文档文本内容
2024年高考考前信息必刷卷（甲卷文科专用）01
数学·答案及评分标准
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C C B A B D A A B C A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2 14． 15． 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）
【解】（1）选择①： ， ，显然 ，
因为大边对大角，故 ，
因为 ，故 为钝角，则A也为钝角，显然这样的三角形不存在，①舍去；
选择②：， ， ，
由余弦定理得 ，
即 ，故 ，
解得 ， （舍），此时三角形唯一确定，
因为 ， ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 ；
选择③： ， 为等腰三角形，在 中，因为 ，所以 为钝角.
所以 为顶角，所以 .
因为 ， ，
故 ，即 ，
所以 .
因为 ， ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 .
（2）不能选择①，
选择②：因为 .
选择③：因为 .
18．（本小题满分12分）
【解】（1）证明：取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，
因为 是菱形，所以 ，且 是 的中点，
所以 且 ，又 ， ，
所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；（2）设 到平面 的距离为 ，
因为 平面 ， 平面 ,所以 ,
因为 , 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ,所以 ,
因为 ， ，所以 ，
所以 , ,
,
所以 且 ,
所以 ,
取 中点为 ，连接 ,因为 是菱形， ，
所以 为等边三角形，所以 ,且 ,
又因为 平面 ， 平面 ,所以 ,
且 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 ,
因为 ，即 ,所以 .
19．（本小题满分12分）
【解】（1）根据题中所给数据，可得男生射击环数的平均数为 ；
女生射击环数的平均数为 ．
男生射击环数的方差为 ；
女生射击环数的方差为 ．
综上所述：男生射击环数的平均数为 ，方差为 ；女生射击环数的平均数为 ，方差为 ．
（2）由已知数据可得 列联表如下：
男生 女生 总计
成绩优异
成绩不优异
总计
，
没有 的把握认为“成绩优异”与性别有关．
20．（本小题满分12分）
【解】（1）当 时，得 ，故 ，
当 时， 恒成立，故 在区间 为单调递增函数.
（2）当 时， ，故 ，即 ，即 .
令
①当 时，因为 ，故 ，即 ，
又 ，故 在 上恒成立，故 ；
②当 时， ， ，故 在 上恒成立， 在 上单调递增，
故 ，即 在 上单调递增，
故 ，故 ；
③当 时，由②可知 在 上单调递增，设 时的根为 ，
则 在 时为单调递减；在 时为单调递增
又 ，故 ，舍去；
综上：
21．（本小题满分12分）
【解】（1）解：由题意得抛物线 的焦点为 ，
在方程 中，令 ，可得 ，
所以弦长为 ，即 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ．
（2）解：由（1）知抛物线 的方程为 ，
设 ，直线AB的斜率为 ，
因为线段 的中点 在直线 上，
由 可知直线OM的方程为 ，
设 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，即得 ，
设直线 的方程为 ，即 ，联立方程组 ，所以 ，
所以 ，即 ，
由根据与系数的关系得 ，
则
，
又由点 到直线 的距离为 ，
所以
，
记 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，即 有最大值为 .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解】（1） ， 得 ，
根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为： .（2）由（1）可知点 过直线l，故直线l的参数方程可写为 （t为参数），
代入曲线C的普通方程得 ，
由韦达定理可知： ， ，
所以 .
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解】（1）
不等式 等价于 或 或
解得 或 ，即不等式 的解集为 ．
（2）由 的图象可知直线 与 的图象围成的封闭图形是四边形 ，
且 ， ， ， ，
则 的面积 ．
延长 交直线 于点 ，则 ，
从而 的面积 ．
故四边形 的面积为 ．
