专题1.2 集合与常用逻辑用语（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 元素与集合的关系】..................................................................................................................................1
【题型2 集合中元素的个数问题】..........................................................................................................................2
【题型3 集合间的基本关系】..................................................................................................................................2
【题型4 集合的交、并、补运算及其求参问题】.................................................................................................2
【题型5 集合的新定义问题】..................................................................................................................................3
【题型6 充分条件与必要条件】..............................................................................................................................3
【题型7 全称量词与存在量词】..............................................................................................................................4
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 元素与集合的关系】
1．（2025·河南·一模）已知集合A = {x∣3ax−2≤0)，若1∈A且2∉A，则（ ）
A．1
3 <a< 2
3
B．a<0
C．1
3 <a≤2
3
D．a> 2
3
2．（2025·广东·模拟预测）若m∈{1,3,4 ,m
2}，则m 可能取值的集合为（ ）
A．{0,1,4 }
B．{0,3,4}
C．{−1,0,3,4 }
D．{0,1,3,4 }
3．（2025·广东河源·模拟预测）已知集合A ={x∣x>a}，B ={x ∣x
2−ax−3>0)，若1∈A且1∈∁R B
，则a的取值范围是（ ）
A．[−2,1)
B．(−2,1)
C．[−2,+∞)
D．(−∞,1)
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合
P ={x) x =2k ,k ∈Z),Q ={x) x =2k +1,k ∈Z), M ={x) x = 4 k +1,k ∈Z)，且a∈P ,b∈Q，则
（ ）
A．a+b∈M
B．a+b∈Q
C．a−b∈P
D．a⋅b∈Q
【题型2 集合中元素的个数问题】
5．（2024·西藏拉萨·一模）集合{x∈N||x)<3))中的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．5
D．7
6．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合A ={x∈R|a x
2−2 x +1=0))中只有一个元素，则实数a=（ ）
A．1
B．0
C．2
D．0 或1
7．（25-26 高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A 中的元素，则集合A 中的元素个数
为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（25-26 高二上·湖南·期中）集合A ={(x , y)| x = 4−2n, y =5−n,n, x , y ∈N )的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．18
【题型3 集合间的基本关系】
9．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合A ={1,3,a
2),B = {3,a+2)，且B⊆A，则实数a=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
10．（2025·陕西西安·一模）已知m∈R，n∈R，若集合{m, n
m ,1)={m
2,m+n,0)，则m
2025+n
2025=
（ ）
A．0
B．1
C．−1
D．1 或-1
11．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集U =Z，集合A =¿，则（ ）
A．A ⊆B
B．B⊆A
C．A = B
D．A ∩B = A
12．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合A = {1,2)，B = {1,2,3,4)，则满足条件A ⊆C ⊆B的集合C 的个
数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型4 集合的交、并、补运算及其求参问题】
13．（2025·陕西西安·三模）已知集合A = {−1,0,1,2),B ={x∣0< x ≤2}，则A ∩B =（ ）
A．{0,1,2)
B．{0,1)
C．{−1,0)
D．{1,2)
14．（2025·云南昆明·模拟预测）已知全集U = R，集合A ={x||x)≤5)，B ={x|x>2))，则A ∪(∁U B)=
（ ）
A．{x|x ≤5))
B．{x|x <5))
C．{x| x ≤2,或x ≥5)
D．{x|−5≤x ≤2)
15．（2025·四川成都·二模）已知集合A ={x∣−2< x<2},B ={x∣1< x<3}，则A ∪B =（ ）
A．{x∣−2< x<3}
B．{x∣1< x<2}
C．{x∣x<3}
D．{x∣x>−2}
16．（2025·北京海淀·二模）已知集合A = {−1,0,1,2),B ={x∣a< x<2}．若a∈Z，且A ∩B = {1)，则a=
（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【题型5 集合的新定义问题】
17．（25-26 高一上·江西宜春·月考）设A、B是非空集合，定义A ×B ={x) x∈A ∪B且x∉A ∩B}，若
A ={x)2 x−x
2≥0)，B ={x) x>1}，则A ×B等于（ ）
A．{x|0≤x ≤1，或x>2}
B．{x∣0≤x ≤1，或x ≥2}
C．{x)0≤x ≤1)
D．{x)0≤x ≤2)
18．（25-26 高一上·辽宁·月考）已知集合A ={(x , y)|x
2+ y
2≤1), x , y ∈Z)，
B ={(x , y)||x)≤)2,|y)≤2, x , y ∈Z) ，定义A ⊗B = {(x1 x2, y1 y2)|(x1, y1))∈A ,(x2, y2)∈B)，则
A ⊗B中的元素个数为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
19．（2024·湖南怀化·二模）给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集
T ={|a−b||a,b∈S ,a≠b}，如果min(T )=1，则称集合S为一个n元规范数集．（注：min(X )表示数集
X中的最小数）．对于集合M = {−0.1,−1.1,2,2.5)、N = {−1.5,−0.5,0.5,1.5)，则（ ）
A．M是规范数集，N不是规范数集
B．M是规范数集，N是规范数集
C．M不是规范数集，N是规范数集
D．M不是规范数集，N不是规范数集
20．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B={x| x∈A且x∉B}，则对于集合A={
x| x =6n+5，n∈N}，B={y | y =3m+7，m∈N}，C = x| x∈A B且x<1000}，以下说法正确的
是（ ）
A．若在横线上填入
，则
”∩”
C 的真子集有212
1
﹣
个.
B．若在横线上填入
，则
”∪”
C 中元素个数大于250.
C．若在横线上填入”\”，则C 的非空真子集有2153
2
﹣个.
D．若在横线上填入”∪∁N ，则
”
∁NC 中元素个数为13.
【题型6 充分条件与必要条件】
21．（2025·山东·一模）设x , y ∈R，则“x> y 是
”
“x>|y) 的（
”
）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
22．（2025·江西·模拟预测）已知函数f (x)= x−3
x
，则“x =1 是
”
“f (x)=−2 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
23．（2025·河南·模拟预测）已知集合A = {x|3ax−2≤0)，则使得“1∈A且2∉A 成立的一个充分不必
”
要条件是（ ）
A．1
3 <a< 2
3
B．a<0
C．1
3 <a≤2
3
D．a> 1
3
24．（2025·重庆·模拟预测）若A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，C 是D 的必要不充分条
件，则A 是D 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型7 全称量词与存在量词】
25．（2025·云南昆明·模拟预测）已知命题p:∀x∈(0,+∞)，x
2> x，则命题p的否定是（ ）
A．∃x∈(−∞,0)，x
2> x
B．∃x∈(0,+∞)，x
2≤x
C．∃x∈(0,+ ∞)，x
2> x
D．∀x∈(0,+ ∞)，x
2≤x
26．（2025·陕西西安·模拟预测）已知命题p:∀x∈R ,|x +1)>1；命题q:∃x>0, x
3= x，则以下为真命
题的是（ ）
A．p和q
B．¬ p和q
C．p和¬q
D．¬ p和¬q
27．（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在R上的函数f (x)，则命题“∃M >0，∀x∈R，f (x)≤M 的否定
”
为（ ）
A．∃M >0，∃x∈R，f (x)> M
B．∀M >0，∀x∈R，f (x)≤M
C．∃M >0，∀x∈R，f (x)> M
D．∀M >0，∃x∈R，f (x)> M
28．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“∃x∈(0,+∞)，2 x
2−ax +1<0 为假命题，则实数
”
a的取值范围
是（ ）
A．(−∞,2❑√2)
B．(−∞,2)
C．(−∞,1)
D．(−∞, 1
2)
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合A ={x ∈N ||x −1)<2)，则集合A =（ ）
A．{1,2)
B．{0,1,2)
C．{0,1,2,3)
D．{−1,0,1,2,3)
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若命题P：“∀x∈(0,2)，都有x + 4
x ≥4 ，则命题
”
P的否定为（ ）
A．∀x∈(0,2)，都有x + 4
x <4
B．∀x∉(0,2)，都有x + 4
x <4
C．∃x∈(0,2)，使得x + 4
x <4
D．∃x∉(0,2)，使得x + 4
x <4
3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组{
x + y =1
x−y =−3)的解集是（ ）
A．{(x , y)∣x =−1，或y =2}
B．{(1,−2))
C．{(x , y)|{
x =1
y =−2))
D．{(x , y)|{
x−2 y =−5
x + y =1 ))
4．（2025·广东江门·模拟预测）设a,b∈R , P = {1,−a),Q = {−1,b)，若P =Q，则a+b=（ ）
A．−2
B．0
C．1
D．2
5．（2025·辽宁·三模）已知集合M ={( x , y)|y = 1
2 −x)), N ={( x , y)|x
2=−2 y))，则M ∩N的子集个数
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
6．（2025·云南昭通·模拟预测）“❑√x<3 是
”
“
x
9−x ≥0 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2025·四川成都·三模）已知集合A ={x|−1< x <1)),B ={x|0≤x <2))，则A ∩B =（ ）
A．{x|−1< x<2))B．{x|0≤x<2))
C．{x|0≤x<1))
D．{x|−1< x<1))
8．（2025·云南·模拟预测）已知全集U = {1, 2, 3, 4 , 5, 6)，集合A = {3, 5), B = {2, 3, 4)，则
∁U ( A ∪B)=（ ）
A．{1, 6)
B．{3)
C．{3, 5)
D．{2, 3, 4 , 5)
9．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知a，b 为实数，“a≠0 是
”
“ab≠0 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．（2025·湖南·模拟预测）设集合A ={x∣−3≤x ≤1},B ={x∣−2≤x ≤2}，则集合A ∩B中所含整数的
个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
11．（2025·河北唐山·一模）已知命题p:∀x∈R , x
2>0；命题q:∃x>0,ln x<0．则（ ）
A．p和q都是真命题
B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q是假命题
D．p和q都是假命题
12．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合A、B、C是全集U的三个真子集，A、B、C的关系如Venn 图所
示，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．A ∩B∩C
B．A ∩C + B∩C
C．( A ∩C + B∩C)−A ∩B∩C
D．A ∩(∁U C ∪B)
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·广西·模拟预测）已知集合A = {x∈Z | x =3k +2,k ∈Z),B = {x∈Z | x =6 k −1,k ∈Z)，则
（ ）
A．A = B
B．A ⊆B
C．B⊆A
D．A ∩B =∅
2．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集U ={x∈N|x ≤3))，A = {1,2)，B = {1,3)，则集合∁U ( A ∩B)的
真子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
3．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知命题p：“a>2是a
2−a>0的充分不必要条件；命题
”
q：“
∃x>0, x
2=3 x
3 ．则下列正确的是（
”
）
A．p和q都是假命题
B．¬ p和q都是假命题
C．p和¬q都是假命题
D．¬ p和¬q都是假命题
4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为R，集合A ={x)1< x<2)，B ={x) x>4)，则（ ）
A．A ∩B = A
B．A ∪B = R
C．B∩(∁R A)= B
D．A ∪(∁R B)= A
5．（2025·北京丰台·二模）已知关于x的方程x
2+bx +c =0(b,c∈R)的两实根为x1, x2
，则“|x1)=|x2) 是
”
关于
“
x的不等式x
2+bx +c<0的解集为∅的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（24-25 高一上·北京·月考）设C (M )表示非空集合M中元素的个数，已知非空集合A ,B.定义
A ⊗B ={
C( A )−C(B),C( A )≥C(B)
C(B)−C( A ),C( A )<C(B))
，若A = {1,2)，B ={x|(x
2+ax)(x
2+ax +2)=0))
且A ⊗B =1，
则实数a的所有取值为（ ）
A．0
B．0，−2❑√2
C．0，2❑√2
D．−2❑√2，0，2❑√2
二、解答题
7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合M = {1,2,⋯,n)，n∈N
∗，A、B是M的非空子集.记集合
A + B ={(x + y))除以n的余数|x∈A , y ∈B)).若正整数n满足：存在非空集合A、B，使得A + B两两的交
集为空集，且A ∪B∪( A + B)= {0,1,2,⋯,n−1)，则称n为好的
“
”.
(1)设A = {1)，B = {2,4)，当n=5时，求A + B，并直接判断n=5是否为好的；
“
”
(2)证明：n=8是好的，
“
”
n=16是好的；
“
”
(3)求所有好的正整数
“
”
.
8．（2025·北京海淀·二模）记|M )表示有穷集合M的元素个数．已知m,n是正整数，集合S = {1,2,⋯,n)
．若集合序列Q: A1, A2,⋯, Am满足下列三个性质，则称Q是平衡序列：
“
”
①|Ak)≥2，其中k =1,2,⋯,m；
②Ak⫋S，其中k =1,2,⋯,m；
对于
③
S中的任意两个不同元素i, j，都存在唯一的k ∈{1,2,⋯,m)，使得{i, j)⊆Ak．
(1)设m=n=5，判断下列两个集合序列是否是平衡序列？（结论不要求证明）
“
”
Q1:{1,2),(1,3,4,5),{2,3),{2,4),{2,5)
Q2:{1,2,3),{1,4,5),{2,4),{3,4),{3,5)
(2)已知n≥3且集合序列Q: A1, A2,⋯, Am是平衡序列，对于
“
”
i=1,2,⋯,n，定义：
Bi={k ∣i∈Ak ,k =1,2,⋯,m).证明：
（i）当1∉A1
时，|B1)≥|A1)；
（ii）m≥n．
