专题4.6 解三角形（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 余弦定理解三角形】..................................................................................................................................5
【题型2 正弦定理解三角形】..................................................................................................................................5
【题型3 正、余弦定理判定三角形形状】..............................................................................................................6
【题型4 正弦定理判定三角形解的个数】..............................................................................................................7
【题型5 证明三角形中的恒等式或不等式】.........................................................................................................7
【题型6 和三角形面积有关的问题】......................................................................................................................8
【题型7 求三角形中的边长或周长的最值或范围】.............................................................................................9
【题型8 距离、高度、角度测量问题】................................................................................................................10
【题型9 求解平面几何问题】................................................................................................................................11
【题型10 解三角形与三角函数的交汇问题】.....................................................................................................13
1、解三角形
考点要求
真题统计
考情分析
(1)掌握正弦定理、余弦定理
及其变形
(2)理解三角形的面积公式并
能应用
(3)能利用正弦定理、余弦定
理解决一些简单的三角形度
量问题
(4)能够运用正弦定理、余弦
定理等知识和方法解决一些
与测量和几何计算有关的实
际问题
2023 年新课标I 卷、Ⅱ卷：第
17 题，10 分
2024 年新课标I 卷、Ⅱ卷：第
15 题，13 分
2024 年全国甲卷（文数）：第
12 题，5 分
2024 年全国甲卷（理数）：第
11 题，5 分
2025 年全国二卷：第5 题，5 分
2025 年北京卷：第16 题，13 分
2025 年天津卷：第16 题，14 分
解三角形是高考的重点、热点内
容，是每年高考必考内容之一.从近几
年的高考情况来看，正弦定理、余弦
定理解三角形在选择题、填空题中考
查较多，也会出现在解答题中，在高
考试题中出现有关解三角形的试题大
多数为较易题、中档题.对于解答题，
一是考查正弦定理、余弦定理的简单
应用；二是考查正、余弦定理与三角
形面积公式的综合应用，有时也会与
三角函数、平面向量等知识综合命
题，难度中档，需要学生灵活求解.
知识点
1
解三角形几类问题的解题策略
1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即
根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角
函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
2．判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘
隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
3．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形
不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析
已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
时三角形解的情况，下面以已知
“
”
a,b 和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若
B=
>1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若
B=
=1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若
B=
<1，则满足条件的三角形的个数为1 或2.
显然由0<
B=
<1 可得B 有两个值，一个大于
，一个小于
，考虑到
大边对大角
“
”、
三
“
角形
内角和等于
等，此时需进行讨论
”
.
(2)从几何的角度分析
已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
时三角形解的情况，以已知
“
”
a,b 和
A，解三角形为例，用几何法探究如下：
图形
关系式
解的个数
A
为
锐
角
①a=bsin
A；
②a≥b
一解
bsinA<a<b
两解
a<bsinA
无解
A
为
钝
角
或
直
角
a>b
一解
a≤b
无解
4．与三角形面积有关问题的解题策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
知识点
2
测量问题的基本类型和解决方案
1．测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB 的长度不可直接测量时，求AB 的距离有以下三种类型：
类型
简图
计算方法
A,B 间不可达
也不可视
测得AC=b，BC=a，C 的大小，则由余弦定
理得
B, C 与点A 可
视但不可达
测得BC=a，B，C 的大小，则A=π-(B+ C)，
由正弦定理得
C,D 与点A,B
均可视不可达
测得CD=a 及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC 的
度数.在△ACD 中，用正弦定理求AC；在
△BCD 中，用正弦定理求BC；在△ABC
中，用余弦定理求AB.
2．测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB 的高度不可直接测量时，求AB 的高度有以下三种类型：
类型
简图
计算方法
底部
可达
测得BC=a，C 的大小，AB=a·tan C.
底
部
不
可
达
点B 与
C,D 共线
测得CD=a 及∠ACB 与∠ADB 的度数.
先由正弦定理求出AC 或AD,再解直角三角形
得AB 的值.
点B 与
C , D 不
共线
测得CD=a 及∠BCD,∠BDC,∠ACB 的度数.
在△BCD 中由正弦定理求得BC，再解直角
三角形得AB 的值.
3．测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角
等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形
及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
知识点
3
解三角形的应用的解题策略
1．平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
2．解三角形与三角函数的综合应用
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
【方法技巧与总结】
1．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sinC；
(2)cos(A+B)=-cosC；
(3)
；
(4)
.
2．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.
3．在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
.
【题型1 余弦定理解三角形】
【例1】（2025·全国二卷·高考真题）在△ABC中，BC =2，AC =1+ ❑√3，AB = ❑√6，则A =（ ）
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
【变式1-1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在△ABC中，AB = 4，AC =6，cosB = 1
8
.若△ABC的角平
分线AD交边BC于点D，则AD =（ ）
A．12
5
B．8 ❑√3
5
C．9
5
D．3 ❑√2
【变式1-2】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在△ABC中，已知AC =5, AB =3,BC =7 , AD是BC边上的中
线，则AD =（ ）
A．15
4
B．
❑√19
2
C．7
2
D．15
7
【变式1-3】（2025·山东枣庄·二模）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
b=3,c
2+9=a
2+3c，则A =（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【题型2 正弦定理解三角形】
【例2】（2025·天津红桥·模拟预测）在△ABC中，若AC =2，∠A =π
3
，∠B =π
6
，则BC =（ ）
A．❑√3
B．❑√2
C．2❑√3
D．2❑√2
【变式2-1】（2025·河南郑州·三模）在△ABC 中，已知A =30°，a= ❑√2，b=2，则角C 为（ ）
A．45°
B．105°
C．45°或135°
D．15°或 105°
【变式2-2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在△ABC中，a,b,c是角A ,B ,C所对的边长.若a:b:c = 4:5:6
，则2acos A
c
=（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【变式2-3】（2025·湖北·模拟预测）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B =π
3
，
b
2=3ac，则sin A +sinC =（ ）
A．
❑√7
2
B．
❑√6
2
C．3
2
D．❑√3
【题型3 正、余弦定理判定三角形形状】
【例3】（2024·陕西渭南·三模）已知△ABC中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
bcosC +c cos B =b，且a=c cos B，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【变式3-1】（2024·河南新乡·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=7，b=3
，c =5，则（ ）
A．△ABC为锐角三角形
B．△ABC为直角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
【变式3-2】（2024·山东·二模）在△ABC中，设内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，设甲：
b−c =a(cosC −cosB)，设乙：△ABC是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【变式3-3】（24-25 高一下·天津滨海新·期末）在△ABC中， 记角A，B，C 的对边分别为a，b，c， 若
acos A −bcosB =sin( A + B+C)，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【题型4 正弦定理判定三角形解的个数】
【例4】（2025·江西·二模）在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．a=72，b=50，A =135°
B．a=20，b= 40，A =31°
C．a=30，b=20 ❑√3，A =120°
D．a=8，b=14，A =30°
【变式4-1】（2025·河北秦皇岛·一模）已知△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且满足
a=2❑√2,B =π
4
的三角形有两个，则b的取值范围为（ ）
A．(0,2❑√2)
B．(2❑√2,4)
C．(2,4)
D．(2,2❑√2)
【变式4-2】（2024·湖北·模拟预测）在△ABC中，已知AB = x，BC =2❑√2，C =π
4
，若存在两个这样的
三角形ABC，则x的取值范围是（ ）
A．[2❑√2,+ ∞)
B．(0,2❑√2)
C．(2,2❑√2)
D．(❑√2,2)
【变式4-3】（2024·湖北黄冈·一模）已知△ABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，A =π
3 ,b=3，
下面可使得△ABC有两组解的a的值为（ ）
A．3 ❑√3
2
B．3
C．4
D．e
【题型5 证明三角形中的恒等式或不等式】
【例5】（2025·北京东城·一模）在△ABC中a=6,b−c =1,sinC =
❑√7
4
.
(1)求b的值及△ABC的面积；
(2)求证：A =2C.
【变式5-1】（2024·广东·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，且
(b+c)cos A =a(cosB−cosC)．
(1)证明：A =2B．
(2)若△ABC是锐角三角形，求b
a
的取值范围．
【变式5-2】（2024·安徽·模拟预测）在△ABC中，A，B，C 所对的边是a，b，c．
(1)请用正弦定理证明：若a>b，则A >B；
(2)请用余弦定理证明：若A >B，则a>b．
【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）在△ABC中，点D，E 都是边BC 上且与B，C 不重合的点，且点D
在B，E 之间，AE⋅AC ⋅BD = AD⋅AB⋅CE．
(1)求证：sin ∠BAD =sin ∠CAE．
(2)若AB⊥AC，求证：A D
2
B D
2 + A E
2
C E
2 =
2
1−sin∠DAE
．
【题型6 和三角形面积有关的问题】
【例6】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，若
b
2+c
2−a
2
cos A
= 4，sin A = 1
3，则△ABC的面积为（ ）
A．1
6
B．1
3
C．1
2
D．2
3
【变式6-1】（2025·辽宁·二模）在等边三角形ABC中，D、E、F 分别在边AB、BC 、AC上，且
DE = ❑√3, DF =2,∠≝=90
°．则三角形ABC面积的最大值是（ ）
A．7 ❑√3
3
B．2❑√3
C．7 ❑√3
D．6 ❑√3
【变式6-2】（2025·海南·模拟预测）设锐角△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
(c−❑√2b)cos A +acosC =0．
(1)求A；
(2)若a= ❑√2，且❑√2c cos B =asinC，求△ABC的面积．
【变式6-3】（2025·北京·高考真题）在△ABC中，cos A =−1
3 ,asinC = 4 ❑√2．
(1)求c 的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC 边上的高．
条件①：a=6；条件②：asin B = 10 ❑√2
3
；条件③：△ABC的面积为10 ❑√2．
【题型7 求三角形中的边长或周长的最值或范围】
【例7】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
c =2,B =2C，则a+b的取值范围为 （ ）
A．(2,10)
B．(2+2❑√2,10)
C．(2+2❑√2,4+2❑√3)
D．(4 +2❑√3,10)
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知锐角△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若
sin A
2 = ❑√
3b−c
4 b
，则a
b的取值范围是（ ）
A．(❑√3,2)
B．(1,❑√3)
C．(❑√2,2)
D．(❑√2,❑√3)
【变式7-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A ,B ,C的对边，且
acosC + ❑√3asinC −b−c =0.
(1)求A；
(2)若a=3；求△ABC周长的取值范围.
【变式7-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且
❑√3bcosB =acosC +ccos A．
(1)求tan B；
(2)若A ∈[
π
4 ,π
3 )，且a=1，求b+c的取值范围．
【题型8 距离、高度、角度测量问题】
【例8】（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之
一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名
凤来阁
，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣
“
”
统元年（1909 年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的
高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD =23°，∠CDB =30°，
CD =11.2m，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°，则甲秀楼的高度约为（参考数据：
tan72.4°≈3.15，sin53°≈0.8）（ ）
A．20 m
B．21m
C．22m
D．23 m
【变式8-1】（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B
两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2 所示．已知∠ABM =30
∘，
∠BAN = 45
∘，∠MAN =60
∘，∠MBN =90
∘，AB =2❑√5，则MN =（ ）
A．5(❑√3−1)
B．5 ❑√2
C．5(❑√3+1)
D．10
【变式8-2】（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东80
°的方向，甲乙两人间的距
离为2km，丙在乙北偏西40
°的方向，甲丙两人间的距离为❑√7km，则乙丙两人间的距离为 km.
【变式8-3】（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度AB，选取了与塔底B 在同一水平面内的两个
测量基点C与D，现测得∠BCD =15° ,∠BDC =135° ,CD =20m,在点C测得塔顶A 的仰角为60°，则塔
高AB =
m.
【题型9 求解平面几何问题】
【例9】（2025·西藏拉萨·二模）如图，四边形ABCD中，AD⊥AC，AB⊥BC，∠ACD =∠ACB，
BD =CD，则cos∠BCD =（ ）
A．
❑√3
3
B．1
3
C．2
3
D．1
2
【变式9-1】（2025·辽宁·三模）如图，在四边形ABCD中，AC ⊥BC , AB = 4 ,BC =CD ,∠ACD =60
∘
，则AD的最小值为（ ）
A．2
B．❑√6
C．2❑√2
D．2❑√3
【变式9-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，
A =π
6 , AB =3, AD =3 ❑√3,CD = ❑√3,∠C =2∠CBD.
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积.
【变式9-3】（2025·山东·模拟预测）在四边形ABCD中，A B
2= BC
2+ A C
2−AC ⋅BC，
❑√2 AB = ❑√3 BC，AC =3+ ❑√3，∠BAC +∠ACD =∠ACB+∠CAD =π
2
．
(1)求△ABC的周长
(2)求四边形ABCD的面积．
【题型10 解三角形与三角函数的交汇问题】
【例10】（2025·湖南永州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，c =1，
asin A −sinC
a−b
=sin( A +C )，a≠b.
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围.
【变式10-1】（2025·河北·模拟预测）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为
a,b,c ,asin A −csinC =(❑√2a−b)sin B.
(1)求C；
(2)若c = ❑√2，求
❑√6−❑√2
2
a+b的取值范围.
注：sin 11π
12 =
❑√6−❑√2
4
.
【变式10-2】（24-25 高一下·四川巴中·期末）已知函数f ( x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,−π
2 <φ< π
2)的部分图
象如图所示．
（1）求函数f ( x)的解析式；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f ( A )= ❑√3，b=2，且△ABC的面积为
3 ❑√3
2
，求a．
【变式10-3】（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠DAB =π
2
，B =π
6
，且△ABC
的外接圆半径为4.
(1)若BC = 4 ❑√2，AD =2❑√2，求△ACD的面积；
(2)若D = 2π
3
，求BC −AD的最大值.
一、单选题
1．（2025·天津红桥·模拟预测）在△ABC中，若AC =1，AB = ❑√2，cos A =−
❑√2
4
，则BC的长度为
（ ）
A．2
B．4
C．❑√3
D．2❑√3
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，且AC =CD , AB =2 AC = ❑√3 AD，则
sin B =（ ）
A．
❑√2
3
B．
❑√3
3
C．
❑√6
6
D．
❑√3
6
3．（2025·湖南邵阳·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4 a= ❑√5c，
cosC = 3
5
，且b=22，则此△ABC的面积为（ ）
A．176
B．88
C．44
D．22
4．（2025·四川达州·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.下列条件中能使
△ABC唯一确定的是（ ）
A．A = 45°，B =60°，C =75°
B．b=3，c = 4，B =30°
C．b= ❑√3，c =2，B =60°
D．b=12，c =12，C =120°
5．（2025·内蒙古赤峰·三模）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且b+c = 4
3 a，cos B = 1
6
，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定的
6．（2025·安徽蚌埠·三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了
勾股圆方图
，后人称其为
“
”
赵爽弦图
．类比
赵爽弦图
，用
“
”
“
”
3 个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若DF =2，
sin ∠BAD = 3 ❑√3
14
．则BD =（ ）
A．3
B．2
C．❑√3
D．❑√2
7．（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测
量基点C与D.现测得∠BCD =75°，∠BDC = 45°，CD =30米，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB =60°
，则塔高AB约为（ ）（单位：米，❑√2≈1.414）
A．30.42
B．42.42
C．50.42
D．60.42
8．（2024·全国·模拟预测）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．若
a
2−b
2=bc，则b
a+c
的取值范围是（ ）
A．(
❑√3
3 ,
❑√2
2 )
B．(2−❑√3,1)
C．(2−❑√3,❑√2−1)
D．(❑√2+1,❑√3+2)
二、多选题
9．（2025·甘肃金昌·三模）在△ABC中，AB = ❑√7，AC =1，M 为BC 的中点，∠MAC =60°，则下列说
法正确的是（ ）
A．AM = 3
2
B．BC = 4
C．cos B = 13
14
D．C 为钝角
10．（2025·河北·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c.若b= 4，∠C =π
3
，则
（ ）
A．c = ❑√3时，△ABC只存在一个
B．c =2❑√3时，△ABC的面积为2❑√3
C．c =3 ❑√3时，△ABC是锐角三角形
D．c = 4 ❑√3时，△ABC外接圆周长为16π
11．（2025·河北邢台·三模）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列说法正确的有
（ ）
A．若a
2+b
2<c
2，则△ABC是钝角三角形
B．若a= ❑√13，b=3，A =π
3
，则△ABC的周长为7+ ❑√13
C．若A =π
6
，b
2+c
2−16= ❑√3bc，则△ABC面积的最大值为4+2❑√3
D．若c =2，b=3，A =π
3 ，则BC边上的中线长为
❑√7
2
三、填空题
12．（2025·安徽合肥·模拟预测）在△ABC中，AB =1, AC =2,cos B+sinC =1，则BC边的长为
.
13．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示
意图，现有A、B、C 三点，且A、B、C 在同一水平面上的投影A
′、B
′、C
′满足∠A
′C
′ B
′ = 45°，
∠A
′ B
′C
′ =60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，B B
′与C C
′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，
则A、C 两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1）
14．（2025·福建厦门·三模）锐角△ABC中，角A ,B ,C所对应的边分别为a,b,c，满足a
2=b(b+c)，
a+b=3，则△ABC的周长的取值范围为
.
四、解答题
15．（2025·江苏连云港·模拟预测）在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD =π
2
，∠DBC =π
6
，AB =1
．
(1)若BC =2，求AD；
(2)若AD =2CD，求AD．
16．（2025·天津·高考真题）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c．已知asin B = ❑√3bcos A，
c−2b=1，a= ❑√7．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求sin( A +2B)的值．
17．（2025·全国·二模）△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c ,b= ❑√2asin(C +π
4 )
(1)求A；
(2)若a=1,△ABC的面积为❑√2，求△ABC的周长.
18．（2025·天津·二模）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知b=2acos(C −π
3 )．
(1)求A；
(2)若b=2❑√3c，且△ABC面积2❑√3，
（
）求
ⅰ
a的值；
（
）求
ⅱ
cos(2B−A)．
19．（2025·海南·模拟预测）在△ABC中，角A , B , C所对应的边分别为a, b, c且满足
c sin A
b−acosC = ❑√3
．
(1)求A的大小；
(2)角A的平分线AD与边BC相交于点D，且AD = ❑√3，求2b+3c的最小值．
