文档文本内容
2024年高考考前信息必刷卷（甲卷理科专用）02
数学·答案及评分标准
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B C D C D D C C D A B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．1 14． 15． 16．6
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）
【解】（1）证明：设等比数列 的公比为 ，则 ， .
由 得：
解得： 因此数列 为“ 数列”.
（2）因为 ，所以 .
由 ， ，得 ，则 .
由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
整理得 .
所以数列 是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列 的通项公式为 ，
显然数列 不是“ 数列”.
18．（本小题满分12分）
【解】（1）设 为 的中点， 为 的中点， ，则 ，
故 ，则 ，
又 ，则 ，
所以 是 的角平分线，且 三点共线.
由 ，且 ,得 面 ，则 ；
（2）法一：连结 .
由 平面 得，平面 平面 ，交线为 ，
所以 在面 上的射影点 在 上，
为直线 与平面 所成角.
在 中， ，由余弦定理得 ，
，故 ， ，
又 ，在 得，由余弦定理得 ，则 ，
所以 ，
由（1）得 为角平分线，在 中， ，由余弦定理得 ，则 ，所以
，所以直线 与平面 所成角的正切值为7.
法二：如图，以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系.
，
设 ，由 ， 得
，
得 . ,
平面 法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，所以
， ,则 ，
所以直线 与平面 所成角的正切值为7.19．（本小题满分12分）
【解】（1）设小王与小张比赛小王获胜记为事件A，小马与小张比赛小张获胜记为事件B，
小马与小王比赛小马获胜记为事件C，且A，B，C相互独立.
则
设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件M，则
（2）X的可能取值为1，2
则X的分布列为
X 1 2
P
则
20．（本小题满分12分）
【解】（1）因为 的外接圆与抛物线的准线相切，
所以 的外接圆的圆心到准线的距离等于半径，
因为外接圆的周长为 ，所以圆的半径为3，又圆心在 的垂直平分线上， ，
，解得： ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）设 的方程为 ， ， ，
由 得 ， ，则 .
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，化简得 ，
所以 ，所以 ，
所以 的方程为 ，恒过定点 .
21．（本小题满分12分）
【解】（1）定义域为 ，
得 ，即 ，
设 ，因为 ， ，
故 ，而 ， ，得 ，
若 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
所以 是 的极小值点，故 ．综上， ．（2）由题意知 ，两式相加得 ，
两式相减得 ，即 ，
所以 ，
即 ，显然 ，记 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 时， ，
所以 在 上单调递增，又 ，故 ，
所以 ，所以 ，则 ，即 ．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解】（1）将 的参数方程两边同时平方并相减，得 ，
故曲线 的直角坐标方程为 .
将 代入 的极坐标方程得 .
故 的直角坐标方程为 ， 的直角坐标方程为 .
（2）由 可得 的直角坐标方程为 ， 的直角坐标方程为 ，
联立方程组 ，解得
故 与 公共点的直角坐标为 .
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解】（Ⅰ）因为 ， ， 均为正数，由重要不等式可得
， ， ，
以上三式相加可得 ，
即 ；
（Ⅱ）因为 ，由（Ⅰ）可知 ，
故 ，
所以 得证．
