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2024 年高考考前信息必刷卷 02（天津专用）
数 学
天津卷考试题型为9（单选题）＋6（填空题）＋5（解答题），其中第19题第20题属
于压轴题目，去年第19题创新考查了数列的极限，此外对于数列的求和问题也是别出心裁，
具有很强的创新性。第20题依旧是导数的综合应用，结合不等式与数列综合性很强。
天津卷坚持“以德为先，能力为重，全面发展”的命题理念，稳妥推进新高考的改革，
形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系。
即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主干知识、思想
方法、问题解决能力的考查；通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学
科本质，达到落实高考育人的目的。
天津卷通过设计创新性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学
抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。设置创新和思维深刻的问题，考查学生
的创新能力。重点关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆，关注学生的不同发展水平。
本套试卷，相对于往年高考试卷做了一些调整和创新，考察的还都是高考常用知识点。
本试卷上的第四题区别以往的统计图的形式，考察统计的一些知识点的基本概念，众数，
平均数，中位数，方差，初次之外考察了高考中暂时还未考察到的百分位数的概念，内容
上更全面。第九题考察函数与图像的交点相关知识，在去年的高考中以填空题出现，在本
试卷中以选择的题目形式出现，相当于降了一点难度。另外安排了两道填空题来考察关于
解析几何的知识，分别是13题综合考察了双曲线还有抛物线的基础知识，14题考察直线
和圆里面的弦长公式，以及点到直线的距离公式，两道题目的难度都不大，旨在考察学生
基础知识点的把握。
在本套试卷大题方面，立体几何延续近几年的高考的方式，考察线面角和面面角。不
过将立体图形的地面设计成菱形，增加了一点建立坐标系的难度。关于椭圆的考察延续 21
年22年的关于只有一个公共点的考法，结合对向量的考察主要锻炼学生的计算能力。第
19题关于数列的考察主要考察求和运算中的裂项相消，其次在最后一题的设计中考察到了
学生关于数列的放缩。第20题作为压轴题考察全面设计单调性切线的基础问题，对于参数
范围的讨论，构造函数解决问题，蕴含大量的运算，综合性很强。
总之，2024年高考数学继续保持“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的特点，坚持
“立德树人、服务选才、引导教学”的命题指导原则，形成了“一个中心，两个着力点，
三个突出，四条路径”的评价体系，导向中学对“四具备”人才的培养，即具备自觉的数
量观念的人、具备严密推理逻辑的人、具备高度抽象概括的人、具备一丝不苟、精益求精
作风的人。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．设集合 ， ，2，4， ， ，5， ，则
A． ，2， B． ，2，3，4，5， C． ， D． ，2，4，5，6，2．已知命题 和命题 ，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数 为自然对数的底数）的部分图象大致为
A． B．
C． D．
4．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：7，5，9，7，4，
8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是
A．众数为7和9 B．方差为
C．平均数为7 D．第70百分位数为8
5．设 ，则
A． B． C． D．
6．已知函数 的最小正周期为 ，其图象关于直线
对称．给出下面四个结论：
①将 的图象向右平移 个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；
②点 为 图象的一个对称中心；
③ ；
④ 在区间 上单调递增．其中正确结论的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知数列 为等比数列， 为数列 的前 项和，若 ， ， 成等差数列，
则
A． B． C． D．
8．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是
官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用
图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个
正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为 4，
若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
A． B． C． D．
9．已知函数 ，若方程 有三个不等的实数根 ， ， ，
则 的取值范围为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
10．若复数 ，则 ．
11．已知 展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是 ．
12．某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲
从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则至少有一名是女志
愿者的概率为 ；在“抽取的3人中至少有1名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全
是男志愿者”的概率是 ．
13．已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别
交于 ， 两点， 为坐标原点．若双曲线的离心率为2， 的面积为 ，则．
14．若过点 的直线 和圆 交于 ， 两点，若弦长
，则直线 的方程为 ．
15．如图，在 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点， 为 与
的交点，且 ．若 ，则 ；若 ， ，
，则 ．
三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
17．如图，在多面体 中，底面 为菱形， ， 平面 ，平面 ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面 和平面 的夹角的余弦值．
18．已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，且过点
且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与
垂直的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
19．已知数列 中， ， ， ，数列 的前 项和为 ．（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ；
（3）在（2）的条件下，设 ，求证： ．
20．设 为实数，函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，直线 是曲线 的切线，求 的最小值；
（3）若方程有两个实数根，，证明：．
