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专题02 复数小题综合
一、填空题
1．（2023·上海·模拟预测）已知当 ，则 ______；
【答案】
【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案.
【详解】 ， .
故答案为： .
2．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）若复数 为纯虚数，则实数
______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用复数的乘法运算结合复数的概念求解作答.
【详解】复数 ， ，
依题意， ，解得 ，
所以实数 .
故答案为：
3．（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知复数 ，则
__________.
【答案】
【分析】根据共轭复数概念以及实部、虚部概念可得 .
【详解】根据 可得 ， ，
所以 .
故答案为：4．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知复数 （其中
是虚数单位），则 ________．
【答案】 /
【分析】根据复数模的性质计算即可.
【详解】 .
故答案为： .
5．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）在复数集中，若复数z满足 ，则
___________．
【答案】
【分析】设出 ，再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出
结果.
【详解】设 ，则 ，则 ，解得 ，
或 ，所以 或 ，
故答案为：
6．（2023·上海·统考模拟预测）设复数 满足 （ 为虚数单位），则
________.
【答案】
【分析】求出 ，进而利用复数的模长性质求出答案.
【详解】 ，故 .
故答案为：
7．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知复数 （其中 为虚数单位），则 _________．
【答案】 /
【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念计算即可.
【详解】因为 ，所以 .
故答案为： .
8．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）已知 是关于x的方程
的一个根，则q=____________.
【答案】4
【分析】根据实系数一元方程复数根互为共轭复数，可求得另一个根，在利用韦达定
理结合复数的乘法运算求出 .
【详解】因为 是关于 的方程 的一个根，
所以 时方程的另一个根，
则 .
故答案为：4.
9．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知 为虚数单位，则复数 的虚部是
______．
【答案】
【分析】根据复数虚部的定义即可求解.
【详解】根据复数虚部的定义可知，复数 的虚部是 .
故答案为：
10．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）复数 （ 为虚数单位）是
实系数方程 的一个解，则实数 __________．
【答案】13
【分析】由实系数方程复数根的性质及根与系数的关系即可求得 ．
【详解】由题意，方程的另一个根为 ，
则 ，故答案为： ．
11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）若复数 满足 ，
则 ________．
【答案】
【分析】设 ， ，依题意可得 ，根据复数代数形式的乘法运算
及复数相等的充要条件得到方程，即可求出 、 的值，从而求出其模.
【详解】设 ， ，由 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，则 .
故答案为：
12．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知 、 是关于x
的方程 的两个根，则 ________.
【答案】
【分析】在复数范围内解关于x的方程 ，结合复数模的计算公式，即得
答案.
【详解】在复数范围内解关于x的方程 ，
可得 ，或 ，
故 或 ，
故答案为：
13．（2023·上海·高三专题练习）已知复数 （其中 为虚数单位），则实数 _________．
【答案】
【分析】利用复数相等的条件即可求解.
【详解】由题意可知， ，解得 ,
所以实数 .
故答案为： .
14．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）已知复数 满足
， __________．
【答案】
【分析】根据复数的运算法则及求模公式计算即可.
【详解】由题意可得： .
故答案为：
15．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知 为虚数单位，复数 ，则
______.
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算求得 ，可得 ，根据复数模的计算即得答案.
【详解】由 可得 ，
故 ，
故答案为：
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在复平面内，复数z所对应的点为
，则 ___________．
【答案】2【分析】根据复数的几何意义可得 ，由乘法运算即可求解.
【详解】由题意可知 ，所以 ，
故答案为：2
17．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）若复数 是 的一个根，
则 _____.
【答案】
【分析】设设 ， ，代入 中，得到方程组，求出 ，
求出模长.
【详解】由题意得 ，设 ， ，
则 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
故 .
故答案为：
18．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知复数 满足 ，则复
数 的虚部为__________.
【答案】
【分析】由题意知，求复数 的虚部可转化为先求 ，从而解得．
【详解】因为 ，
所以 ，故 ，
故复数 的虚部为 .
故答案为： .19．（2023·上海嘉定·校考三模）若复数 是 的一个根，则 ______.
【答案】
【分析】设 ， ，代入 中，得到方程组，求出 ，
求出模长即可.
【详解】由题意得 ，设 ， ，
则 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
故 .
故答案为：
20．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）复数 （其中 为虚数单
位）的虛部是__________.
【答案】-4
【分析】根据复数的乘除法和运算和虚部的概念即可求解.
【详解】
，
故 的虚部为-4.
故答案为：-4.
21．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）复数 在复平
面的第二象限内，则实数a的取值范围是________．【答案】
【分析】根据复平面上的点与复数实部、虚部关系列出不等式求解即可.
【详解】因为复数在复平面的第二象限内，所以 ，解得 .
故答案为：
22．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知复数 在复平面内对应的点是A，
其共轭复数 在复平面内对应的点是 是坐标原点， 若A在第一象限， 且
， 则 ________.
【答案】
【分析】设点A坐标，根据共轭复数的概念得B坐标，再由 得A横纵坐标的
关系式，根据复数的除法运算求值即可.
【详解】设 ，则由共轭复数的概念可得： ，
由 得： ，
因为 ，所以 ，故 ，
故 .
故答案为： .
23．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）复数 满足 ，
则 ________.
【答案】
【分析】设出 ，利用 得到方程组，解方程组求出， 的值，从而可求出 .
【详解】设 ，则 ，
所以 则 ，
所以 ，解得： ，所以 ，
故 .
故答案为：
24．（2023春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）在复平面内，复数 对
应的点的坐标为 ，则 ___________．
【答案】
【分析】利用复数的几何意义和复数的运算即可求解.
【详解】因为复数 对应的点的坐标为 ，则 ，
则 ，
故答案为： .
25．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知复数 ，其
中 .则 的最小值为__________.
【答案】
【分析】根据复数所表示的几何意义得 ，再利用绝对值不等式即可得
到答案.
【详解】在图中作出复数 ，和 的位置，分别为点 ,
令复数 所在复平面上的点为 ，易得 ，所以四边形 为平行四边形，
因为 ，所以四边形 为菱形，
， ，所以复数 所表示的点在线段 上（包括端点），
因为四边形 为菱形，
所以 垂直平分 ，所以有 .
于是由三角不等式， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
此时 .
故答案为：4.
二、单选题
26．（2023·上海长宁·统考二模）设复平面上表示 和 的点分别为点A和点
B，则表示向量 的复数在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】由复数的几何意义求出 ，即可得出向量 的复数在复平面上所对应的点
所在象限.
【详解】复平面上表示 和 的点分别为点A和点B，
则 ，所以 ，
所以向量 的复数在复平面上所对应的点位于第一象限.
故选：A.27．（2023·上海·高三专题练习）已知复数 （ 为虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据复数运算公式求 的代数形式，再求 及 的值.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
28．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知 ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】C
【分析】设 ， ，根据复数相等的充要条件及充分条件、必要条件的定
义判断即可.
【详解】设 ， ，则 ，
若 ，即 ，所以 ，则 ，此时 ，故充分性成立；
若 ，则 ，则 ，故必要性成立；
故“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
29．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）已知复数 ，则“ ”是“
”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】当 时，即 ， ，充分性；取 ，则
， ，不必要，得到答案.
【详解】设 ， ，当 时，即 ，
，充分性；
取 ，则 ， ，不必要性.
综上所述：“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
30．（2023·上海·高三专题练习）复数z满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 在复平面内对应的点位于第四象限 D．
【答案】D
【分析】由复数除法可得 ，再根据复数的运算和共轭复数、复数对应的点、
模的定义判断选项.
【详解】由 可得 ，
所以 ，故A错误；
由 知 ，故B错误；
在复平面内对应的点 位于第三象限，故C错误；
由 知 ，故D正确.
故选：D
