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绝密★启用前
2024年高考考前信息必刷卷（乙卷理科专用）02
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
全国甲卷的使用将接近于尾声，往后会是新高考的题型。
全国甲卷的题型会相对稳定，考试题型为12（单选题）＋4（填空题）＋6（解答题），其中结构不良
型试题是对接新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数列两大模块，以解答题的方式进行考查。
2024年的对于三视图、线性规划及程序框图图的考察也将近有尾声，题目难度变化不大，但侧重于考
察学生运算能力与分析能力。
1.加强知识间的综合考察仍将是2024的热点，如本卷第9题，第14题，第15题
2.同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、
方法等融为一体，注意归纳题目意思。对于数学文化的知识会结合排列组合、数列及对数（指数）函数知
识进行考察，难度不大，但计算能力为考察重点.如第4题，将《海岛算经》与数列有机结合，第10题，
将载人航天与概率联系，第13题，冬奥会与古典概型结合，培养逻辑推理，数学运算，数学建模的核心素
养
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 的实部与虚部的和为12，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
4．《海岛算经》有如下问题：某地有一佛塔共13层，每层塔的高度依次构成等差数列，下面7层塔的高
度之和为25.9米，自下而上第5层塔的高度为3.6米，则最上层的塔高为（ ）
A．3米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米
5．过抛物线 的焦点 的直线交 于 ， 两点，若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．1
6．执行下面的程序框图，如果输入的 ，那么输出的
A．1 B． C． D．
7．如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 ， 的一点，则下面结论中错误的是
（ ）
A． B．C． 平面 D．平面 平面
8．已知等比数列 的前n项和为 ，若 =1， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长
交双曲线右支于点 ， 为坐标原点，若 为 的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业
取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试
验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务
则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为 ， ， ，
每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知三棱锥 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足 ， ，若该
三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在 上的函数 的图象关于点 成中心对称，对任意的实数 都有
，且 ， ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．-673 D．673
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，
其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”"雪容融”等，小明现有“冬梦”"飞跃”“冰墩墩”"雪容融”邮票各2张，他打算从这8张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有“冰墩墩”邮票
又有“雪容融”邮票的概率为 .
14．已知抛物线 与坐标轴交于 ， ， 三点，则 外接圆的标准方程为 .
15．已知函数 ，若函数 在 上没有零点，则 的取值范围是 ．
16．函数 在 上有两个极值点，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）在① ，② 外接圆面积为 ，这两个条件中任选一个，补
充在下面横线上，并作答.
在锐角 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且______.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中，底面 是圆内接四边形. ，
， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点 在 内运动，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
19．（本小题满分12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，人工栽培和野生植物数量不断增
加.为调查该地区某种植物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据 （ ，2，…，15），其中 和 分别表示第i个样区的
植物覆盖面积（单位：公顷）和这种植物的数量，并计算得 ， ， ，
， .
(1)求该地区这种植物数量的估计值（这种植物数量的估计值等于样区这种植物数量的平均数乘以地块数）；
(2)求样本 （ ，2，…，15）的相关系数（精确到0.01）；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种植物数量更
准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数 ， .
20．（本小题满分12分）已知 ， 是椭圆E： 上的两点．
(1)求椭圆E的方程．
(2)若直线l与椭圆E交于C，D两点（C，D均不与点A重合），且以线段CD为直径的圆过点A，问：直
线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
21．（本小题满分12分）已知函数 ，其中 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 内只有一个零点，求 的取值范围.
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数，m为常数）以直角坐
标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若曲线C与直线l有公共点，求m的取值范围．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知 为正数，且满足 证明：
（1） ；
（2）
