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2024 年高考考前信息必刷卷 02（江苏专用）
数 学
新题型新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为为 8（单选题）＋3（多选
题）＋3（填空题）＋5（解答题），新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、
排列顺序进行了大幅度的调整。所以在最后备考阶段，更精准把握考点，考试题型的结构
和各种考试题型的分布，精准备考，提升效益。
本套试卷第4题,用盆景为背景,看作圆台,数学中有些问题的原型来原于实际生活,理解
用所学的圆台体积公式解決问题.第5题用微积分中的泰勒級数公式构造成阶乘问题,理解转
化用三角函数中的弧度制与角度制转化来解決问题.第6题用“蚊香”为原型,构造成圆弧长，
数列等知知识解決问题.第14题考查全概率问题.
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1.已知集合 ， ，则 的子集个数为
（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.1
【答案】C
【分析】根据直线与圆的位置关系求出集合 的元素个数，再求解子集个数即可.
【详解】集合 表示直线 上点的集合，集合 表示圆 上点的集
合.
圆 的圆心坐标为 ，半径为3，
点 到直线 的距离为 ,所以直线 与圆 相交，
所以 共有2个元素，所以 的子集个数为 .
故答案为：4.
2.已知x，y为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．24 B．25 C． D．
【答案】B
【分析】把 变为 ，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【详解】因为x，y为正实数，且 ，所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为25.
故选：B
3.已知定义在R上的函数 满足： ，且 时， ，
则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.
【详解】任取 ，则 ，
而 时， ，则 ，
，
所以 在 上单调递减，
， ，
取 ，则 ，令 ，得 ，
所以 为 上的奇函数，
，即 ，则 ，解得
故选：A.
4.为努力推进“绿美校园”建设，营造更加优美的校园环境，某校准备开展校园绿化活动．
已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，圆台两底面直径分别为18厘米，9厘米，母
线长约为7.5厘米．现有2000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养
土约为（ ）（参考数据： ）
A．1.702立方米 B．1.780立方米
C．1.730立方米 D．1.822立方米
【答案】B
【分析】利用圆台的结构特征求高，再由圆台体积公式求体积，即可求2000个该种花盆所
需要的营养土.
【详解】令 （单位厘米），
则花盆的高 ，
所以花盆的体积为 ，
故2000个该种花盆共需要营养土约为 立方厘米，即1.780立方米.
故选：B
5.英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理
著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，
如： ，其中 ．根据该展开式可知，与
的值最接近的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断
即可.
【详解】原式 ，
故选：C.
6.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用
数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 ，作一个等边三
角形 ，然后以点B为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点D（第
一段圆弧），再以点C为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点E，再以
点A为圆心， 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧
时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可.
【详解】由题意每段圆弧的中心角都是 ，每段圆弧的半径依次增加1，
则第 段圆弧的半径为 ，弧长记为 ，则 ，
所以 .
故选：D．
7.已知向量 满足 与 垂直，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】向量垂直则数量积为零，由此求出 ，求 ，利用平方法转化为数量积进行
计算．【详解】由 与 垂直，得 ，则 ，
所以 1，
所以当 时， 的最小值为
故选：C
8.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球
放入乙箱中，以 ， 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，
以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A． ， 互斥 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答
案.
【详解】因为每次只取一球，故 ， 是互斥的事件，故A正确；
由题意得 ， ， ， ，
，故B，D均正确；
因为 ，故C错误.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 ， 为复数，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 与 中至少有一个是0
C．若 ，则
D．
【答案】ABD
【分析】根据复数运算对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】设 ， ，
则 ，A选项正确.
若 ，
则 ，则 或 ，所以 与 中至少有一个是0，B选项正确.若 ，则可能 ，C选项错误.
，
，D选项正确.
故选：ABD
10.在 中，若 ，则（ ）
A．对任意的 ，都有
B．对任意的 ，都有
C．存在 ，使 成立
D．存在 ，使 成立
【答案】AD
【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC.
【详解】在 中，当 时， ，取 ，则 ， ，
， ，则 ，B错，D对；
显然 ，即 ，则 ，
令 ， ， ，
因此函数 在 上单调递减，则 ，即 ，从而
，A对，C错.
故选：AD
11.关于下列命题中，说法正确的是（ ）
A．已知 ，若 ， ，则
B．数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的 分位数为
C．已知 ，若 ，则
D．某校三个年级，高一有 人，高二有 人.现用分层抽样的方法从全校抽取
人，已知从高一抽取了 人，则应从高三抽取 人.
【答案】BCD【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得 ，知A错误；将数据按照从
小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B正确；由正态分布曲线的对称
性可求得C正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，
知D正确.
【详解】对于A， ， ， ，解得： ，
A错误；
对于B，将数据从小到大排序为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， 分位数为第 个数，即 ，B正确；
对于C， ，
，C正确；
对于D， 抽样比为 ， 高二应抽取 人，则高三应抽取
人，D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧面展开
图的圆心角大小为 ，球O的体积与圆锥M的体积的比值为 ．
【答案】 /120°
【分析】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R，圆锥M的母线长为l，再根据球与圆
锥的表面积公式求得 ，即可得圆锥M的侧面展开图的圆心角大小；根据勾股定理求
得 ，再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可
【详解】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R，圆锥M的母线长为l，则
，所以 ，圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为 ；球O的
体积为 ，圆锥M的高 ，圆锥M的体积为 ，
所以球O的体积与圆锥M的体积的比值为 ．
故答案为： ，
13.在工业生产中轴承的直径服从 ，购买者要求直径为 ，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在 之内，则 至少为 ；（若
，则 ）
【答案】0.1/
【分析】依题意得 ，则 ，由 ，得
，即可求解.
【详解】若 ，则 ）
因为工业生产中轴承的直径服从 ，
所以 ，则 ，
由 ，
得 ，
则要使拒绝的概率控制在 之内，则 至少为 .
故答案为： ##
14.某羽毛球超市销售4种品牌（品牌 ， ， ， ）的羽毛球，该超市品牌 ， ， ，
的羽毛球的个数的比例为 ，品牌 ， ， ， 的羽毛球的优品率分别为0.8，
0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中
随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球
的品牌为 （填入 ， ， ， 中的1个）．
【答案】D
【分析】先确定不是品牌 ，再利用全概率公式分别计算不买ACD品牌的概率即可求解.
【详解】因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有
，所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌 ．
若他不买品牌 的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为
．
若他不买品牌 的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为
．
若他不买品牌 的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为
．
故答案为：D
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数 的最小正周期为 ．
(1)求 的值，并写出 的对称轴方程；
(2)在 中角 的对边分别是 满足 ，求函数 的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数 ，再根据周期求出 的
值,利用整体法即可求解对称轴.
（2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得 ，故 ，故
，根据正弦函数的定义域和值域求出 的取值范围．
【详解】（1）
．
， ．
故
令 ，解得 ，
故对称轴方程为：
（2）由 得 ，
．
， ， , ．
， ，
，16（15分）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，且 ，
，点 在线段 上，点 在线段 上.
(1)求证： ；
(2)若 平面 ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三
角形的边角关系求解.
（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.
【详解】（1）证明：过 作 直线 于 ，连接 .
由题知 ，
，即 ，
又 平面 , 平面 ，
又 平面 ，
，即
（2）方法一： 平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 .
以 为原点，以 的长度为单位长度，以 的方向分别为 轴， 轴， 的正
方向建立空间直角坐标系 ，如图，则 .
平面 .
为 中点，由题知
设 ，
，
，
又在 中， ，
所以 .
方法二： 平面 .设 ，由 知，
.
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ，又 平面 ，又 ，
平面 .
（3）由（2）知，平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 令 则 ，
，
平面 与平面 所成角的余弦值为 .
17.（15分）设函数 ， （e为自然对数的底数）（1）若函数 有两个极值点，求a的取值范围；
（2）设函数 ，其中 为 的导函数，求证： 的极小值不大
于1.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）求得 ，根据 有两个极值点，转化为
与 的图象的交点有两个，利用导数求得函数 的单调性与极值，即可求
解.
（2）根据题意得到 ，求得 ，得到
，进而求得 的单调性与极值，再分 和 两种情况，结合函
数的单调性和极值的运算，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数 ，可得 ，
因为 有两个极值点，
即方程 在 有两个不同的解，
即 与 的图象的交点有两个.
由 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减， 有极大值 .
又因为 时， ； 时， ，
当 时，即 时有两个解，所以
（2）由函数
可得 ，则 ，所以 在 单调递增，
若 时，
当 时， . 在 上单调递减；
当 时， . 在 上单调递增；
所以 在 处取得极小值
若 ，令 ，则 ；令 ，则
所以在 ， 有唯一解；
若 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，所以在 ， 有唯一解；
所以 在 有唯一解 ，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
所以 ，
令 ，则 ，
由 ，可得 ，
当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减，
所以 ，即 的极小值不大于1.
18.（17分）已知首项为正数的等差数列 的公差为2，前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)当 为偶数时， ，当 为奇数时， .
【分析】（1）根据等差数列前 和公式即可求出 ，则得到其通项公式；
（2）分 为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.
【详解】（1）由题意得 是公差为2的等差数列，且 ，
即 ，又因为 ，所以 ，所以数列 的通项公式 .
（2）由（1）知 ，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
经检验， 时，满足 ，
综上，当 为偶数时， ，
当 为奇数时， .
19.（17分）设抛物线 ，过焦点 的直线与抛物线 交于点 ，
.当直线 垂直于 轴时， .
(1)求抛物线 的标准方程.
(2)已知点 ，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， .
①求证：直线 过定点；
②求 与 面积之和的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；② .
【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程；
（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可
求出定点；
（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.【详解】（1）由题意，当直线 垂直于 轴时， ，代入抛物线方程得 ，则
，所以 ，即 ，所以抛物线 .
（2）（i）设 ， ，直线 ，
与抛物线 联立，得 ，因此 ， .
设直线 ，与抛物线 联立，得 ，
因此 ， ，则 .同理可得 .
所以 .
因此直线 ，由对称性知，定点在 轴上，
令 得，
，
所以直线 过定点 .
（ii）因为 ，
，
所以 ，
当且仅当 时取到最小值 .
