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绝密★启用前
2024年高考考前信息必刷卷（甲卷理科专用）02
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
全国甲卷的使用将接近于尾声，往后会是新高考的题型。
全国甲卷的题型会相对稳定，考试题型为12（单选题）＋4（填空题）＋6（解答题）
2024年的对于三视图、线性规划及程序框图图的考察也将近有尾声，题目难度变化不大，但侧重于考
察学生运算能力与分析能力。
1.加强知识间的综合考察仍将是2024的热点，如本卷第10题，第11题，第14题
2.结合2024年九省联考试题的结构及其特点，预测 2023年新高考地区也将出现新定义问题的大题，
例如本卷第17题，以新定义为背景与数列相结合。
3.同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、
方法等融为一体，注意归纳题目意思。对于数学文化的知识会结合排列组合、数列及对数（指数）函数知
识进行考察，难度不大，但计算能力为考察重点.如第8题，将中国的传统折扇与三角函数有机结合，第 9
题沙漏与立体几何联系，第15题，冬奥会与古典概型结合，培养数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素
养
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．复数 的共轭复数的虚部为
A． B． C． D．
2．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功
能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：则下列结论中不正确的是（ ）
A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600 B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上
C．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙
3．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
5． 在 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 存在最大值0，则a的值为（ ）A．1 B．2 C．e D．
7．如图，矩形ABCD是圆柱 的轴截面， ，E，F为底面圆周上的点，且 ，
，M为CD的中点，则直线AB与平面EFM所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是
文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为 时，折扇的外观看上去是比
较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长 与弧长 之比为（ ）
A． B． C． D．
9．沙漏也叫沙钟，是一种测量时间的装置，基本模型可以看成是由两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高
均为 ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 ，当细沙全部漏入下部的圆锥后，恰好堆成一个盖住
沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积与细沙全都在上部时的圆锥侧面积之比为（ ）A． B． C． D．
10．已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 的左顶点，点 在过 且斜率
为 的直线上， 为等腰三角形， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 在 内有且仅有3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面向量 ， 满足 ，它们的夹角为 ，则 ．14．已知圆 关于双曲线 ： 的一条渐近线对称，则 .
15．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会隆重开幕，双奥之城北京成功谱写了精彩、非凡、卓越
的奥林匹克新篇章，镌刻下这个冬天的美好记忆．奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲
的团结．五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取4个点，则这4个点恰好位于同一个奥林匹克环上的
概率为 ．
16．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，若 的面积为 ，则 周长的
最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ 数列”.
(1)已知等比数列 满足： ， ，求证：数列 为“ 数列”.
(2)已知数列 满足： ， ，其中 为数列 的前 项和，求数列 的通项公式，并
判断数列 是否为“ 数列”.
18．（本小题满分12分）如图，在 中， ， ， 为 的中点， ，
.现将 沿 翻折至 ，得四棱锥.（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正切值
19．（本小题满分12分）1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯敦世乒赛中美两国
选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进
一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王､小张､小马三人进
行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规
则循环进行比赛.由抽签决定小王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王
获胜的概率为 ，小马与小张比赛小张获胜的概率为 ，小马与小王比赛小马获胜的概率为 .
(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
(2)比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.
20．（本小题满分12分）已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为抛物线上一点， 为坐标原
点， 的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 ，设不垂直于 轴的直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ，若 ，
证明直线 过定点并写出定点坐标.
21．（本小题满分12分）已知函数 ．
(1)若 恒成立，求a；(2)若 的两个零点分别为 ，证明： ．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点为极点， 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的直角坐标方程；
(2)求 与 公共点的直角坐标.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设a、b、c均为正数，
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，证明 .
