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绝密★启用前
2024年高考考前信息必刷卷（甲卷文科专用）01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
全国甲卷的使用将接近于尾声，往后会是新高考的题型。
全国甲卷的题型会相对稳定，考试题型为12（单选题）＋4（填空题）＋6（解答题），其中结构不良
型试题是对接新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数列两大模块，以解答题的方式进行考查。
2024年的对于三视图、线性规划及程序框图图的考察也将近有尾声，题目难度变化不大，但侧重于考
察学生运算能力与分析能力。
1.2023年的真题中就有开放性的题目，重在提升学生的创新能力，如本卷第14题
2.加强知识间的综合考察仍将是2024的热点，如本卷第10题
3.同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、
方法等融为一体，注意归纳题目意思。对于数学文化的知识会结合排列组合、数列及对数（指数）函数知
识进行考察，难度不大，但计算能力为考察重点.如第5题，将数学名著与程序框图有机结合，如第5题，
《九章算术》与体积相结合，培养数学建模，逻辑推理的核心素养
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．已知全集 ,集合 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知 , ,所以 ,
因为 ,所以 .故选:D2．若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ．故选: C.
3．已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得到 ，又 ，所以
，所以 ；故选：C.
4．已知有 项工作，每项工作分别需要安排 个人完成，每人只需完成一项工作，现有 男、 女共 名工
作人员，则每项工作恰好有一男一女的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将 男、 女共 名工作人员分为三组，分组种数为 ，
再将这三组工作人员分配给三项工作，不同的分配种数为 ；
若这每项工作恰好有一男一女，则不同的分配方法种数为 种.
由古典概型的概率公式可知，所求概率为 .故选：B.
5．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年
龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（ ）
A．52 B．54 C．58 D．60
【答案】A
【解析】将他们的年龄从小到大依次排列为 ，
所以 ， ，解得 .故选：A.
6．执行如图所示的算法框图，则输出的l的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】开始 ，
① ， 为否；
② ， 为否；
③ ， 为否；
④ ， 为是；输出 .故选：B
7．在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点 与两个焦点 的距离的和等于4，且 ，则
的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，焦距 ，则 ，又椭圆上的一点 与两个焦点 的距离的和等于4，
即 ，所以 ，
在 中， ，由余弦定理得：
，
整理得 ，所以 ，则 ，故 的面积
.
故选：D.
8．已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】已知 ，∵ ，∴ ，
又 ，∴切线过 ，∴所求切线为 ，即 ，
故选：A.
9．《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思
为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为
5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，则堆放的米约有（ ）A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为 ，则 ，解得 ，
故米堆的体积 （立方尺）．
1斛米的体积约为1.62立方尺，
故 （斛）.故选：B.
10．已知双曲线C： （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，的
C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，被圆 所截得的弦长为2，所以
圆心 到直线的距离为 ，
，解得 ， 故选：C
11．设函数 ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】函数 的定义域为 ，对称轴为： ，当 ， 时 是增函数，
， ，
因为 ，所以 ，
即： ．故选： ．
12．已知函数 ，其图象与直线 的相邻两个交点的距离分别为 和
，若将函数 的图象向左平移 个单位长度得到的函数 为奇函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的图象与直线 的相邻两个交点的距离分别为 和 ，即可知其周期为 ，∴ ，
即 ，
所以函数 的图象向左平移 个单位长度得到的函数 ，
又 为奇函数，所以 ，又 ，即 ，
故选：B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则公比 等于 .
【答案】2
【解析】因为 ， ， ，所以 ，即 ，
可得 ，因为数列是正项等比数列，所以 .
14．已知函数 奇函数，写出一个满足条件的 ．【答案】
【解析】由 为奇函数，所以 ，
当 时， ，
所以 ，解得 ，所以取 即可．
15．设x，y满足约束条件 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】画出x，y满足约束条件 ，表示的可行域，如图阴影部分所示，
目标函数 ，即直线 ，平移直线可知，
当直线 经过点 时， 取得最小值．
联立 ，解得 ，则点 ．
所以 ．
故答案为： .
16．如图，正四面体 的棱长为1，点 是该正四面体内切球球面上的动点，点 是 上的动点，则
的取值范围为 ．【答案】
【解析】由正四面体棱长为1，则正四面体的体高为 ，
若其内切球球心为 ，半径为 ，则 ，
又 ，可得 ，则 ，
所以 到 的最短距离为 .
综上， 的取值范围为 ，即 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）在 中， ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，
使三角形唯一确定，求：
(1) 的值；
(2) 的面积.
条件①： ， ；条件②： ， ；条件③： ， 为等腰三角形.
注：如果选择多个条件解答或选择不符合要求的条件解答，本题得0分.【解】（1）选择①： ， ，显然 ，
因为大边对大角，故 ，
因为 ，故 为钝角，则A也为钝角，显然这样的三角形不存在，①舍去；
选择②：， ， ，
由余弦定理得 ，
即 ，故 ，
解得 ， （舍），此时三角形唯一确定，
因为 ， ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 ；
选择③： ， 为等腰三角形，
在 中，因为 ，所以 为钝角.
所以 为顶角，所以 .
因为 ， ，
故 ，即 ，
所以 .
因为 ， ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 .
（2）不能选择①，
选择②：因为 .选择③：因为 .
18．（本小题满分12分）如图多面体 中，四边形 是菱形， ， 平面
， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
【解】（1）证明：取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，
因为 是菱形，所以 ，且 是 的中点，
所以 且 ，又 ， ，
所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）设 到平面 的距离为 ，
因为 平面 ， 平面 ,所以 ,
因为 , 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ,所以 ,因为 ， ，所以 ，
所以 , ,
,
所以 且 ,
所以 ,
取 中点为 ，连接 ,因为 是菱形， ，
所以 为等边三角形，所以 ,且 ,
又因为 平面 ， 平面 ,所以 ,
且 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 ,
因为 ，即 ,所以 .
19．（本小题满分12分）中国射击队在东京奥运会上共夺得 金 银 铜 枚奖牌的成绩，创下了中国射
击队奥运参赛史上奖牌数最多的新纪录．现从某射击训练基地随机抽取了 名学员（男女各 人）的射
击环数，数据如下表所示：
男
生
女
生
若射击环数大于或等于 环，则认为成绩优异；否则，认为成绩不优异．
（1）分别计算男生、女生射击环数的平均数和方差；
（2）完成 列联表，并判断是否有 的把握认为“成绩优异”与性别有关．
男
女生 总计
生
成绩优异成绩不优异
总计
参考公式和数据： ，
【解】（1）根据题中所给数据，
可得男生射击环数的平均数为 ；
女生射击环数的平均数为 ．
男生射击环数的方差为 ；
女生射击环数的方差为 ．
综上所述：男生射击环数的平均数为 ，方差为 ；女生射击环数的平均数为 ，方差为 ．
（2）由已知数据可得 列联表如下：
男
女生 总计
生
成绩优异
成绩不优异
总计
，
没有 的把握认为“成绩优异”与性别有关．
20．（本小题满分12分）已知函数 ，其中 为常数．
(1)当 时，判断 在区间 内的单调性；
(2)若对任意 ，都有 ，求 的取值范围．【解】（1）当 时，得 ，故 ，
当 时， 恒成立，故 在区间 为单调递增函数.
（2）当 时， ，故 ，即 ，即 .
令
①当 时，因为 ，故 ，即 ，
又 ，故 在 上恒成立，故 ；
②当 时， ， ，
故 在 上恒成立， 在 上单调递增，
故 ，即 在 上单调递增，
故 ，故 ；
③当 时，由②可知 在 上单调递增，设 时的根为 ，
则 在 时为单调递减；在 时为单调递增
又 ，故 ，舍去；
综上：
21．（本小题满分12分）已知抛物线 的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的
弦长为2．
(1)求抛物线N的方程；
(2)点 和点 为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，
求△ABC面积的最大值．
【解】（1）解：由题意得抛物线 的焦点为 ，在方程 中，令 ，可得 ，
所以弦长为 ，即 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ．
（2）解：由（1）知抛物线 的方程为 ，
设 ，直线AB的斜率为 ，
因为线段 的中点 在直线 上，
由 可知直线OM的方程为 ，
设 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，即得 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
联立方程组 ，所以 ，
所以 ，即 ，
由根据与系数的关系得 ，
则
，
又由点 到直线 的距离为 ，
所以
，记 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，即 有最大值为 .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点O为极点，
x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是 .
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点 ，求 的值.
【解】（1） ， 得 ，
根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为： .
（2）由（1）可知点 过直线l，故直线l的参数方程可写为 （t为参数），
代入曲线C的普通方程得 ，
由韦达定理可知： ， ，所以 .
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)求直线 与函数 的图象围成的封闭图形的面积．
【解】（1）
不等式 等价于 或 或
解得 或 ，即不等式 的解集为 ．
（2）由 的图象可知直线 与 的图象围成的封闭图形是四边形 ，
且 ， ， ， ，
则 的面积 ．
延长 交直线 于点 ，则 ，
从而 的面积 ．
故四边形 的面积为 ．
