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2024 年高考考前信息必刷卷 02（上海专用）
数 学
⭐ 试题难度分析
试题难易度程度 题量 题号 题量占比
易 3 1,13,14 14.29%
较易 11 2,3,4,5,6,7,8,9,10,15,18 52.38%
中档 6 11,12,16,17,19,20 28.57%
较难 1 21 4.76%
⭐ 知识点分析 共计：21个知识点
知识点 题量 占比
一元二次不等式及其应用 1 4.76%
等比数列的前n项和 1 4.76%
二倍角的三角函数 1 4.76%
函数的值域 1 4.76%
复数的运算 1 4.76%
圆的一般方程 1 4.76%
余弦定理 1 4.76%
相互独立事件和相互独立事件
1 4.76%
的概率乘法公式
平面向量的数量积运算 1 4.76%
二项式定理 1 4.76%
三角形中的几何计算 1 4.76%
棱锥的结构特征 1 4.76%
元素与集合关系的判断 1 4.76%
散点图 1 4.76%
三角函数的最值 1 4.76%
曲线与方程 1 4.76%
直线与平面所成的角 1 4.76%
函数奇偶性的性质与判断 1 4.76%
离散型随机变量的期望与方差 1 4.76%
直线与抛物线的综合 1 4.76%
数列与函数的综合 1 4.76%
2023年上海高考大题的顺序是亮点，17题依然是立体几何，但是考了多年不曾出现
的二面角；18 题考察常规函数题；19 题是我们预测的概率统计应用题，考察了较多
概念，包括条件概率、独立判断、分布列与期望等；20题依然是圆锥曲线综合，第 3
问结合了恒成立问题；21 题考察导数与数列综合，此题是若干年前江苏高考压轴题
的变式，类似“牛顿下山法”。一．填空题（共12小题）
1．设集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
．
2．已知 是等比数列 的前 项和， ， ，则 ．
3．已知 ， ，则 ．
4．若函数 的值域为 ， ，则实数 的取值范围是 ．
5．已知复数 满足 为虚数单位），则 的虚部是 ， ．
6．过点 ，且圆心与已知圆 相同的圆的一般方程为 ．
7．顶角为 的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观．如图所
示， 是黄金三角形， ，作 的平分线交 于点 ，易知 也是
黄金三角形．若 ，则 ；借助黄金三角形可计算 ．
8．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过
90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 ．
9．在 中， ， ， ， 为 的外心，若 ，
， ，则 ．
10．在 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．
11．已知 的边 ，且 ，则 的面积的最大值为 ．
12．如图，在正三棱锥 中，底面边长为 ，侧面均为等腰直角三角形，现该三
棱锥的表面上有一动点 ，且 ，则动点 在三棱锥表面所形成的轨迹曲线的长度为
．二．选择题（共4小题）
13．已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
， ， ，则它们
14．对三组数据进行统计，获得以下散点图．关于其相关系数依次是
的大小关系是
A． B． C． D．
15．函数 在区间 ， 上恰有两个最小值点，则 的取值范围为
A． B． ， C． D．
16．已知 ， 是曲线 上两点，若存在 点，使得曲线 上任意一点 都存在 使得
，则称曲线 是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自
相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
三．解答题（共5小题）
17．如图，在圆柱中，底面直径 等于母线 ，点 在底面的圆周上，且 ，
是垂足．
（1）求证： ；
（2）若圆柱与三棱锥 的体积的比等于 ，求直线 与平面 所成角的大小．18．已知函数 是定义域上的奇函数，当 时， 的最小值
为4．
（1）求实数 ， 的值；
（2）令 ，对 ， ， ，都有 ，求
实数 的取值范围．
19．寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，
在不下雪的时候，他跑步的概率为 ，跳绳的概率为 ，在下雪天，他跑步的概率为
，跳绳的概率为 ．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为 ，若前一天下
雪，则第二天仍下雪的概率为 ．已知寒假第一天不下雪，跑步 3000米大约消耗能量
330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第 天不下雪的概率为 ．
（1）求 ， ， 的值，并证明 是等比数列；
（2）求小明寒假第 天通过运动锻炼消耗能量的期望．20．设抛物线 的焦点为 ，经过 轴正半轴上点 的直线 交 于不同的
两点 和 ．
（1）若 ，求点 的坐标；
（2）若 ，求证：原点 总在以线段 为直径的圆的内部；
（3）若 ，且直线 ， 与 有且只有一个公共点 ，问： 的面积是
否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出 点的坐标，若不存在，请说明理由．
21．设函数 ．
（1）求函数 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）证明：对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；
（3）证明：对于任意 ，由（2）中 构成的数列 满足 ．
