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高三第三次模拟押题卷（新题型结构）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知双曲线 的离心率为2，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】由双曲线 可得： ，
，所以 ，
故选：B.
2．已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】由复数 ，所以 在复平面内对应的点 位于第四象限.
故选：D.
3．在 中， ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】依题意， ， ，所以 ，
，
所以 .
故选：C.
4．如图所示，一种儿童储蓄罐有6个密码格，由购买者设定密码后方可使用，其中密码的数字只能在
中进行选择，且每个密码格都必须设定数字，则数字“1”出现奇数次的不同密码个数为（ ）
A．172 B．204 C．352 D．364
【答案】D
【详解】
若数字“1”出现1次，则有 种可能；
若数字“1”出现3次，有 种可能；
若数字“1”出现5次，则有 种可能，
故数字“1”出现奇数次的不同密码个数为 .
故选：D.
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由 ，可得 ，
则 ，
则 ，又 ，所以 ，
故选：B．
6．已知数列 是各项及公差都不为0的等差数列，若 为数列 的前 项和，则“ 成等比数
列”是“ 为常数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为数列 是公差不为0的等差数列，设其公差为 ，所以
，
若 成等比数列，则 ，解得 ，此时 ， 为常数，充分性成
立；
反之，若 为常数列，则 ，则 ，得 ，则
，
易知 ，故必要性成立，故“ 成等比数列”是“ 为常数列”的充要条件.
故选:C．
7．已知函数 ，若 是 的一个极大值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
所以 有两个不相等的实根．
于是可设 ， 是 的两实根，且 ，
当 时， ，
所以当 时 ，当 或 时 ，又 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 不是 的极值点，此时不合题意；
当 且 时，由于 是 的极大值点，故 ，即 ，
所以 ，即 的取值范围是 ．
故选：D．
8．已知正方体 的棱长为 为棱 的中点， 为侧面 的中心，过点 的平面 垂
直于 ，则平面 截正方体 所得的截面面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，取 的中点 ，分别连接 ，
在正方形 中，因为 分别为 的中点，可得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
又因为 分别为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可证： ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
即平面 截正方体 的截面为 ，
由正方体 的棱长为 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
所以截面的面积为 .
故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意确定所求截面为 ，从而得解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3
分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分
9．已知 是定义在 上不恒为0的偶函数， 是定义在 上不恒为0的奇函数，则（ ）
A． 为奇函数 B． 为奇函数
C． 为偶函数 D． 为偶函数
【答案】BCD
【详解】由题意可知， ，所以 ，所以 为偶函数，A项错误；
由 ，得 ，所以 为奇函数，B项正确；
因为 ，所以 为偶函数，C项正确；
因为 ，所以 为偶函数，D项正确.
故选：BCD.
10．已知圆 ，直线 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线 ，
切点为 ，则当切线长 取最小值时，下列结论正确的是（ ）
A． B．点 的坐标为
C． 的方程可以是 D． 的方程可以是
【答案】BCD
【详解】圆 圆心为 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离 ，因为 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线 ，切点为 ，
则切线长 的最小值为 ，故A错误；
设过点 与直线 垂直的直线方程为 ，则 ，解得 ，
所以 ，由 ，解得 ，所以 ，故B正确；
显然过点 的切线的斜率存在，
设切线 的方程为 ，则 ，解得 或 ，
所以切线 的方程为 或 ，故CD正确.
故选：BCD
11．甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人中的任何一人是等可能
的．假设第1次由甲将球传出，第k次传球后，球回到甲处的概率为 （ ），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为 ，A正确；
因为 ， ，所以 ，B错误；
因为 ，即 ，C正确；因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，D错误．
故选：AC．
【点睛】第 次传球后，球回到甲处等价于第 次传球后，球不在甲处且下一次传球给甲.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知全集 ，集合 ，集合 ，则 ．
【答案】
【详解】 ， 或 ，
则 ，
所以 .
故答案为： .
13． 中，角 、 、 的对边分别为a、b、c，若 ，
则 的周长为 ．
【答案】
【详解】因为 ，
所以 ，
即 .，由正弦定理可得： ，
由余弦定理可得： ，整理得： .
因为 ，
所以 ，整理得： ，
则 ，
所以 ，
故答案为： .
14．已知函数 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 ，若函数
有唯一零点，则实数 的值为
【答案】－1或
【详解】因为函数 有唯一零点，
所以函数 有唯一零点，又 ，
，
所以函数 是偶函数，又函数 有唯一零点，
则 的零点为0，所以 ，
因为 是R上的奇函数，所以 ，
由 ，解得 ，
所以 ，解得 或 .故答案为： 或 .
【点睛】关键点睛：解题关键是证明函数 是偶函数，结合有唯一零点确定 的零点为
0，由此列式运算得解.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知数列 为等差数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，记 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，即 ，则 ，
则数列 为等比数列，设其公比为 ，由 ，
得 且 ，解得 ，所以 ．
（2）由（1）可得 ，
所以 ①，
②，
① ②得：，
所以 ．
16．已知函数 ， ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 且 恒成立，求 的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2) .
【详解】（1） （ ），
当 时，由于 ，所以 恒成立，从而 在 上递增；
当 时， ， ； ， ，
从而 在 上递增，在 递减；
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，没有单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）令 ，要使 恒成立，
只要使 恒成立，也只要使 .
，
由于 ， ，所以 恒成立，
当 时， ，当 时， ，所以 ，解得： ，
所以 的最小值为 .
17．如图，在三棱台 中， ， ， ， ，
，垂足为O，连接BO．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以 ， ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）因为 ， ， ，所以 ，
同理可得： ，所以 是等边三角形，取 的中点 ，连接 ，所以 ，
由（1）知， 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
因为 ，设 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
可得 .
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角的为 ，
所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .18．流感病毒是一种 病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最
高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品 和治疗甲流药品 ，
根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下
2×2列联表：
甲流病毒
预防药品 合计
感染 未感染
未使用 24 21 45
使用 16 39 55
合计 40 60 100
(1)根据 的独立性检验，分析预防药品 对预防甲流的有效性；
(2)用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品 对该动物进行
治疗，已知治疗药品 的治愈数据如下：对未使用过预防药品 的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药
品 的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染
动物中被治愈的动物只数为 ，求 的分布列与数学期望．
附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析【详解】（1）假设 ：使用预防药品 与对预防甲流无效果，
由列联表可知 ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为使用预防药品 与对预防甲流有效果，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）设事件 表示使用治疗药品 并且治愈，事件 表示未使用过预防药品 ，事件 表示使用过预防
药品 ，
由题意可得 ，
且 ，
则 ，
治疗药品 的治愈概率 ，
则 ，
所以 ， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
.
19．定义：已知椭圆 ，把圆 称为该椭圆的协同圆.设椭圆
的协同圆为圆 ( 为坐标系原点)，试解决下列问题：
（1）写出协同圆圆 的方程；（2）设直线 是圆 的任意一条切线，且交椭圆 于 两点，求 的值；
（3）设 是椭圆 上的两个动点，且 ，过点 作 ，交直线 于 点，求证：点
总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析，定圆的方程为 .
【详解】（1）由椭圆 ，知 .
根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆 .
（2）设 ，则 .
直线 为圆 的切线，分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论：
①当直线 的斜率不存在时，直线 .
若 ，由 ，解得 ，此时 .
若 ，同理得： .
②当直线 的斜率存在时，设 .
由 ，得 ，有 ，又直线
是圆 的切线，故 ，可得 .
∴ ，则 ，而 .∴ ，即 .
综上，恒有 .
（3） 是椭圆 上的两个动点且 ，设 ，则 .
直线 ：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.
若直线 的斜率不存在，即点 在 轴上，则点 在 轴上，有 .
∴ ， ，且 ，
由 ，解得 .
若直线 的斜率都存在，设 ，则 .
由 ，得 ，有 ；同理，得 .
于是， .
由 ，可得 .
因此，总有 ，即点 在圆心为坐标原点，半径为 的圆上.
∴该定圆的方程为圆 .
