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2024 年高考考前信息必刷卷 03（北京专用）
数 学
北京卷考试题型为10（单选题）＋4（单空+双空）+1(多选：一般四选三)＋6（劣构题：
解三角形/三角函数、空间向量与立体几何、统计与概率分布列、椭圆、导数及其运用），
其中第21题属于综合题，目前主要集中考数列和集合，综合了新定义、集合论、归纳法、
排除法、演绎证明等思想和方法，考查学生创新能力。
北京卷坚持“以德为先，能力为重，全面发展”的命题理念，稳妥推进新高考的改革，
形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系。
即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主干知识、思想
方法、问题解决能力的考查；通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学
科本质，达到落实高考育人的目的。
北京卷通过设计现实性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学
抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。设置创新和思维深刻的问题，考查学生
的创新能力。重点关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆，关注学生的不同发展水平。
相比于去年，在试卷结构上保持一致，依然是单项选择题、填空题和解答题，每一类
题型的难度预设基本符合从易到难的分布；在考查内容上基本保持一致，强调基础性、综
合性。在试题的表述形式上，简洁、规范，图文准确并相互匹配，呈现方式坚持多样化，
延续了北京数学试卷“大气、平和”的特点。
综合分析2023年北京高考的特点，出了本套信息卷。本套信息卷有如下特点：
●选择题的前8道题依次考查了集合、函数的基本性质、复数、等差数列综合运用、
对数运算、双曲线的性质、直线与圆的位置关系、空间几何体中圆柱及展开图的应用；填
空题的前3道题依次考查了二项式定理、直线与抛物线的位置关系、平面向量的综合运用。
●解答题的前2题依次考查了解三角形正余弦定理的运用、概率及其分布列，这些题
目设置的情境问题相对熟悉，解题思路也比较明确，与学生平时获得的数学基本活动经验
基本一致，体现了对数学知识考查的全面性与基础性。劣构题继续采用解三角形的题型，
预测2024年劣构题可能为解三角形。
本卷试题注重学用结合，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决问题的能力。注
重创设社会生活实际情境，关注民生问题，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文
化价值、美学价值。
●第16题以解三角形为劣构题，2023年北京高考以三角函数为劣构题，本试卷猜测
2024年高考劣构题将转移到解三角形上面来。重点考察正余弦定理的应用。
●第17题以人工智能OpenAI为背景，第一问考查了分布列的知识点，第二位考查的
是概率分布列的数字特征-数学期望的运用。此题利用社会热点问题，让学生体验数学源于
生活、应用于生活。
●第18题考查的是空间向量与立体几何，第一问考查学生利用几何法去证明线面垂
直，第二问考查的是线面所成角问题。2023年北京高考把立体几何与空间向量放在第 16
题上，考查学生求二面角问题，猜测2024年会考线面所成角问题。同样第一问还是秉承原
来的风格，继续强调几何法的运用。
●第19题和第20题分别考查椭圆的基本性质、导数及其应用，相当于前三道解答题，
这两道题的难易程度有所上升。第19道题考查学生的计算能力，考查学生如何把几何问题
代数化。第20道题主要考查了学生数学运算和逻辑推理的核心素养，同时也体现了数学试
卷中重点问题重点考查的特点。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若集合 ，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用并集及补集的定义即可求解.
【详解】
因为 ，
所以 或 ，
所以 .
故选：C.
2．下列函数中在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合常见函数的图象和性质进行判断.
【详解】对于A，因为 是周期函数，在 上不单调，故A错误；
对于B， 在 上是 ，单调递增，故B错误；
对于D， 是二次函数，图象是开口向上的抛物线，对称轴为 轴，
所以它在 上为增函数，故D错误；
对于C，只有 这个函数在 上单调递减，故C正确..
故选：C
3．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为
，所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第二象限.
故选：B
4．已知公差为 的等差数列 满足： ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等差数列通项公式直接求解即可.
【详解】 ， ，
.
故选：C.
5．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.
【详解】
，
，
，
.
故选：D．
6．设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是 上的一点，若 的
一条渐近线的倾斜角为 ，且 ，则 的焦距等于（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】
借助双曲线的定义与渐近线方程计算即可得.【详解】由渐近线的倾斜角为 ，可得 ，
由 ，可得 ，
故 ， ，则 ，故 .
故选：D.
7．在平面直角坐标系 中，直线 上有且仅有一点 ，使 ，则直线
被圆 截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用垂径定理直接求解即可.
【详解】由题意知：坐标原点 到直线 的距离 ；
圆 的圆心为 ，半径 ， 被圆 截得的弦长为 .
故选：D.
8．如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．
磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外
运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱
体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的 2倍，若石磨的侧面积为 ，则圆柱底
面圆的半径为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
【答案】A
【分析】设圆柱底面圆的半径为 ，则圆柱的高为 ，结合圆柱的侧面积公式运算求解.
【详解】设圆柱底面圆的半径为 ，则圆柱的高为 ，
则石磨的侧面积为 ，解得 .
故选：A.
9．德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，
通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕
以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下
关系： ，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
【答案】B
【分析】
根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.
【详解】
设火星的公转周期为 ，长半轴长为 ，火星的公转周期为 ，长半轴长为 ，
则， ，且
得： ，
所以， ，即： .
故选：B．
10．已知 都是第二象限角，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项.
【详解】若 ，则 即 ，
而 都是第二象限角，故 ，故 ，
故“ ”是“ ”的充分条件.
若 ，因为 都是第二象限角，故 ，
所以 即 ，
故“ ”是“ ”的必要条件，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知 的二项展开式中， 项的系数是18，则 的值为 .
【答案】3
【分析】求出展开式的通项，由 项的系数是18求得 的值.
【详解】 展开式的通项为 ，
令 ，得 ，所以 项的系数为 ，所以 .
故答案为：3
12．直线 经过抛物线 的焦点，且与抛物线交于 两点，则
， ．
【答案】 4
【分析】根据点在直线上可求 ，再利用抛物线的定义即可求得弦长.
【详解】由题可得 所以抛物线的焦点为 ，所以 解得 ，
所以直线方程为
设 ，联立 化简得 ，
所以 ，则 ，
故答案为: ； .
13．设向量 ，且 ，则 ; 和
所成角为
【答案】 /
【分析】
将 化简变形，并将坐标代入求出 ，根据 判断两个向量夹角为直角.
【详解】因为 ，.
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 和 所成角为 .
故答案为： ；14．函数 ，将 的图象上所有的点纵坐标保持不变横坐标变为原来
的 倍，然后将所得图象向左平移 个单位长度得到函数 ，则化简后 ，
若函数 在 内恰有4个零点，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据三角函数图象平移可得 ，再代入 ，数形结合求解
即可
【详解】由题意 ，又 在 内恰有4个零点，
故 ，即 在 内恰有4个零点，
则 在 内恰有4个零点，
数形结合可得，当 时 有两根，当 时 也有两根，
故 ，即 ，故 的取值范围是 .
故答案为：
15．已知函数 ，则下列说法正确的有
①． 的单调减区间为
②．若 有三个不同实数根 ， ， ，则
③．若 恒成立，则实数 的取值范围是④．对任意的 ， ，不等式 恒成立
【答案】②③④
【分析】对于①，作出函数 的图象即可判断；对于②，根据题意结合图象的对称性分
析运算即可判断；对于③，根据图象结合图象平移分析运算即可判断；对于④，利用作差
法计算证明即可.
【详解】对于①，作出函数 的图象，如图1所示：
由图可知， 的单调减区间为 ，但不能用并集符号链接，①错误；
对于②，根据题意作 交 于3点，并且三点的横坐标分别为 ，
不妨设 ，易知 关于 对称，所以 ，
又因为 ，所以 ，②正确；
对于③，当 时， 显然不成立， 不合题意，舍去；
当 时， 可以通过 向左平移 个单位得到，如图2 ，显然不成立，舍去；
当 时， 可以通过 向右平移 个单位得到，如图3，
以射线 与 相切为临界.
即 ，则 ，
，解得 ，则 ，综上所述，实数 的取值范围是 ，③正确；
对于④，对任意的 ，则 ，
，当且仅当 时，等号成立，
即 ，则 ，
，④正确.
故选：②③④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．在 中， .
(1)求 的值；
(2)从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 存在且唯一确定，
求 的值.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ，
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分.
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）利用正弦定理化简可得 ，即可得 ；（2）对条件①②③的组合进行分类讨论可知，只有选择①③才满足题意，计算可得
，再由正弦定理可得 .
【详解】（1）由 利用正弦定理可得 ，
即 ，
易知 ，所以 ，可得 ，
又 ，所以 ；
（2）由（1）可得 ，即 ；
若选择①②，
由 可知 ，
又 ，可知 ，显然该三角形不存在；
若选择②③，
则 ，即 ；
又 ，可得 ；
联立 可知该方程无解，
所以只能选择①③,
由①得 ，又 可得 ；
此时 ，解得 ；
由正弦定理 可得 ，
即 .
17．2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最
长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有
创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为
“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第
一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，
考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试
合格得6分，否则得0分．已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合
格的概率为0.7．
(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记 为甲同学的累计得分，求 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【答案】(1)分布列见详解
(2)先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由见详解.
【分析】
（1）由已知可得 的所有可能取值，分别计算概率即可求解；
（2）设甲同学先进行“数据结构算法”考试，记 为甲同学的累计得分，求解 的分布列，
分别计算 ， 的期望，比较大小，即可求解.
【详解】（1）由题意 的所有可能取值为 ， ， ，
所以 ， ，
，
所以 的分布列为
（2）甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由如下：
由（1）可知 ，
甲同学先进行“数据结构算法”考试，记 为甲同学的累计得分，
则 的所有可能取值为 ， ， ，
， ，
，
所以 的分布列为
，
所以 ，
所以甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题.
18．如图，四棱锥 的底面是矩形， 是等边三角形，平面
平面 分别是 的中点， 与 交于点 ．(1)求证： 平面 ；
(2)平面 与直线 交于点 ，求直线 与平面 所成角 的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】
（1）利用面面垂直性质定理证明 平面 ，可得 ，再利用向量法证明
，然后由线面垂直判定定理可证；
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，利用向量法
可解.
【详解】（1）因为 为正三角形， 是 中点，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
，
又 在平面 内且相交，故 平面
（2） 分别为 的中点， ，
又平面 过 且不过 ， 平面 ．
又平面 交平面 于 ，故 ，进而 ，
因为 是 中点，所以 是 的中点．
以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
， ，设平面 法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，得 ，
则 ，
因为 ，所以 .
19．已知椭圆 的方程 ，右焦点为 ，且离心率为
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是椭圆 的左、右顶点，过 的直线 交 于 两点（其中 点在 轴上
方），求 与 的面积之比的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）根据离心率以及焦点即可求解；
（2）①当 斜率不存在时，易知 ；②当 斜率存在时，设
与椭圆方程联立，得到 ，利用韦达定理可得
，设 ，转化为 ，可得答案．
【详解】（1）设椭圆焦距为 ，
由题意可得 ，
故椭圆方程为（2）
当 斜率不存在时，易知 ；
②当 斜率存在时，设 ， , ， , ，
由 ，得 ，显然 ，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又 ，
设 ，则 ， ，解得 且 ，
所以 ，
综上可得 的取值范围为 ．
20．已知函数 ，曲线 在点 处的切线为
，记 ．
(1)当 时，求切线 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数 的零点并证明 ；
(3)当 时，直接写出函数 的零点个数．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)函数 有唯一零点 ，证明过程见解析
(3)2
【分析】（1）只需分别求出 即可得解；
（2）首先有 ， ，令
，我们可以通过构造导数来说明 ，即 ，这
表明了 单调递增，注意到 ，由此即可进一步得证；
（3）首先我们可以连续求导说明函数 在 上递减，在 上递增.其次
，故 .进一步有 ，
然后分 两种情况分类讨论即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
而 ，所以 ，
从而切线方程为 ，也就是 .
（2）由题意 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ， ，
所以 ，即 ，
所以当 时， 单调递减， ，
当 时， ， ，
所以 ，即 ，
所以当 时， 单调递增， ，
综上， 恒成立，也就是 恒成立，
所以 在 上单调递增，又因为 ，故函数 有唯一零点 ，
且当 时， ，当 时， ；
因此当 时， ，当 时， ，
故 ；
（3）对 个实数 ，定义 和 分别为 中
最大的一个和最小的一个.
现在， ，故 ，
令 ，再对 求导一次得到 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
故函数 在 上递减，在 上递增.
由于曲线 在 处的切线斜率为 ，
故该切线的方程为 ，从而 .
现在我们有 ，故 .
首先我们有 ，
，故 .
已证函数 在 上递减，在 上递增，下面我们分情况讨论：
当 时：
由于
，
故 ，
同时由 在 上递增，知 ，而，
故 在 上必存在一个零点，记该零点为 ，
则有 ，且 ，从而 .
由于函数 在 上递减，在 上递增， ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
这表明 在 上递减，在 和 上各自递增.
由于 在 上递增，故 在 上至多有一个零点，而
.
同时，当 时，有
故 ，
这表明当 时，有
.
故 必有一个零点 ，且 .
已证 在 上至多有一个零点，这就说明 在 上恰有一个零点.
然后，当 时，由于 在 上递减，在 上递增，故
. 而 ，这说明 在 上恰有一个零点.根据以上的讨论，知 恰有2个零点；
当 时：
由于
，
故 ，
同时由 在 上递减，知 ，而 ，
故 在 上必存在一个零点，记该零点为 ，
则有 ，且 ，从而 .
由于函数 在 上递减，在 上递增， ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
这表明 在 上递减，在 和 上各自递增.
由于 在 上递增，故 在 上至多有一个零点，
而 .
同时，当 时，有：
故 ，
设 ，则当 时 ，
故 在 上递增，所以当 时 ，即 .
所以当 时，有：这表明当 时，
有 ， ，
从而
.
故 必有一个零点 ，且 .
已证 在 上至多有一个零点，这就说明 在 上恰有一个零点.
然后，当 时，由于 在 上递减，在 上递增，
故 . 而 ，这说明 在 上恰有一个零点.
根据以上的讨论，知 恰有2个零点.
综上，无论哪种情况， 都恰有2个零点，从而零点个数为2.
21．若数列 满足：存在 和 ，使得对任意 和 ，都有 ，
则称数列 为“ 数列”；如果数列 满足：存在 ，使得对任意
，都有 ，则称数列 为“ 数列”；
(1)在下列情况下，分别判断 是否“ 数列”，是否“ 数列”？① ， ，
；② ， ；
(2)若数列 ， 是“ 数列”，其中 且 ，求 的所
有可能值；
(3)设“ 数列” 和“ 数列” 的各项均为正数，定义分段函数 ，
如下：记 为“不超过 的最大正整数”， 证明：若 是周期函
数，则 是“ 数列”.
【答案】(1)①是“ 数列”，不是“ 数列”；②是“ 数列”也是“ 数列”
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）列举出①②中两个数列，结合“ 数列”、“ 数列”的定义判断可得出结论；
（2）分 、 、 三种情况讨论，在第一种情况下，利用不等式的基本性质结合
“ 数列”的定义验证即可，在第二种情况下，推导出 的符号交替变化可得出结
论，在第三种情况下，利用反证法推出矛盾，综合可得结果；
（3）设 的周期为 ，假设 不是“ 数列”，利用反证法推出矛盾，可证得对任
意 ，都有 为常数列，由此可证得结论成立.
【详解】（1）解：对于①， ， ， ，
则数列 的各项分别为： 、 、 、 、 、 、 ，
所以， ，且 ，
故数列 是“ 数列”，不是“ 数列”；
对于②， ， ，
则数列 的各项分别为： 、 、 、 、 、 ，
当 时， ，此时，数列 是“ 数列”，也是“ 数列”.
（2）解：①若 ，则 且 ，合题意.
③若 ，则 且 .
因为 ，所以数列 的符号正负交替变化.不合题意.
④若 ，
首先，数列 中不可能出现连续两项为 .
（否则前一项为 ，依此类推，之前各项均为 ，不合条件）
假设 是“ 数列”，则存在 ，对任意 ，都有 或都有 .
若都有 ，则 ， ，出现矛盾；
若都有 ，则 ， ，也出现矛盾；
故 不是“ 数列”.
综上， .
（3）解：设 的周期为 （注意，不能确定 ，感觉是对的，似乎很难证.）
由题，存在 和 ，对任意 和 ，有 ， 单调不减.
假设 不是“ 数列”，则存在 ，使得 .
以下推导矛盾：对任意 ，数列 是周期数列，必有最大值，设 是最大值，其中 .
一方面，因为 的周期为 ，所以存在 ，使得 .
另一方面， ，与 矛盾.
所以假设不成立，即对任意 ，都有 为常数列.
所以 是“ 数列”.
