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2026 年高考二轮信息必刷卷01
数学
考情速递
高考·新考法：常规考点创新设问形式，导数试题突破幂指对函数常规框架，以三角函数为载体设计多
参数探究题，考查逻辑推理与转化能力；立体几何第二问摒弃传统建系套路，要求通过四元一次方程
组消元求解球心坐标，解法多元且侧重本质理解。知识融合聚焦模块内纵向延伸与跨模块横向拓展，
如导数与数列交汇考查错位相减法求和，向量与平面几何、物理运动合成深度结合。非常规考点通过
创新表述与探究性设问考查迁移能力，如对数相关试题要求通过特殊到一般的思路推导规律，如2025
年全国一卷中第8 题设置“判断不可能的大小关系”等开放性设问，淡化解题技巧，强化思维的灵活性
与探究性。
高考·新情境：2025 年全国一卷情境设计紧扣现实热点，以民生、体育、医疗等实时场景为载体，突出
数学工具的应用性，且均围绕核心考点设计，聚焦多个高频热点场景。如以帆船比赛为背景，引入真
风风速、船行风风速等概念，考查向量的合成与模长计算，贴合体育竞技实际；结合流感筛查工作，
通过列联表呈现疾病与超声检查结果的关联数据，考查独立性检验的应用，对接公共卫生实践。同时
规避过度情境包装，聚焦数学建模与实际问题转化能力，兼顾选拔性与应用性。
命题·大预测：综合分析2025 年全国一卷的出题特点，出了本套预测卷。亮点集中在情境创新与知识融
合：以巴黎奥运会艺术体操、车辆限行民意调查等真实热点为载体设计题目，呼应真题“情境化+应用
性”导向，无过度包装且紧扣数学本质；深度打破模块割裂，将向量与平面几何、立体几何展开图与
空间角、导数与三角函数等知识跨模块交汇，同时融入纵向延伸考查，契合全国一卷“重综合、淡套
路”的命题逻辑，反套路压轴题与梯度化设问也精准匹配真题选拔要求。
（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若复数
，则
（ ）
A．5
B．
C．
D．1
【答案】D
【详解】复数
，
所以
.
故选：D.
2．设全集
，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由图中阴影部分表示
，
因为
或
，
所以
，
故选：C.
3．已知双曲线
的右焦点为
，点
在
的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是
线段
的垂直平分线，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设双曲线
的左焦点为
，原点为
，线段
与
的另一条渐近线交于点
，
则由题意可得
所以
，
所以双曲线
的渐近线的斜率为
，
则双曲线
的渐近线方程为
.
故选：B.
4．已知函数
恒成立，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得，
是函数
的最大值，
,得
，
，又
．
故选：A
5．已知函数
是偶函数，则
的值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【详解】函数
，定义域为
，
由于
为偶函数，即
，
则
，
化简为
,
即
，则
，
因为
不恒为0，所以
.
故选：B
6．在正方形
中，
，
为
的中点，
为
边上靠近
的四等分点，
与
交于点
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，
为
的夹角，而
，
所以
，
，
，
综上，
.
故选：A
7．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一
个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样
走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
，若将军从点
处出发，
河岸线所在直线方程为
，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”
的最短总路程为（ ）
A．13
B．11
C．9
D．7
【答案】C
【详解】设点
关于直线
的对称点坐标为
，
故
，解得
，即对称点
，
故原点到点
的距离
，
又军营所在区域为
，则
，
因为
，
所以“将军饮马”的最短距离为．
故选：C
8．设
，则x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，则
，
，
．其中
．
取
，此时
，
，
，此时x 最大．
又
与
比较，等价于比较7 与
，等价于比较49 与27 大小，故
．
同理比较
与
，可得
，故
，故
．
综上，当
时，
．故A 是可能的．
取
．此时
，
，
，故
且
．
比较y 和z，即
与
，
，且
是增函数，
所以
，又底数
，所以
，故
．
综上，当
时，
．故B 是可能的．
取极小正数
，取
，此时
，
，
，易知x 最小．
现在比较
和
，即比较
与
，即
和
，比较
和
，
易知
，故
．
综上，取
，
．故C 是可能的．
下面证明D 选项不可能．若
，则
和
同时成立．
若
，则
．
当
时，
，当
时，
，
同理可得
，故存在
，使得
，
所以
成立的必要条件是
．
若
，则
，设
，
则
，且取
时，
，
等价于
，
又
，等价于
，
，易知其在
时成立，
已证当
时，
，所以
在
上单调递增，
因为
，所以当
时，
，即
恒成立，
故
和
不可能同时成立，即D 不可能．
故选：D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．如图，在三棱锥
的平面展开图中，
，
分别是
，
的中点，正方形
的边长为
2，则在三棱锥
中（ ）
A．
的面积为
B．
C．平面
平面
D．三棱锥
的体积为
【答案】ABD
【详解】
对于A，易知
，故A 正确；
对于B，连接
交
于G，根据正方形的性质易知
，
所以有
，
又
平面
，所以
平面
，
平面
，所以
，故B 正确；
对于C，由上可知
为平面
与平面
的夹角，
易知
，则
不垂直，故C 错误；
对于D，由题意可知
两两垂直，
则
，故D 正确.
故选：ABD
10．在
中，角
所对的边分别为
，且
，
，
为角
的平分线交
于
，则（ ）
A．
B．
的面积为
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，结合正弦定理，由
，
得
因
,
代入得
即
因为
，所以
，则
，得
，
又
，则有
，
，故A 正确；
对于B，由
和正弦定理，得
（
是
外接圆的半径），
化简得
，故
的面积为
，即B 错误；
对于C，因
为角
的平分线，则
，可得
，
即
，当且仅当
时，等号成立，即
，故C 正确；
对于D，
，
即
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确.
故选：ACD
11．在2024 年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800 分的成绩夺得金牌，这是中国
艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作
由抛物线
绕其顶点分别逆时针旋转
后所得三条曲线与
围成的（如图阴影
区域），
为
与其中两条曲线的交点，若
，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．阴影区域的面积大于64
C．
D．直线
截第一象限花瓣的弦长最大值为
【答案】CD
【详解】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为
，
顶点在原点，焦点为
，
将其逆时针旋转
后得到的抛物线开口向上，焦点为
，则其方程为
，
即
，故A 错误；
对于BC，由
，解得
或
，则
，由对称性可得
，
所以
，利用对称性可知另外交点分别为
，
因为连接起来的正方形面积为
，所以阴影部分面积小于64.所以B 错误，C 正确；
对于D，设直线
与抛物线
相切，
联立
可得
，
由
可得
，且方程
即为
，
解得
，此时，切点坐标为
，
设直线
与抛物线
相切，联立
可得
，
由
可得
，此时方程
即为
，
解得
，此时，切点坐标为
，
两切点连线的斜率为
，即切点的连线与直线
平行或重合，
故当
时，
取最大值，
且其最大值为
，D 对.
故选：CD
第二部分（非选择题共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若函数
在
处的切线与直线
平行，则实数
.
【答案】1
【详解】因为
，所以
，
依题意可得
，即
，解得
.
故答案为：1.
13．已知等比数列
满足：
，且
是
与
的等差中项，则
．
【答案】
【详解】由等比数列
得，
，
，
因为
，所以
，即
，化简得
，
因为
是
与
的等差中项，所以
，即
，
化简得
，解得
，则
，
得到
.
故答案为：
14．高一某班有24 名男生和40 名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男
生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为 .
【答案】72
【详解】设男生分数为
，男生分数均值为
；
女生分数为
，女生分数均值为
；
则
，总体均值为
，
男生分数方差为
，则
，
全班分数方差为
，
由
，
所以
，解得
；
因为
，所以
，
化简得
，
解得
，
则女生分数的方差为
.
故答案为：72
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，记
．
(1)求证：
是等差数列；
(2)若
，求证：
．
【详解】（1）由
，得
，
即
，.....................................................................................................................................2 分
因为
，所以
，
所以
，①........................................................................................................................................4 分
由
，得
．
整理得
，
即
，②
由①②得
，
所以
是公差为2 的等差数列．...................................................................................................................6 分
（2）因为
，所以
，
即
，..........................................................................................8 分
所以
............................................................................................................................11 分
．............................................................................................................................................13 分
16．（15 分）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽
查了50 人，将调查情况进行整理后制成如下表：
年龄（岁）
频数
5
5
10
15
10
5
赞成的人数
3
4
9
10
7
3
(1)用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在
的市民
中随机选取4 人进行追踪调查，记被选4 人中不赞成“车辆限行”的人数为
，求随机变量
的分布列和
数学期望；
(2)若在这50 名被调查者中随机发出20 份的调查问卷，记
为所发到的20 人中赞成“车辆限行”的人数，
求使概率
取得最大值的整数
.
【详解】（1）由题意，
的可能取值为0，1，2，3，4，
因为年龄在
的市民不赞成“车辆限行”的频率为
，则
，........................................2 分
所以
，........................................................................................4 分
所以
的分布列为：
0
1
2
3
4
..............................................................................................................................................................................6 分
.....................................................................................................................................................8 分
（2）这50 被调查者中，有36 人赞成，14 人不赞成，
所以
，.................................................................................................10 分
由
，则
，解得
，..........................................13 分
因为
，所以
....................................................................................................................................15 分
17．（15 分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A，B 的点，
平面ABC，
，
，E，F 分别为PA，PC 的中点，平面BEF 与平面ABC 的交线为l．
(1)证明：
平面PBC；
(2)直线l 与圆O 的交点为B，D，求三棱锥
的体积；
(3)点Q 在直线l 上，直线PQ 与直线EF 的夹角为
，直线PQ 与平面BEF 的夹角为
，是否存在点Q，使
得
？如果存在，请求出
；如果不存在，请说明理由．
【详解】（1）∵E，F 分别为PA，PC 的中点，∴
．
又
平面
，
平面
，∴
平面ABC．
又
平面BEF，平面
平面
，∴
．................................................................2 分
平面
平面
．
又
，
，
平面
，
∴
平面
，从而
平面
；.......................................................................................................4 分
（2）
，由（1）得
，从而
，
从而四边形ABCD 为矩形．由于
平面ABC，......................................................................................6 分
从而
．..................................................................................8 分
（3）以
为坐标原点，分别以
，
，
的方向作为
轴，
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标
系，
如图，则
，
，
，
，
，
，...................................10 分
由于
，设
，则
．
，
，
设平面BEF 的一个法向量
，
则
，取
...............................................................................................................12 分
由题意，
，
即
，解得
，从而符合题意的点
存在，
．.........................15 分
18．（17 分）已知函数
.
(1)若函数
在点
处的切线过点
，求a 的值；
(2)试给出a 的一个整数值，使
存在唯一的极值点，并说明理由；
(3)若存在
，使不等式
对任意的
成立，求b 的最小值.
【详解】（1）由题可知
，
切点
，斜率
，..........................................................................2 分
切线方程：
，
代入
，解得：
.................................................................................................................................3 分
（2）取
，
存在唯一的极值点
在
存在唯一的变号零点，
当
时，记
，
又
，
所以
在
存在唯一的变号零点，.......................................................................................................5 分
当
时，
，无零点，
故
在
存在唯一的变号零点...........................................................................................................6 分
（3）
恒成立
，下面研究
的最大值．
当
时，
由（2）知存在唯一的
使得
，
且
在
上单调递增，
上单调递减，即
，....................................8 分
当
时，
若
，则
，当
时，
，
当
时，
，而
，
若
，则
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，而
，
结合
知
，..................................................................................................................11 分
所以
，
因为
与
是对应关系，故存在实数
满足不等式
恒成立，
即满足存在实数
，使
，即
，..................................................................................14 分
记
，
有
，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，即
，
故
的最小值为
，此时
.......................................................................................................................17 分
19．已知椭圆
，其离心率为
，且过点
分别是椭圆的左、右焦点，P
是椭圆上不同于左、右顶点的动点，直线
交椭圆于另一点A，直线
交椭圆于另一点B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若
的角平分线交
轴于点M，且
，求
的取值范围；
(3)若点
不在
轴上，若直线AB 的斜率为
，直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，判断
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【详解】（1）已知
，即
，则
，
化简得
，将点
代入椭圆方程得
，
解得
，............................................................................................................................................2 分
故椭圆方程为：
...............................................................................................................................3 分
（2）因为
，得
，
，
设
（
），则
，
则
，
.
在
中，由角平分线定理得
，...........................................................................................5 分
由
，得
.
故
的取值范围为
.
............................................................................................................7 分
（3）由
，得
，其中
.
则
.
设
，直线
方程为
，直线
方程为
，
联立
，得
，
由韦达定理
，.............................................................................................9 分
所以
，
则
；
同理，联立
，得
，
，.................................................................................................................12 分
所以
，
则
；
则
，
故
，................................................................................................................15 分
故随着
的变化，
的值在变化，如：
当
时，
；
当
时，
；
故
不为定值............................................................................................................................................17 分
