
余弦值为 ．
【分析】可画出图形，根据点 ， 分别为棱 ， 的中点，根据向量加法、减法和数乘的几何意义，及向量加法的平行四边形法则即可得出 ，
，然后可设正四面体的棱长为 2，从而进行数量积的运算即可求出
，并且可得出 ，然后即可求出 的值，从而
得出异面直线 与 所成角的余弦值．
【解答】解：如图，
为棱 的中点， ，
；
又 为棱 的中点， ，且 的两两夹角都为
，并设 ，
，
又 ，
，
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为： ， ．【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，正
四面体的定义，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
9．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 的取值范围为 ．
【分析】根据等差数列的性质可得公差 ，由 ， 可得 ，从而可得
，再根据等差数列的通项公式与分式变形，结合函数思想即可求得 的取值
范围．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，所以 ，由
于 ， ，所以 ，
且 ，即 ，
则 ，
由 得 ，故 ，
即 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前 项和公式，属于中档题．
10．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是．
【分析】根据函数的解析式，分析函数的单调性，进而可将 转化为：
或 ，从而可得答案．
【解答】解：因为函数 ，
所以函数在 ， 上为减函数，在 上函数值保持不变，
若 ，则 或 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查的知识点是分段函数的解析式、单调性，函数单调性的应用，属于
中档题．
11．已知以点 为圆心的圆交 轴于 ， 两点，交 轴于 ， 两点，
其中 为坐标原点，则 的面积为 1 8 ；若直线 与圆 交于 ，
两点，且 ，则圆 的标准方程为 ．
【分析】由题意，求得点 、 的坐标，可得 的面积．通过题意解出圆 的方程，
解出 的值，直线 与圆 交于点 ， ，判断 是否符合要求，可得圆的方程．
【解答】解： 以点 为圆心的圆交 轴于 ， 两点，交 轴于 ，
两点，
其中 为坐标原点， ， ，
则 的面积为 ．
若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，
则 ，故 垂直平分直线 ，
由于直线 的斜率为 ，故 的斜率为 ， ．
当 ，圆心 ，半径 ，
圆心 到直线直线 的距离为 ，大于半径，不满足题意，舍去．
当 时，圆心 ，半径 ，圆心 到直线直线 的距离为 小于半径，满足条件，
此时，圆 的标准方程为 ，
故答案为：18； ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．
12．十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1，1，2，3，5，8，13， ，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了
纪念他，就把这列数成为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为
“兔子数列”．关于斐波那契数列 给出以下四个结论：
① 是奇数；
②
③
④
其中所有正确结论的序号为 ①③④ ．
【分析】根据由斐波那契数列的项的奇偶性，累加法，
【解答】解：对①，由斐波那契数列的项的奇偶项是以两奇一偶，三项为一个周期不断循
环，
又 ， 是奇数， ①正确；
对②， ， ， ， ， ，
累加可得 ，又 ，
， ②错误；
对③， ， ， ， ， ，
累加可得 ，又 ，
， ③正确；
对④， ， ，
， ，
， ④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查斐波那契数列的项的奇偶项特征，累加法，属中档题．
二．选择题（共4小题）
13．已知 ，且 ，则下列结论一定正确的是
A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解： ，且 ，
则 ， ，
对于 ， ，即 ，故 错误；
对于 ，令 ， ， ，满足 ，且 ，但 ，故 错误；
对于 ，令 ， ， ，满足 ，且 ，但 ，故 错
误；
对于 ， ， ，
则 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．
14．设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，平行于同一个平面的两条直线可以平行、异面或相交， 错误；
对于 ，垂直于同一个平面的两条直线平行， 正确；
对于 ，平行于同一直线的两个平面可能相交， 错误；
对于 ，若 ， ，则 或 ， 错误；
故选： ．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直、平行的判断和性质，属
于基础题．
15．设 ， 为两个随机事件，以下命题正确的为
A．若 ， 是对立事件，则
B．若 ， 是互斥事件， ，则
C．若 ，且 ，则 ， 是独立事件
D．若 ， 是独立事件， ，则
【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可．【解答】解：对于 ：若 ， 是对立事件，则 ，故 错误；
对于 ，若 ， 是互斥事件， ， ，则 ，故 错误；
对于 ：若 ，则 ，则 ， 是独立事件，
故 ， 也不是独立事件，故 错误；
对于 ：若 ， 是独立事件， ， ，则 ， 也是独立事件，
， ，
则 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的
应用，属于中档题．
16．记 ， 分别为函数 ， 的导函数，若存在 ，满足
且 ，则称 为函数 与 的一个“真实点”．若函数 与
有且只有一个“真实点”，则实数 的值为
A． B． C． D．
【分析】根据题意，设 是函数 与 的“真实点”，求出两
个函数的导数，由“真实点”的定义可得 ，变形可得方程
有且只有一解，据此可得 、 的值，代入方程组计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设 是函数 与 的“真实点”，
则 ， ，
则有 ，变形可得 ，
若两个函数有且只有一个“真实点”，即方程 有且只有一解，则有△ ，解可得 ，
方程的唯一解 ，
则有 ，解可得 ，
故选： ．
【点评】本题考查函数、导数的综合应用以及函数与方程的关系，涉及导数的计算，属于
综合题．
三．解答题（共5小题）
17．已知函数 ， 的图象关于直线 对称．
（1）若 的最小正周期为 ，求 的解析式．
（2）若 是 的零点，是否存在实数 ，使得 在 ， 上单调？若存在，
求出 的取值集合；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意，利用正弦函数的周期性和对称性，求出 和 ，可得函数的解析式．
（2）由题意，利用正弦函数的对称性、单调性，求出 的取值集合．
【解答】解：（1） 函数 ， 的图象关于直线 对称，
最小正周期为 ，
， ， ，
求得 ， ，函数 ．
（ 2 ） 若 是 的 零 点 ， 由 于 的 图 象 关 于 直 线 对 称 ， 则
， ①，
根据 在 ， 上单调， ②．
由②可得 ，由①可得 ，故 ，3，5，
当 时， 在 ， 单调递增，在 ， 单调递减，不符题
意．
故 的取值集合为 ， ．
【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和对称性、单调性，属于中档题．18．在平行六面体 中，已知 ， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）当三棱锥 体积最大时，求二面角 的余弦值．
【分析】（1）设 ，连接 ， ，根据题意证明 ， ，
即可得结果；
（2）根据题意可知 ，分析可知：当且仅当
为正方体时，三棱锥 体积最大，进而结合二面角的定义分析可
知二面角 的平面角为 ，即可得结果．
【解答】（1）证明：设 ，则 为 的中点，连接 ， ，
因为 ， ， ，可知△ △ ，
可得 ，则 ，
又因为 为菱形，则 ，
且 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：设 ，则 为 的中点，连接 ， ，设 到 的距离为 ，
则 ，
当且仅当 ，即 平面 时，等号成立，
又因为 ，即 ，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
综上所述：当且仅当 为正方体时，三棱锥 体积最大，
由题意可知： ， 为 的中点，
则 ， ，可知二面角 的平面角为 ，
在△ 中， ，
可得 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查空间几何体体积求法及二面角的求法，属中档题．
19．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373
男生 377 370
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19．
（1）求 的值；
（2）现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均
数分别是 ， ， ，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和
方差．【分析】（1）由题意可知 ，从而求出 的值．
（2）先计算出初三年级的总人数，再利用分层抽样的概念即可得到结果．
（3）先求出初一、二年级应抽取的学生的人数，再利用平均数和方差的公式求解．
【解答】解：（1） ， ．
（2）初三年级人数为 ，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为 ，
（3）初一年级应抽取的学生的人数为 ，
初二年级应抽取的学生的人数为 ，
该校所有学生体重的平均数约为 ，
该 校 所 有 学 生 体 重 的 方 差 约 为
．
【点评】本题主要考查了数据的数字特征，考查了分层抽样的概念，同时考查了学生的计
算能力，是基础题．
20．已知椭圆 与抛物线 在第一象限交于点 ，
， ， 分别为 的左、右顶点．
（1）若 ，且椭圆 的焦距为2，求 的准线方程；
（2）设点 是 和 的一个共同焦点，过点 的一条直线 与 相交于 ， 两点，
与 相交于 ， 两点， ，若直线 的斜率为1，求 的值；
（3）设直线 ，直线 分别与直线 交于 ， 两点， 与 的面积
分别为 ， ，若 的最小值为 ，求点 的坐标．
【分析】（1）由题意，根据焦距和 求出椭圆方程和 ，从而得到 ，求
出准线方程；
（2）先得到 ， 和直线方程，分别联立后，得到相应的弦长，从
而分两向量方向相同和相反求出答案；（3）由三点共线得到 和 ，从而表达出 ， ，得到
，换元后得到 ，结合二次函数图象性质求
出最小值，得到方程，求出 ，进一步求出点 的坐标．
【解答】解：（1）因为椭圆 的焦距为2，
所以 ，
解得 ，
则 ，
解得 ，
则椭圆 ，
因为 ， 在第一象限， ，
所以 ，
所以 ，
将点 的坐标代入 中，
解得 ，
则 的准线方程为 ；
（2）因为点 是 和 的一个共同焦点，
所以 ，
解得 ， ，
则 ， ，
此时直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
设 ， ， ， ，由韦达定理得 ， ，
所以 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
设 ， ， ， ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，
若 方向相同，
此时 ，
若 方向相反，
此时 ，
故 ；
（3）因为 ， ， ， 三点共线，
所以 ，
解得 ，
同理，由 ， ， ， 三点共线，
可得 ，此时
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
则 ，
因为 ，
令 ，
此时 ，
所以 ，
其中 ，
因为 ，
所以 的开口向下，对称轴为 ，
其中 ，
故当 时， 取得最大值，
最大值为 ，
则 的最小值为 ，
令 ，
解得 ，负值舍去，所以 ，
解得 ，
此时 ，
又 ，
所以 ，
故点 的坐标为 ．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能
力，属于中档题．
21．设函数 在 ， 上有定义，实数 ， 满足 ．若 在区间 ， 上
不存在最小值，则称 在区间 ， 上具有性质 ．
（1）若函数 ，且 在区间 ， 上具有性质 时，求常数 的取值范围；
（2）已知 ，且当 时， ，判别 在区间 ，
上是否具有性质 ，并说明理由；
（3）若对于 的任意实数 和 ；函数 在区间 ， 上具有性质 ，且对于任
意 ，当 时，有： ，证明：
当 时， ．
【分析】（1）分别讨论 图象的对称轴 与1和2的关系，即可得出 是否存在
最小值，再求出 的取值范围；
（2）由题目条件可得出 在区间 ， 上如果有最小值，则最小值必在区间 ， 上
取到，又 在区间 ， 上不存在最小值，所以 在区间 ， 上具有性质 ；（3）首先证明证明对于任意 ， ；其次证明当 且 时，
；当 且 时， ；最后证明：当 时， 即可．
【解答】解：（1）当 ， 时， 在 ， 上存在最小值 ；
当 ，即 时， 在 ， 上存在最小值 （2）；
当 ，即 时， 在 ， 上单调递增，所以不存在最小值，
所以 的取值范围为 ， ．
（2）因为 时， ，
所以 在区间 ， 上如果有最小值，则最小值必在区间 ， 上取到；
另一方面，当 时， ；
当 时， ，此时 在区间 ， 上不存在最小值，
所以 在区间 ， 上具有性质 ．
（3）①首先证明对于任意 ， ．
当 时，由 ，
可知 介于 和 之间．
若 ，则 在区间 ， 上存在最小值 ，矛盾．
利用归纳法和上面结论可得：对于任意 ， ，当 时， ．
②其次证明当 且 时， ；当 且 时， ．
任取 ，设正整数 满足 ，则 ．
若存在 使得 ，则 ，即 ．
由于当 时， ，所以 在区间 ， 有最小值 ，矛盾．
类似可证，当 且 时， ．
③最后证明：当 时， ．
当 时， （2） （1）成立．当 时，由 可知，存在 使得
，
所以 ．
当 时，有： ．
若 ，则 ，
所以 在 ， 上存在最小值，故不具有性质 ，故不成立．
若 ，则 ， ， ．假设 ，则 在 ， 上存在最小值，故不具有性质 ，故假设不成
立．
所以当 时， 对于任意 都成都成立．
又 ，故当 、 ，
所以 ，即 ．
所以当 时，则存在正整数 使得 ，则 ，
所以当 时， ，同理可证得当 时， ．
所以当 时，必然存在正整数 ，使得 ，所以 ；
当 时， （2） （1）显然成立，
综上所述：当 时， ．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
