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2024 年高考考前信息必刷卷 02（上海专用）
数 学
⭐ 试题难度分析
试题难易度程度 题量 题号 题量占比
易 3 1,13,14 14.29%
较易 11 2,3,4,5,6,7,8,9,10,15,18 52.38%
中档 6 11,12,16,17,19,20 28.57%
较难 1 21 4.76%
⭐ 知识点分析 共计：21个知识点
知识点 题量 占比
一元二次不等式及其应用 1 4.76%
等比数列的前n项和 1 4.76%
二倍角的三角函数 1 4.76%
函数的值域 1 4.76%
复数的运算 1 4.76%
圆的一般方程 1 4.76%
余弦定理 1 4.76%
相互独立事件和相互独立事件
1 4.76%
的概率乘法公式
平面向量的数量积运算 1 4.76%
二项式定理 1 4.76%
三角形中的几何计算 1 4.76%
棱锥的结构特征 1 4.76%
元素与集合关系的判断 1 4.76%
散点图 1 4.76%
三角函数的最值 1 4.76%
曲线与方程 1 4.76%
直线与平面所成的角 1 4.76%
函数奇偶性的性质与判断 1 4.76%
离散型随机变量的期望与方差 1 4.76%
直线与抛物线的综合 1 4.76%
数列与函数的综合 1 4.76%
2023年上海高考大题的顺序是亮点，17题依然是立体几何，但是考了多年不曾出现
的二面角；18 题考察常规函数题；19 题是我们预测的概率统计应用题，考察了较多
概念，包括条件概率、独立判断、分布列与期望等；20题依然是圆锥曲线综合，第 3
问结合了恒成立问题；21 题考察导数与数列综合，此题是若干年前江苏高考压轴题
的变式，类似“牛顿下山法”。一．填空题（共12小题）
1．设集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
， ．
【分析】先求出集合 ，再根据 可求出结果．
【解答】解：由题意得 ， ，所以 ，则
，即 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
2．已知 是等比数列 的前 项和， ， ，则 ．
【分析】由条件结合等比数列通项公式求首项 和公比 ，再利用求和公式求 ．
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
由 ， ，
可得 ， ，
解方程得， 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式和前 项和公式，属于基础题．
3．已知 ， ，则 2 ．
【分析】根据正余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的关系化简求解即可．
【解答】解：因为 ，即 ，
由正余弦的二倍角公式可得 ，
又 ，所以 ， ，故 ， ．
故答案为：2．
【点评】本题考查了正余弦的二倍角公式，属于基础题．
4．若函数 的值域为 ， ，则实数 的取值范围是 ， ．
【分析】根据指数函数的单调性可得出， 时， ；根据二次函数的单调性可
得出， 时， ，再根据 ， 即可得出 ，解出 的范
围即可．
【解答】解： 时， ； 时， ，且 的值域为 ， ，
，
，
实数 的取值范围是： ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了指数函数、二次函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，
函数值域的定义及求法，考查了推理和计算能力，属于基础题．
5．已知复数 满足 为虚数单位），则 的虚部是 ， ．
【分析】利用复数的运算法则求出 ，再由复数虚部，模的定义即可得出．
【解答】解：因为 ，所以 ，
则 的虚部是 ， ，
故答案是 ， ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的虚部，模的定义，属于基础题．
6．过点 ，且圆心与已知圆 相同的圆的一般方程为
．
【分析】先求出圆 的圆心及半径，即可求出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程
即可．
【解答】解：将圆 的方程化为标准方程得 ，
则圆心 的坐标为 ，
故所求圆的半径 ，
所求圆的方程为 ，即 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了圆的方程的求解，关键是确定圆心及半径，属于基础题．
7．顶角为 的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观．如图所
示， 是黄金三角形， ，作 的平分线交 于点 ，易知 也是
黄金三角形．若 ，则 ；借助黄金三角形可计算 ．
【分析】结合已知条件及三角形的相似关系可求三角形的相应边长，然后结合正弦定理即
可求解．
【解答】解：由题可得 ， ，
所以 ，
得 ，且 ．
设 ，则 ，所以 ，可解得 （负值舍去）．
因为 ．
在 中，根据余弦定理可得 ，所以 ．
故答案为： ； ．
【点评】本题主要考查了三角形的正弦定理的简单应用，属于基础试题．
8．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过
90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 0. 9 ．
【分析】根据事件的基本关系运算即可．
【解答】解：设事件 “数学超过90分“，事件 “物理超过90分“，
则 （A） ， （B） ， ，
（A） （B） ．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查事件的基本关系，是基础题．9．在 中， ， ， ， 为 的外心，若 ，
， ，则 7 ．
【分析】令边 ， 中点分别为 ， ，将 分别用 和 表示，再与
求数量积即可列式计算作答．
【解答】解：如图，设边 ， 中点分别为 ， ，连接 ， ，
因为点 为 的外心，于是 ， ，
所 以 ， ，
，
所以 ， ，
依 题 意 ， ，
，
解得 ，
所以 ．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题．
10．在 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于 25 2 ．
【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于 ，求得 ．在展开式的通项公
式中，令 的幂指数等于0，求得 的值，即可求得展开式中的常数项．
【解答】解： 在 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，
，解得 ，中， ， ，1， ，8，
当 ，即 时，常数项为 ．
故答案为：252．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的
系数，二项式系数的性质，属于中档题．
11．已知 的边 ，且 ，则 的面积的最大值为
．
【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到 ，再利用三角形
面积公式得 ，再转化为三
角函数的性质，求函数的最大值．
【解答】解：由题意，设 中角 ， ， 所对应的边长度分别为 ， ， ，则有
，
由 ，可得 ，
整理得 ，
，
， ，
，
由正弦定理可得 ，
，则有 ．
故 的面积
．
， ，
当 时， 的面积 取得最大值 ．
故答案为： ．【点评】本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变
形和正弦定理得到 ，为后面转化为关于 的三角函数求最值奠定基础，
属中档题．
12．如图，在正三棱锥 中，底面边长为 ，侧面均为等腰直角三角形，现该三
棱锥的表面上有一动点 ，且 ，则动点 在三棱锥表面所形成的轨迹曲线的长度为
．
【分析】先找出动点 在三棱锥各个面的轨迹分别为 ， ， ，分别求出各段
弧对应的圆心角，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，轨迹为曲线 ，
因为在正三棱锥 中，底面边长为 ，侧面均为等腰直角三角形，
故 ，
在 中，因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
故 ，
又 ， ，
所以 ，
则 ， ，
所以点 的轨迹长度为 ．
故答案为： ．【点评】本题考查了空间中动点轨迹长度的求解，涉及了三角形中边角关系的应用，弧长
公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
二．选择题（共4小题）
13．已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】求出集合 ，然后判断集合 ， 的包含关系，再根据选项即可判断求解．
【解答】解：解不等式 可得： ，
则集合 ，
又集合 ，则 ，
所以 ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了集合的包含关系，属于基础题．
14．对三组数据进行统计，获得以下散点图．关于其相关系数依次是 ， ， ，则它们
的 大 小 关 系 是
A． B． C． D．
【分析】由图分析得到正负相关即可．
【解答】解：由题意得，
第一组数据线性相关，且正相关，
第二组数据线性相关，且负相关，
第三组数据无相关关系，
故 ，
故选： ．【点评】本题考查了变量相关关系的判断，属于基础题．
15．函数 在区间 ， 上恰有两个最小值点，则 的取值范围为
A． B． ， C． D．
【分析】先作出函数 的图象，然后结合图象在 ， 内恰有两个
最小值点，建立关系式解之即可．
【解答】解：作出函数 的图象，
， ，
要使在 ， 内恰有两个最小值点，
所以 ，解得 ，即 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象的应用，解题的关键是作出函数图象，同时考查
了学生的转化的能力．
16．已知 ， 是曲线 上两点，若存在 点，使得曲线 上任意一点 都存在 使得
，则称曲线 是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自
相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【分析】根据定义结合图象，验证 是否恒成立即可．
【解答】解： 椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的 点，使得 成立，
故①正确，
在双曲线中， ， ，当 时， 点不存在；当 ， 时， ，
但当 ，此时 ，这与 矛盾，故②错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证 是
否成立是解决本题的关键，是中档题．
三．解答题（共5小题）
17．如图，在圆柱中，底面直径 等于母线 ，点 在底面的圆周上，且 ，
是垂足．
（1）求证： ；
（2）若圆柱与三棱锥 的体积的比等于 ，求直线 与平面 所成角的大小．
【分析】（1）欲证 ，先证 平面 ，根据线面垂直的判定定理可知只需
证 ， ，且 ，即可证得线面垂直；
（2）点 作 ， 是垂足，连接 ，易证 是 与平面 所成的角
在三角形 中求出此角即可．
【解答】证明：（1）根据圆柱性质， 平面 ．
平面 ，
．
是圆柱底面的直径，点 在圆周上，
，又 ，
故得 平面 ．
平面 ，
．
又 ，且 ，
故得 平面 ．
平面 ，
．
解：（2）过点 作 ， 是垂足，连接 ．根据圆柱性质，平面 平面 ， 是交线．且 平面 ，所以 平面
．
又 平面 ，所以 是 在平面 上的射影，从而 是 与平面
所成的角．
设圆柱的底面半径为 ，则 ，
于是 圆柱 ， ．
由 ，得 ，可知 是圆柱底面的圆心， ，
．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，属于
中档题．
18．已知函数 是定义域上的奇函数，当 时， 的最小值
为4．
（1）求实数 ， 的值；
（2）令 ，对 ， ， ，都有 ，求
实数 的取值范围．
【分析】（1）根据奇函数性质可得 ，利用基本不等式求出最小值可得 ，求
解即可；
（2）令 ， ， ，则 ， ，原问题等价于 在 ，
上恒有 成立，即 在 ， 上恒成立，利用二次函数
的性质求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，对应定义域内任意 ，函数 满足 ，
因为 ， ，
所以 ，从而解得 ，所以 ，
当 时， ，当 ，即 时，等号成立，
所以此时函数的最小值为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ；
（2）由（1）可得 ，
，
令 ， ， ，
由对勾函数的性质可知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 ， ，
则原问题等价于 在 ， 上恒有 成立，
即 在 ， 上恒成立，
由二次函数的性质可知 的开口向上，对称轴为 ，
所以 在 ， 上单调递增，
所以 （5） ， （4） ，
所以 ，
解得 ，
又因为 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查了奇函数的性质、对勾函数的性质、二次函数的性质及转化思想，属于
中档题．
19．寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，
在不下雪的时候，他跑步的概率为 ，跳绳的概率为 ，在下雪天，他跑步的概率为
，跳绳的概率为 ．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为 ，若前一天下
雪，则第二天仍下雪的概率为 ．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量
330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第 天不下雪的概率为 ．
（1）求 ， ， 的值，并证明 是等比数列；（2）求小明寒假第 天通过运动锻炼消耗能量的期望．
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式即可求解；
（2）根据期望公式求解即可．
【解答】解：（1）依题意， ， ，
，
依题意 ，
整理得 ， ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）由（1），寒假第 天不下雪的概率 ，
从 而 小 明 寒 假 第 天 跑 步 的 概 率 为
，
则他第 天通过运动锻炼消耗能量为 ．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望，考查等比数列的应用，是中档题．
20．设抛物线 的焦点为 ，经过 轴正半轴上点 的直线 交 于不同的
两点 和 ．
（1）若 ，求点 的坐标；
（2）若 ，求证：原点 总在以线段 为直径的圆的内部；
（3）若 ，且直线 ， 与 有且只有一个公共点 ，问： 的面积是
否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出 点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接代入计算；（2）用向量法，只需证明 为钝角，即可；（3）求
出直线 的方程为 ，联立解方程，由 ，得 ，利用三角
形的面积公式和基本不等式求出最小值，得出 的坐标．
【解答】解：（1）抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，设 ， ，由 得 ，代入方程 ，得 ，
故 点的坐标为 或者 ；
证明：设 ， ， ， ，直线 ， 联立消去 得，
，
由韦达定理： ， ，
由 ，
故 为钝角，原点 总在以线段 为直径的圆的内部；
设 ， ， ，则 ，得 ， ，
故直线 ，
因为直线 和直线 平行，直线 的方程为 ，
代入抛物线方程得： ，由 ，得 ，
设 ，则 ， ，
，当且仅当 取等号，
由 ，得 ， ，
故 ， 的面积存在最小值2．
【点评】考查了直线与抛物线综合应用，向量法求角，基本不等式求最值，综合性较高，
难度较大．
21．设函数 ．
（1）求函数 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）证明：对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；
（3）证明：对于任意 ，由（2）中 构成的数列 满足 ．
【分析】（1）求出导函数，然后求解导数值即切线斜率，代入点斜式方程即可求解；
（2）根据 ，得函数 在 上是增函数，又 （1） ， ，根据零点存在性定理可证；
（3）由 在 上单调递增，可得 ，再 减 变形化简，利
用放缩法得证．
【解答】解：（1） ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以函数 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，即 ；
（2）证明：对每个 ，当 时，
由函数 ，
可得 ，
故函数 在 上是增函数．
由于 （1） ，当 时， ，即 （1） ．
又 ，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的 ，满足 ；
（3）证明：对于任意 ，由（1）中 构成数列 ，当 时，
，
．
由 在 上单调递增，
可得 ，即 ，
故数列 为减数列，
即对任意的 、 ， ．
由于 ①，②，
用①减去②并移项，利用 ，可得
．
综上可得，对于任意 ，由（1）中 构成数列 满足 ．
【点评】本题考查数列与函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．
