专题1.3 不等式与复数（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、不等式
不等式是每年高考的重要内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题
为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值等问题。但不等式
的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、
向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，
其中在解析几何中利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式
进行求解，难度偏高。
2、复数
复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一。从近几年的高考情况
来看，高考对复数的考查比较稳定，题型为单选题或填空题（多位于前2
题），分值5 分，试题难度较低，以基础题为主，主要考查复数的概念、运
算及其几何意义。
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
不等式
I 卷：第1 题，5 分
全国二卷：第4 题，5
分
北京卷：第6 题，4 分
天津卷：第15 题，5
分
上海卷：第2 题，4 分
上海卷：第8 题，5 分
复数
I 卷：第2 题，5 分
卷
Ⅱ
：第1 题，5 分
新课标I 卷：第2 题，
5 分
新课标
卷
Ⅱ
：第1 题，
5 分
全国甲卷（文数）：
第1 题，5 分
全国甲卷（理数）：
第1 题，5 分
全国一卷：第1 题，5
分
全国二卷：第2 题，5
分
北京卷：第2 题，4 分
天津卷：第10 题，5
分
上海卷：第10 题，5
分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，不等式与复数的考情将继续维持稳
定态势。不等式依旧以单选题或填空题的形式考查，分值为5 分，主要考查
基本不等式求最值、不等式的求解，或与基础知识点（如：集合、常用逻
辑用语等）相结合考查，难度不大。
预测复数仍以选择题的考查形式为主，分值为5 分，主要考查复数的概
念、几何意义、模长以及复数的四则运算，是基础题。
不等式与复数二者都是易得分的基础模块，二轮复习备考时要加强对基
础知识的掌握，做到简单题不丢分。
知识点
1
不等式的性质
1．不等式的性质
(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.
(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.
(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
2．比较大小的基本方法
关系
方法
作
差
法
与0 比较
作
商
法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b<0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
知识点
2
基本不等式
1. 基本不等式与最值
已知x，y 都是正数，
(1)如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2；
(2)如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值 S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取
等号的条件．
2．常见的求最值模型
(1)模型一：
mx + n
x ≥2√mn (m>0,n>0)
，当且仅当
x=√
n
m 时等号成立；
(2)模型二：
mx +
n
x−a=m( x−a)+
n
x−a +ma≥2√mn +ma (m>0,n>0)
，当且仅当
x−a=√
n
m 时等号成
立；
(3)模型三：
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当
x=√
c
a 时等号成立；
(4) 模型四：
x(n−mx )= mx (n−mx )
m
≤1
m⋅（mx +n−mx
2
)2= n2
4m (m>0,n>0,0<x< n
m )
，当且仅当
x= n
2m 时等号成立.
3．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成和为常数或积为常数的形式
“
”
“
”
.
(3)常数代换
法
：主要解决形如已知
“
x+y=t(t 为常数),求
的最值的问题，先将
”
转化为
，再用基本不等式求最值.
(4)消元
法
：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出和为
“
常数或积为常数的形式，最后利用基本不等式求最值
”
“
”
.
知识点
3
一元二次不等式
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0 与小于0 进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ 进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．分式、高次、绝对值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步骤：
①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不
为零．
②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为
零，然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步骤：
高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用穿针引线
“
法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.
(3)解绝对值不等式的一般步骤：
对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R
的条件
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R 的条件为
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为∅的条件为
．
知识点
4
复数有关问题及其解题策略
1．复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b 分别是它的实部和虚部.若z 为实数，则虚部b=0，与实部a 无关；若z
为虚数，则虚部b≠0，与实部a 无关；若z 为纯虚数，当且仅当a=0 且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作
或
，即
.
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为
，则
，即
，若
，则
.
2．复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3．复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解
析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【题型1 不等式的性质及其应用】
【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知a>b，且c>d，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac>bd
B．ac<bd
C．a+c>b+d
D．1
a < 1
b
【答案】C
【解题思路】根据不等式的性质逐项判断即可得结论.
【解答过程】因为a>b，且c>d，若a=1,b=−1,c =2,d =−3，则ac =2<bd =3，故A 不正确；
若a=2,b=−1,c =2,d =−3，则ac = 4>bd =3，故B 不正确；
因为a>b，且c>d，所以a+c>b+d，故C 正确；
若a=2,b=−1，则1
a > 1
b ，故D 不正确.
故选：C.
【变式1-1】（2025·山西临汾·二模）若3≤a≤5,−2≤b≤1，则2a−b的范围是（ ）
A．[8,9)
B．[4,8)
C．[5,8)
D．[5,12)
【答案】D
【解题思路】根据不等式的性质即可求解.
【解答过程】由3≤a≤5,−2≤b≤1可得6≤2a≤10,−1≤−b≤2，
故5≤2a−b≤12，
故选：D.
【变式1-2】（2025·云南玉溪·二模）已知x>0，x
2−2 xy + z
2=0，x
2< yz，则（ ）
A．y > z> x
B．x> y > z
C．y > x> z
D．z> x> y
【答案】A
【解题思路】根据题意，由原式可得y = x
2+ z
2
2 x
，然后由作差法分别比较y与x，y与z的大小关系，即可得
到结果.
【解答过程】由x>0，且x
2−2 xy + z
2=0可得2 xy = x
2+ z
2，即y = x
2+ z
2
2 x
，
则y −x = x
2+ z
2
2 x
−x = x
2+ z
2−2 x
2
2 x
= z
2−x
2
2 x
，
又x
2< yz，即x
2< x
2+ z
2
2 x
⋅z，化简可得2 x
3−x
2 z−z
3<0，
即(x−z)(2 x
2+ xz + z
2)<0，其中2 x
2+ xz + z
2=2(x + z
4)
2
+ 7
8 z
2>0，
所以x−z<0，即0< x< z，所以x
2< z
2，
所以y −x = z
2−x
2
2 x
>0，所以y > x，
又y −z = x
2+ z
2
2 x
−z = x
2+ z
2−2 xz
2 x
= (x−z)
2
2 x
>0，所以y > z，
综上所述，y > z> x.
故选：A.
【变式1-3】（2025·四川绵阳·一模）若a>b,c<0，则下列选项正确的是（ ）
A．1
a < 1
b
B．c
a > c
b
C．a−c<b−c
D．ac<bc
【答案】D
【解题思路】根据题意及不等式的性质依次判断各项的正误.
【解答过程】当a>0>b且c<0，则1
a > 1
b，c
a <0< c
b，A、B 错，
由题设a>b,−c>0，则a−c>b−c，且−ac>−bc⇒ac<bc，C 错，D 对.
故选：D.
【题型2 利用基本不等式求最值】
【例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知a>0,b>0，且a+2b=1，则b
a + 1
b的最小值为（ ）
A．9
2
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【解题思路】利用1 的代换，结合基本不等式可求最小值.
【解答过程】因为a+2b=1，所以b
a + 1
b = b
a + a+2b
b
= b
a + a
b +2≥2❑√
b
a × a
b +2= 4，
当且仅当b
a = a
b，即a=b= 1
3时取等号，所以b
a + 1
b的最小值为4.
故选：B.
【变式2-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知x，y为正实数，且x + y =1，则x +9 y
xy
的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
【答案】B
【解题思路】由题可得x +9 y
xy
=(x + y)(
9
x + 1
y)，然后由基本不等式可得答案.
【解答过程】x +9 y
xy
= 9
x + 1
y =(x + y)(
9
x + 1
y)=10+ 9 y
x + x
y ≥10+2❑√
9 y
x ⋅x
y =16.
当且仅当9 y
x = x
y ，即x = 3
4 ，y = 1
4 时取等号.
故选：B.
【变式2-2】（2025·四川德阳·模拟预测）已知a>0，b>0，且ab=1，则1
2a + 1
2b +
8
a+b的最小值为
（ ）
A．4
B．8
C．1
D．2
【答案】A
【解题思路】根据ab=1，得1
2a + 1
2b +
8
a+b = a+b
2
+
8
a+b ，利用基本不等式求得其最小值.
【解答过程】由a>0，b>0，且ab=1，得1
2a + 1
2b +
8
a+b = a+b
2ab +
8
a+b = a+b
2
+
8
a+b ≥4.
当且仅当a+b
2
=
8
a+b =2，即a+b= 4，即{
a=2+ ❑√3
b=2−❑√3)，或{
a=2−❑√3
b=2+ ❑√3)时，等号成立.
所以，当{
a=2+ ❑√3
b=2−❑√3)，或{
a=2−❑√3
b=2+ ❑√3)时，1
2a + 1
2b +
8
a+b取得最小值，最小值为4.
故选：A.
【变式2-3】（2025·浙江台州·一模）已知a,b∈(−1,+∞)，且a+
1
b+1 =2，则b+
9
a+2的最小值为
（ ）
A．2
B．9
4
C．5
2
D．3
【答案】D
【解题思路】可利用配凑法与“1 的妙用，结合基本不等式进行求解
”
.
【解答过程】由题可知，a+2+
1
b+1 = 4，又因为a+2>0,b+1>0,
则b+1+
9
a+2 = 1
4 (a+2+
1
b+1 )(b+1+
9
a+2 )
= 1
4 [(a+2)(b+1)+
9
(a+2)(b+1) +10]≥1
4 (6+10)= 4,
当且仅当(a+2)(b+1)=3时，即当a=1,b=0时，等号成立.
因此b+1+
9
a+2的最小值为4，
故b+
9
a+2的最小值为3.
故选：D.
【题型3 基本不等式中的恒成立问题】
【例3】（2025·吉林延边·一模）已知正实数x，y满足x + y −1
2 xy =0，且不等式x + y −a>0恒成立，则a
的取值范围是（ ）
A．a<2
B．a<8
C．a<6
D．a<4
【答案】B
【解题思路】对题目等式变形得1
x + 1
y = 1
2，再利用乘“1”法即可得到答案.
【解答过程】因为正实数x,y满足x + y −1
2 xy =0，所以1
x + 1
y = 1
2，
则：x + y =2( x + y)(
1
x + 1
y)=2(2+ x
y + y
x)≥8，
当且仅当x = y = 4时取等号，因为不等式x + y −a>0恒成立，所以a<8．
故选：B．
【变式3-1】（24-25 高一上·安徽池州·期中）已知x>0, y >0，且x + y =5，若4
x +1 +
1
y +2 ≥2m+1恒成
立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
16)
B．(−∞, 2
5)
C．(−∞, 1
2)
D．(−∞,4)
【答案】A
【解题思路】由已知条件得出(x +1)+( y +2)=8，将代数式4
x +1 +
1
y +2与1
8 [(x +1)+( y +2))相乘，展开后
利用基本不等式求出4
x +1 +
1
y +2的最小值，根据题意可得出关于m的不等式，解之即可.
【解答过程】因为x>0，y >0，且x + y =5，则x +1+ y +2=8，
则
( y +2)
x +1 >0, x +1
y +2 >0，
所以4
x +1 +
1
y +2 = 1
8(
4
x +1 +
1
y +2)[(x +1)+( y +2))= 1
8[5+ 4 ( y +2)
x +1
+ x +1
y +2)
≥1
8(5+2
❑√
4 ( y +2)
x +1
⋅x +1
y +2)= 9
8
，
当且仅当{
4 ( y +2)
x +1
= x +1
y +2
(x +1)+( y +2)=8
x>0, y >0 )
时，
即当x = 13
3 ，y = 2
3时，所以4
x +1 +
1
y +2的最小值为9
8，
因为4
x +1 +
1
y +2 ≥2m+1恒成立，所以2m+1≤9
8，解得m≤1
16，
所以实数m的取值范围是(−∞, 1
16).
故选：A.
【变式3-2】（2025·江西·一模）已知正数x，y 满足x + y =6，若不等式a≤x
2
x +1 +
y
2
y +2恒成立，则实数a
的取值范围是 ．
【答案】(−∞,4)
【解题思路】将x
2
x +1 +
y
2
y +2变形为x +1+
1
x +1 −2+ y +2+
4
y +2 −4 =3+
1
x +1 +
4
y +2，利用均值不等式
求1
x +1 +
4
y +2的最小值即可求解.
【解答过程】因为x + y =6，
所以t = x
2
x +1 +
y
2
y +2 = (x +1)
2−2(x +1)+1
x +1
+ ( y +2)
2−4 ( y +2)+ 4
y +2
= x +1+
1
x +1 −2+ y +2+
4
y +2 −4 =3+
1
x +1 +
4
y +2，
所以t =3+
1
x +1 +
4
y +2 =3+ x +1+ y +2
9
(
1
x +1 +
4
y +2)
= 32
9 +
y +2
9(x +1) + 4 (x +1)
9( y +2) ≥32
9 +2❑√
y +2
9( x +1) × 4( x +1)
9( y +2) = 4，等号成立当且仅当y = 4 , x =2，
所以(
x
2
x +1 +
y
2
y +2)min
= 4，a≤4，
故实数a 的取值范围是(−∞,4).
故答案为：(−∞,4 ].
【变式3-3】（25-26 高一上·湖南·期末）已知x>0，y >0，且x + y =1，若4
x +1 + 1
y ≥1
2 m+ 4恒成立，则
实数m的取值范围是
.
【答案】(−∞,1)
【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式求出4
x +1 + 1
y 的最小值，即可得到1
2 m+ 4≤9
2，即可求出参数m的
取值范围.
【解答过程】因为x>0，y >0，且x + y =1，则x +1+ y =2，
所以4
x +1 + 1
y = 1
2(
4
x +1 + 1
y)[(x +1)+ y)= 1
2(5+ 4 y
x +1 + x +1
y )
≥1
2(5+2❑√
4 y
x +1 ⋅x +1
y )= 9
2，
当且仅当4 y
x +1 = x +1
y
时，即当x = 1
3，y = 2
3时，所以4
x +1 + 1
y 的最小值为9
2，
因为4
x +1 + 1
y ≥1
2 m+ 4恒成立，所以1
2 m+ 4≤9
2，解得m≤1，
所以实数m的取值范围是(−∞,1).
故答案为：(−∞,1).
【题型4 解常见的不等式】
【例4】（2025·河南·模拟预测）已知关于x的一元二次不等式2 x
2−x +a<0的解集为
{x|−1< x<m))(m>−1)，则a+m=（ ）
A．−3
2
B．3
2
C．−5
2
D．5
2
【答案】A
【解题思路】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，结合韦达定理即可求解.
【解答过程】由题意可得m，−1为方程2 x
2−x +a=0的根，
由韦达定理可得{
m−1= 1
2
m×(−1)= a
2)
，解得{
m= 3
2
a=−3)
，故a+m= −3
2.
故选：A.
【变式4-1】（2025·陕西西安·二模）已知集合A ={x∣|x−2)<2},B ={x∣x
2−4 x−5≤0)，则
(∁R A)∩B =（ ）
A．{x∣−1≤x ≤0)
B．{x∣4≤x ≤5)
C．{x∣0≤x ≤4)
D．{x∣−1≤x ≤0或4≤x ≤5}
【答案】D
【解题思路】解不等式求得集合A ,B，进而利用补集，交集的意义求解即可.
【解答过程】因为A ={x∣|x−2)<2}={x∣−2< x−2<2}={x∣0< x<4 }，所以∁R A ={x∣x ≤0或
x ≥4}，
又B ={x ∣x
2−4 x −5≤0)= {x ∣−1≤x ≤5)，则(∁R A)∩B ={x∣−1≤x ≤0或4≤x ≤5}.
故选：D.
【变式4-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）不等式6
x +1 ≥1的解集为（ ）
A．{x∣−1< x ≤5}
B．{x∣x ≤−1)
C．{x∣−1≤x ≤5)
D．{x∣x>5}
【答案】A
【解题思路】利用分式不等式的解法求解.
【解答过程】由6
x +1 ≥1，得6
x +1 −1≥0，即5−x
x +1 ≥0，
转化为{
(x−5)(x +1)≤0
x +1≠0
)，解得−1< x ≤5，
所以不等式6
x +1 ≥1的解集为{x∣−1< x ≤5}.
故选：A.
【变式4-3】（2025·浙江·模拟预测）若关于x的不等式x
2+ px +q<0的解集为(5,6)，则不等式
x
2+ px−12
x +q
>0的解集为（ ）
A．(−1,12)∪(30,+ ∞)
B．(−∞,−12)∪(0,30)
C．(−∞,−30)∪(−1,12)
D．(−30,−1)∪(12,+∞)
【答案】D
【解题思路】根据给定不等式的解集，结合韦达定理求出p,q，再代入并将不等式转化为不等式组求解.
【解答过程】由不等式x
2+ px +q<0的解集为(5,6)，得5,6是方程x
2+ px +q =0的二根，
则p=−11,q =30，不等式x
2+ px−12
x +q
>0化为x
2−11 x−12
x +30
>0⇔( x +1)( x−12)
x +30
>0，
即{
( x +1)( x−12)>0
x +30>0
)或{
( x +1)( x−12)<0
x +30<0
)，解得−30< x<−1或x>12，
所以所求不等式的解集为(−30,−1)∪(12,+∞).
故选：D.
【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】
【例5】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“∃x∈R，使x
2+ x +a−2≤0 是假命题，则实数
”
a的取值范围
是（ ）
A．(−∞,0)
B．[0,4)
C．[4 ,+∞)
D．(
9
4 ,+ ∞)
【答案】D
【解题思路】由题意可知命题“∀x∈R，x
2+ x +a−2>0 为真命题，可得出
”
Δ<0，可得出实数a的取值
范围.
【解答过程】因为命题“∃x∈R，使x
2+ x +a−2≤0 是假命题，
”
则命题“∀x∈R，x
2+ x +a−2>0 为真命题，则
”
Δ=1−4 (a−2)=9−4 a<0，解得a> 9
4 ，
故实数a的取值范围是(
9
4 ,+ ∞).
故选：D.
【变式5-1】（2025·广东江门·模拟预测）若命题“∀x∈R , x
2+ x +a≠0 的否定是真命题，则实数
”
a的取
值范围是（ ）
A．[
1
2 ,+ ∞)
B．(
1
2 ,+ ∞)
C．(−∞, 1
4)
D．(−∞, 1
4)
【答案】C
【解题思路】得到命题的否定后结合根的判别式计算即可得.
【解答过程】命题“∀x∈R , x
2+ x +a≠0 的否定是
”
“∃x∈R , x
2+ x +a=0 ，
”
则“∃x∈R , x
2+ x +a=0 是真命题，
”
则有Δ=1−4 a≥0，解得a≤1
4 .
故选：C.
【变式5-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“∀x∈R , x
2−mx +2>0 是真命题，则实数
”
m的取值范围为
（ ）
A．(−2❑√2,2❑√2)B．[−2❑√2,2❑√2)
C．(−2,2)
D．[−2,2)
【答案】A
【解题思路】由判别式Δ<0即可求解.
【解答过程】由题意可得：Δ=m
2−8<0，
解得：−2❑√2<m<2❑√2，
所以实数m的取值范围为(−2❑√2,2❑√2)，
故选：A.
【变式5-3】（2025·重庆·一模）已知a∈R，则“x
2+2 x +a>0的解集为R 是
”
“a>0 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】由不等式x
2+2 x +a>0的解集为R可得Δ<0，即可求解.
【解答过程】因为不等式x
2+2 x +a>0的解集为R，所以4−4 a<0，所以a>1，
所以“x
2+2 x +a>0的解集为R 是
”
“a>0 的充分不必要条件
”
.
故选：A.
【题型6 复数的四则运算】
【例6】（2025·陕西西安·模拟预测）复数z =1+i，z 的共轭复数为z，则z⋅z =（ ）
A．❑√2
B．2
C．−❑√2
D．−2
【答案】B
【解题思路】由共轭复数定义结合复数乘法可得答案.
【解答过程】因z =1+i，则z =1−i，z⋅z =(1+i)(1−i)=2.
故选：B.
【变式6-1】（2025·浙江温州·一模）已知z =−1+i，则z
z +1 =（ ）
A．−1+i
B．−i
C．1−i
D．1+i
【答案】D
【解题思路】根据条件，利用复数的运算，即可求解.
【解答过程】因为z =−1+i，则z
z +1 =
−1+i
−1+i+1 = −1+i
i
=1+i，
故选：D.
【变式6-2】（2025·广西柳州·一模）若复数z 满足z (1−i)=1+3i，则|z)=（ ）
A．❑√10
B．❑√5
C．❑√3
D．❑√2
【答案】B
【解题思路】通过复数的除法运算求出复数z,再根据复数的模的计算公式求出|z).
【解答过程】复数z 满足z (1−i)=1+3i，
得z = 1+3i
(1−i) =−1+2i，
|z)=
❑√(−1)
2+2
2= ❑√5.
故选：B.
【变式6-3】（2025·安徽·模拟预测）已知复数z满足z +2
z
=2+i（其中i 为虚数单位），则| z + 4i|=
（ ）
A．❑√3
B．❑√5
C．❑√10
D．2❑√3
【答案】C
【解题思路】由复数的四则运算法则和模的计算公式求解.
【解答过程】由z +2
z
=2+i得z =
2
1+i =1−i，
所以z + 4i=1−i+ 4i=1+3i，
所以|z + 4i)=|1+3i)= ❑√1+9= ❑√10，
故选：C.
【题型7 复数的几何意义】
【例7】（2025·四川内江·一模）在复平面内，复数2i
2−i对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解题思路】利用复数的四则运算将2i
2−i化成−2
5 + 4
5 i，再根据复数的几何意义，即得其对应的点所在
的象限.
【解答过程】由2i
2−i =
2i(2+i)
(2−i)(2+i) = −2+ 4i
5
=−2
5 + 4
5 i，
故该复数对应的点(−2
5 , 4
5 )位于第二象限.
故选：B.
【变式7-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数z =2+i，则复数z
i 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解题思路】根据共轭复数的概念和复数的除法运算法则，可得z
i =−1−2i，根据复数的几何意义，即可
得答案.
【解答过程】由题意得，z =2−i，所以z
i = 2−i
i
= (2−i)i
i
2
=−1−2i，
在复平面内对应的点为(−1,−2)，故该点在第三象限．
故选：C.
【变式7-2】（2025·广东·模拟预测）设m∈R，复平面内表示复数z =2m+(m−3)i的点在直线x + y =0
上，则z =（ ）
A．2+2i
B．2−2i
C．−2−2i
D．−2+2i
【答案】B
【解题思路】根据复数在复平面内的坐标表示，结合已知直线方程求出的m值，进而得到复数z.
【解答过程】复数z =2m+(m−3)i对应的点的坐标为(2m,m−3)，
因为该点在直线x + y =0上，所以2m+m−3=0，
解得m=1，则z =2−2i.
故选：B.
【变式7-3】（2025·广东·模拟预测）设z =
3
2−i
3，则其共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解题思路】根据复数的除法运算和共轭复数的概念求解出z，由此可知结果.
【解答过程】因为z =
3
2+i =
3(2−i)
(2+i)(2−i) = 6
5 −3
5 i，故z = 6
5 + 3
5 i，其在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
【题型8 与复数有关的最值问题】
【例8】（2025·广东广州·模拟预测）复数z满足|z−2i)=1，则|z)的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】根据复数的模的几何意义可得复数z在复平面内的轨迹为以点(0,2)为圆心，以1为半径的圆即
可求解.
【解答过程】设复数z = x + y i，则对应点的坐标为(x , y)，
所以|z−2i)=
❑√x
2+( y −2)
2=1
所以复数z对应的点G (x , y)到(0,2)的距离为1，
故复数z在复平面内的轨迹为以点(0,2)为圆心，以1为半径的圆，
故当点G (x , y)运动到与y轴的交点，且向上的位置时，此时|z)=|OG)最大，最大值为3
故选：C.
【变式8-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知z∈C，且|z−1)=1，i为虚数单位，则|z−2i)的最大值是（
）
A．❑√5+1
B．❑√5−1
C．2
D．❑√5
【答案】A
【解题思路】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求|z−2i)的最大值即可.
【解答过程】|z−1)=1表示以C (1,0)为圆心，r =1为半径的圆，
则圆心C 到点M (0,2)的距离d =
❑√2
2+1
2= ❑√5，
则|z−2i)的最大值为d +r = ❑√5+1.
故选：A.
【变式8-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知复数z 满足|z−1−i)=1，则|z +i)的最大值为（ ）
A．❑√2+1
B．❑√5
C．2❑√2+1
D．❑√5+1
【答案】D
【解题思路】根据复数加减的几何意义可确定最大值.
【解答过程】∵|z−1−i)=1，∴复数z 在复平面中对应的点到(1,1)的距离为1，
该点轨迹为以(1,1)为圆心，半径为1 的圆，
|z +i)表示复数z 在复平面中对应的点到(0,−1)的距离，所以最大值为❑√1+2
2+1= ❑√5+1，
故选：D.
【变式8-3】（2025·广东·模拟预测）若复数z 满足| z +i|+| z−i|=2，那么| z−1|的最大值是（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．❑√5
【答案】B
【解题思路】利用复数模的几何意义转化复数z 满足的限制条件，进而求得| z−1|的最大值.
【解答过程】设复数i、−i在复平面内对应的点分别为A(0,1),B(0,−1)，
复数z =a+bi(a,b∈R)在复平面对应的点为：Z(a,b)，
由| z +i|+| z−i|=2可知：复数z 在复平面内对应的点到两点A ,B的距离之和为2，
而|AB)=2，所以点Z(a,b)在线段AB上，故a=0,b∈[−1,1)，
则| z−1|=|bi−1|=
❑√(−1)
2+b
2=
❑√1+b
2≤❑√2，
当b=±1时，| z−1|的最大值为❑√2.
故选：B.
点一
不等式
考
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式x−4
x−1 ≥2的解集是（ ）
A．{x∣−2≤x ≤1}
B．{x∣x ≤−2}
C．{x∣−2≤x<1}
D．{x∣x>1}
【答案】C
【解题思路】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【解答过程】x−4
x−1 ≥2即为x +2
x−1 ≤0即{
(x +2)(x−1)≤0
x−1≠0
)，故−2≤x<1，
故解集为{x∣−2≤x<1}.
故选：C.
2．（2025·北京·高考真题）已知a>0,b>0，则（ ）
A．a
2+b
2>2ab
B．1
a + 1
b ≥1
ab
C．a+b>❑√ab
D．1
a + 1
b ≤
2
❑√ab
【答案】C
【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断.
【解答过程】对于A,当a=b时，a
2+b
2=2ab，故A 错误；
对于BD，取a= 1
2 ,b= 1
4 ，此时
1
a + 1
b =2+ 4 =6<
1
1
2 × 1
4
=8= 1
ab，
1
a + 1
b =2+ 4 =6>
2
❑√
1
2 × 1
4
= 4 ❑√2=
2
❑√ab，故BD 错误；
对于C，由基本不等式可得a+b≥2❑√ab>❑√ab，故C 正确.
故选：C.
3．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知集合M = {−2,−1,0,1,2)，N ={x|x
2−x −6≥0))，则M ∩N =
（ ）
A．{−2,−1,0,1)
B．{0,1,2)
C．{−2)
D．{2)
【答案】C
【解题思路】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【解答过程】方法一：因为N ={x|x
2−x−6≥0))=(−∞,−2)∪[3,+∞)，而M = {−2,−1,0,1,2)，
所以M ∩N = {−2)．
故选：C．
方法二：因为M = {−2,−1,0,1,2)，将−2,−1,0,1,2代入不等式x
2−x−6≥0，只有−2使不等式成立，所
以M ∩N = {−2)．
故选：C．
二、填空题
4．（2025·上海·高考真题）不等式x−1
x−3 <0的解集为
．
【答案】(1,3)
【解题思路】转化为一元二次不等式(x−1)(x−3)<0，解出即可.
【解答过程】原不等式转化为(x−1)(x−3)<0，解得1< x<3，
则其解集为(1,3).
故答案为：(1,3).
5．（2025·上海·高考真题）设a,b>0,a+ 1
b =1，则b+ 1
a的最小值为
．
【答案】4
【解题思路】灵活利用“1”将b+ 1
a =(b+ 1
a)(a+ 1
b)展开利用基本不等式计算即可.
【解答过程】易知b+ 1
a =(b+ 1
a)(a+ 1
b)=ab+ 1
ab +2≥2❑√ab⋅1
ab +2= 4，
当且仅当ab=1，即a= 1
2 ,b=2时取得最小值.
故答案为：4.
6．（2025·天津·高考真题）若a,b∈R，对∀x∈[−2,2]，均有(2a+b)x
2+bx−a−1≤0恒成立，则
2a+b的最小值为
.
【答案】−4
【解题思路】先设t =2a+b，根据不等式的形式，为了消a可以取x =−1
2，得到t ≥−4，验证t =−4时，
a,b是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【解答过程】设t =2a+b，原题转化为求t的最小值，
原不等式可化为对任意的−2≤x ≤2，t x
2+(t −2a) x−a−1≤0，
不妨代入x =−1
2，得1
4 t −1
2
(t −2a)−a−1≤0，得t ≥−4，
当t =−4时，原不等式可化为−4 x
2+(−4−2a) x−a−1≤0，
即−[2 x +(
1
2 a+1))
2
+ 1
4 a
2≤0，
观察可知，当a=0时，−(2 x +1)
2≤0对−2≤x ≤2一定成立，当且仅当x =−1
2取等号，
此时，a=0,b=−4，说明t =−4时，a,b均可取到，满足题意，
故t =2a+b的最小值为−4.
故答案为：−4.
7．（2024·上海·高考真题）已知x∈R ,则不等式x
2−2 x−3<0的解集为
．
【答案】{x|−1< x<3)
【解题思路】求出方程x
2−2 x−3=0的解后可求不等式的解集.
【解答过程】方程x
2−2 x−3=0的解为x =−1或x =3，
故不等式x
2−2 x−3<0的解集为{x|−1< x<3)，
故答案为：{x|−1< x<3).
8．（2023·全国乙卷·高考真题）设a∈(0,1)，若函数f (x)=a
x+(1+a)
x在(0,+ ∞)上单调递增，则a 的取
值范围是
.
【答案】[
❑√5−1
2
,1)
【解题思路】原问题等价于f
′ (x)=a
x ln a+(1+a)
x ln (1+a)≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变
形，可得(
1+a
a )
x
≥−
ln a
ln (1+a)，由右侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定
实数a的取值范围.
【解答过程】由函数的解析式可得f
′ (x)=a
x ln a+(1+a)
x ln (1+a)≥0在区间(0,+∞)上恒成立，
则(1+a)
x ln (1+a)≥−a
x ln a，即(
1+a
a )
x
≥−
ln a
ln (1+a)在区间(0,+ ∞)上恒成立，
故(
1+a
a )
0
=1≥−
ln a
ln (1+a)，而a+1∈(1,2)，故ln (1+a)>0，
故{
ln (a+1)≥−ln a
0<a<1
)即{
a(a+1)≥1
0<a<1 )，故
❑√5−1
2
≤a<1，
结合题意可得实数a的取值范围是[
❑√5−1
2
,1).
故答案为：[
❑√5−1
2
,1).
点二
复数
考
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知z =1+i，则1
z−1 =（ ）
A．−i
B．i
C．−1
D．1
【答案】A
【解题思路】由复数除法即可求解.
【解答过程】因为z =1+i，所以1
z−1 =
1
1+i−1 = 1
i =i
i
2 =−i.
故选：A.
2．（2025·北京·高考真题）已知复数z 满足i⋅z +2=2i，则| z|=（ ）
A．❑√2
B．2❑√2
C．4
D．8
【答案】B
【解题思路】先求出复数z，再根据复数模的公式即可求出．
【解答过程】由i⋅z +2=2i可得，z = −2+2i
i
=2+2i，所以|z)=
❑√2
2+2
2=2❑√2，
故选：B.
3．（2025·全国一卷·高考真题）(1+5i)i的虚部为（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．6
【答案】C
【解题思路】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【解答过程】因为(1+5i)i=i+5i
2=−5+i，所以其虚部为1，
故选：C.
4．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）若
z
z−1 =1+i，则z =（ ）
A．−1−i
B．−1+i
C．1−i
D．1+i
【答案】C
【解题思路】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【解答过程】因为
z
z−1 = z−1+1
z−1
=1+
1
z−1 =1+i，所以z =1+ 1
i =1−i.
故选：C.
5．（2024·北京·高考真题）已知z
i =−1−i，则z =（ ）．
A．−1−i
B．−1+i
C．1−i
D．1+i
【答案】C
【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案.
【解答过程】由题意得z =i(−1−i)=1−i.
故选：C.
6．（2024·全国甲卷·高考真题）设z = ❑√2i，则z⋅z =（ ）
A．−2
B．❑√2
C．−❑√2
D．2
【答案】D
【解题思路】先根据共轭复数的定义写出z，然后根据复数的乘法计算.
【解答过程】依题意得，z =−❑√2i，故z z =−2i
2=2.
故选：D.
7．（2024·全国甲卷·高考真题）若z =5+i，则i(z + z)=（ ）
A．10i
B．2i
C．10
D．2
【答案】A
【解题思路】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【解答过程】由z =5+i⇒z =5−i,z+ z =10，则i(z + z)=10i.
故选：A.
8．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知z =−1−i，则|z)=（ ）
A．0
B．1
C．❑√2
D．2
【答案】C
【解题思路】由复数模的计算公式直接计算即可.
【解答过程】若z =−1−i，则|z)=
❑√(−1)
2+(−1)
2= ❑√2.
故选：C.
二、填空题
9．（2025·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，则|
3+i
i )=
．
【答案】❑√10
【解题思路】先由复数除法运算化简3+i
i
，再由复数模长公式即可计算求解.
【解答过程】先由题得3+i
i
=−i(3+i)=1−3i，所以|
3+i
i
)=
❑√1
2+(−3)
2= ❑√10.
故答案为：❑√10.
10．（2025·上海·高考真题）已知复数z 满足z
2=( z)
2,| z|≤1，则| z−2−3i|的最小值是
．
【答案】2❑√2
【解题思路】先设z =a+bi，利用复数的乘方运算及概念确定ab=0，再根据复数的几何意义数形结合计
算即可.
【解答过程】设z =a+bi(a,b∈R),∴z =a−bi，
由题意可知z
2=a
2+2abi−b
2= z
2=a
2−2abi−b
2，则ab=0，
又|z)=
❑√a
2+b
2≤1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z (a,b)在单位圆内部（含边界）的坐标轴
上运动，如图所示即线段AB ,CD上运动，
设E (2,3)，则|z−2−3i)=|ZE)，由图象可知|BE)= ❑√10>|CE)=2❑√2，
所以|ZE)min=2❑√2.
故答案为：2❑√2.
11．（2024·上海·高考真题）已知虚数z，其实部为1，且z + 2
z =m(m∈R)，则实数m为
．
【答案】2
【解题思路】设z =1+bi,b∈R且b≠0，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【解答过程】设z =1+bi，b∈R且b≠0.
则z + 2
z =1+bi+
2
1+bi =(
b
2+3
1+b
2)+(
b
3−b
1+b
2)i=m，
∵m∈R，∴{
b
2+3
1+b
2 =m
b
3−b
1+b
2 =0)
，解得m=2，
故答案为：2.
12．（2024·天津·高考真题）i是虚数单位，复数(❑√5+i)⋅(❑√5−2i)=
．
【答案】7−❑√5i
【解题思路】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【解答过程】(❑√5+i)⋅(❑√5−2i)=5+ ❑√5i−2❑√5i+2=7−❑√5i.
故答案为：7−❑√5i.
