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绝密★启用前
2024年高考考前信息必刷卷（乙卷理科专用）01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
全国甲卷的使用将接近于尾声，往后会是新高考的题型。
全国甲卷的题型会相对稳定，考试题型为12（单选题）＋4（填空题）＋6（解答题），
2024年的对于三视图、线性规划及程序框图图的考察也将近有尾声，题目难度变化不大，但侧重于考
察学生运算能力与分析能力。
1.2023年的真题中就有开放性的题目，重在提升学生的创新能力，如本卷第15题
2.加强知识间的综合考察仍将是2024的热点，如本卷第7题
3.同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、
方法等融为一体，注意归纳题目意思。对于数学文化的知识会结合排列组合、数列及对数（指数）函数知
识进行考察，难度不大，但计算能力为考察重点。如第5题，《九章算术》与古典概型结合，第8题，数
学文化与排列组合结合，第10题，《数学名人》与数列相结合，将中国的航天事业与排列组合有机结合，
培养数学建模的核心素养
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ,可得： ，
所以 .故选：B.
2．已知 ，集合 ，则下列关系正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，故A不正确；
，所以B不正确； = ， = 或 ，
所以 ，所以C不正确，D正确.故选：D.
3．如图是一个几何体三视图， 正视图是等腰直角三角形， 侧视图和俯视图都是矩形， 则该几何体的表
面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体为三棱柱，
其表面积为 .故选：B4．已知函数 为偶函数，则 （ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．1
【答案】A
【解析】因为函数 为偶函数，所以 ，
，
，
所以 ，即得
可得 ， 成立，
所以 .故选：A.
5．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径
几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现
从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直角三角形的直角边分别是5和12，则内切圆半径为 ，
所求概率为 ，故选C．
6．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍），
又因为 ，所以 .故选：B.
7．已知函数 的相邻的两个零点之间的距离是 ，且直线 是
图象的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为相邻的两个零点之间的距离是 ，所以 ， ，所以 ，
又 ，且 ，则 ，
所以 ，则 .
故选：D.
8．为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、
《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的
2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则
这三名同学选取图书的不同情况有（ ）
A．144种 B．162种 C．216种 D．288种
【答案】A
【解析】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有 种，第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，
剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有 方法；
第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有 种分法，
分给3名同学中的2名同学，有 种分法，剩余1名同学，
从这4本中任选一本阅读，有 种分法，共有 种方法.
故这三名同学选取图书的不同情况有 种.
故选：A.
9．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆锥爬
行一周后回到点 处，若该小虫爬行的最短路程为 ，则这个圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥的顶点为 ，以母线 为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示，
小虫爬行的最短路程为 ， ，又 ，
， ，设圆锥底面半径为 ，高为 ，则 ，解得： ， ，
圆锥体积 .
故选：A.
10．洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡
斯数列为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，即 ， ，且
.则洛卡斯数列 的第 项除以 的余数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设数列 各项除以 所得余数所形成的数列为 ，
则数列 为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
由上可知，数列 是以 为周期的周期数列，即对任意的 ， ，
因为 ，所以 .
故选：D.
11．已知点 ， 是双曲线 上的两点，线段 的中点是 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ，则 ，
两式相减得 ，
即 ，∴ .
故选D.
12． 中， ，O是 外接圆圆心，是 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】过点O作 ，垂足分别为D，E，如图，因O是 外接圆圆心，则D，E分
别为AC， 的中点，
在 中， ，则 ，即 ，
，同理 ，
因此，
，
由正弦定理得： ，当且仅当 时取“=”，
所以 的最大值为3.故选：C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知抛物线 ，点 是抛物线上一点，则抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为
．【答案】5
【解析】因为点 是抛物线上一点，
所以 ，
解得 ，
故抛物线方程为 .
令 ，得 .
所以抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为 .
14．已知 满足约束条件 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，
可化简为 ，即斜率为 的平行直线，
结合图形可知，当直线 过点 时， 取最小值，当直线 过点 时， 取最大值，
由 ，解得 ，所以 ，则 ,
由 ，解得 ，所以 ，则 ，所以可求得 的取值范围为 ，
15．若数列 是公比为 的等比数列， ，写出一个满足题意的通项公式 .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由 ，得 ，即 ，即 ，所以 .
令 ，所以 ，所以可取 （答案不唯一）
16．已知函数 ，若 在 上单调递减，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】对 求导，得 ．
∵ 在 上单调递减，∴ 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
令 ，则 ．设 ，则 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴当 时， 取得最小值 ，∴ ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每
个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完.
（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，
）的函数解析式；
（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：
2 3
日需求量n 29 30 31 33
8 2
频数 3 4 6 6 7 4
假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差；（3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10
天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生
产？并给出理由.
【解】（1）由题意可知，当天需求量 时，当天的利润 ，
当天需求量 时，当天的利润 .
故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为: ， .
（2）由题意可得：
2 3
日需求量n 29 30 31 33
8 2
5 6
日利润 57 60 60 60
4 0
频数 3 4 6 6 7 4
所以这30天的日利润的平均数为 （元），
方差为 .
（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下：
由 ，
可得 ，
所以 （ ， ， ），所以 ，
由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产.
18．（本小题满分12分）如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，过点 作
，交线段 于点 ，且 ， ， .(1)求 ；
(2)求 的面积.
【解】（1）∵ ，
∴由正弦定理得 ，即 ，
∴由余弦定理， ，
又∵ ，
∴ .
（2）∵ ，∴ ，
由第（1）问， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴在 中，由正弦定理， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ 的面积 .
19．（本小题满分12分）如图，AB是 的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且(1)求证：平面 平面ABC；
(2)若 ，点D是 上一点，且与C在直径AB同侧， 求平面PCD与平面ABC
所成的锐二面角的正切值．
【解】（1）连结OC， ，
，又 是以AB为直径的圆周上一点，
，
≌ ，
，
又 ，OB， 平面ABC，
平面ABC， 平面PAB，
平面 平面ABC；
（2）取CD的中点E，连接PE，OE，则 ，
因为 平面ABC， 平面 ，
则 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，则 ，
∴ 是平面PCD与平面ABC所成的锐二面角的平面角.
∵ ， ，∴ .
∵ ∴ ， 是边长为1的正三角形，∴ ，又∵ 平面ABC，
∴ ，
∴平面PCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为 .
20．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点是 ，一个顶点的坐标是 ．
(1)求C的方程．
(2)设动直线 与椭圆C相切于点P，且与直线 交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过定
点M，并求出M的坐标．
【解】（1）由焦点是 ，可知焦点在 轴上，故设椭圆方程为 ，有题意可知
，故 ，
故C的方程为
（2）联立 ，
故 ，化简得 ，
设 ，则 ， ，
故 ， ，设 ，则 ，化简
得 对任意的 恒成立，故满足，故以PQ为直径的圆恒过定点M,且 ,
21．（本小题满分12分）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明： 在 上存在唯一的极大值点．
【解】（1）解：由题得 ，所以切线的斜率
又 ，所以切点坐标为 ，
所以切线方程为
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）解：由题得 ， .
所以 .
所以函数 在 上的单调递减.
（3）证明：由题得 ， .
当 时， ， 所以 ，
所以函数 在 上单调递增.
当 时，令 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 .所以存在 ,满足 .
所以函数 在 上单调递增，在 单调递减.
综合得函数 在 上单调递增，在 单调递减.
所以 在 上存在唯一的极大值点 .
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，( 参数)，以 为极点， 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）若 ，当曲线 与曲线 有两个公共点时，求 的取值范围.
【解】（1）由 ，得 ，
两式平方相加得： ；
所以曲线 的普通方程为
由 ，得 ，
，即 ；
所以曲线 的直角坐标方程为 ；
（2）若 ，则 ，故 ，
此时曲线的方程为 （ ， ），
其图像为半圆弧，如下图所示：
当曲线 ： 经过点 和 时， ；
当曲线 ： 与曲线 相切时，
有 ，是 ，由图可知 ，
故当曲线 与曲线 有两个公共点时， 的取值范围为 ，
综上， 的取值范围为 .
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知 ， ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2) ，若 图象与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的取值范围．
【解】（1）当 时, ，由 ，可得 或 或 ，
解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ；
（2）由题可得 ，
可得函数的大致图象如图所示，
图象与两坐标轴交于点 ， ，
所以 ，
依题意 ，所以 ， ，
所以 ．
